فيديو السؤال: حل المسائل الكلامية التي تتضمن متتابعات هندسية الرياضيات

إذا كان عدد سكان إحدى المدن يبلغ الآن ٨٤٤٥٠١، ويزيد بمعدل ثابت ١٢٪ سنويًّا. فأوجد عدد السكان لأقرب عدد صحيح بعد ٨ سنوات.

٠٧:١١

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كان عدد سكان إحدى المدن يبلغ الآن ٨٤٤٥٠١، ويزيد بمعدل ثابت ١٢ بالمائة سنويًّا. فأوجد عدد السكان لأقرب عدد صحيح بعد ثماني سنوات.

أول ما يمكننا ملاحظته هو حقيقة أن الزيادة بمعدل ثابت. إذن، نعرف أن عدد السكان يزيد بمعدل ثابت. وهذا المعدل يساوي ١٢ بالمائة سنويًّا. حسنًا، في هذا السؤال، يمكننا التفكير في الأمر بطريقتين، كل منهما سيعطينا المعادلة نفسها والناتج نفسه. الطريقة الأولى هي اعتبارها متتابعة هندسية. وكما هو الحال في أي متتابعة هندسية، ونحن نعلم ذلك بسبب أنها تزيد بمعدل ثابت، فإن لدينا صورة عامة لذلك. وهي أن ﺡﻥ، بمعنى أي حد، يساوي ﺃ واحد، أي الحد الأول مضروبًا في ر، وهو النسبة المشتركة (أساس المتتابعة الهندسية) أس ﻥ ناقص واحد، حيث ﻥ هو رقم الحد.

حسنًا، الحد الأول هو ٨٤٤٥٠١؛ لأن هذه هي القيمة الأولى. ور يساوي ١٫١٢. ولكن كيف نوجد ذلك؟ حسنًا، إننا نريد زيادة بمعدل ثابت ١٢ بالمائة سنويًّا. حسنًا، إذا أردنا زيادة بنسبة ١٢ بالمائة سنويًّا، فهذا يساوى نسبة ١٠٠ بالمائة، أي العدد الذي لدينا، زائد ١٢ بالمائة ما يعني ١١٢ بالمائة من العدد الذي كانوا عليه في بداية السنة السابقة. حسنًا، بما أن النسبة المئوية تعني جزءًا من ١٠٠، فإن ١١٢ بالمائة يساوي ١١٢ على ١٠٠، وهو ما يساوي ١٫١٢، وهو معامل الضرب أي النمو. حسنًا، هذا رائع!

ونعرف أيضًا أن ﻥ يساوي ثمانية لأننا نبحث عن عدد السكان بعد ثماني سنوات. حسنًا، يمكننا الآن استخدام ذلك لحل المسألة. حيث يمكننا التعويض بذلك في الصورة العامة. إذن، عندما نفعل ذلك، نحصل على الحد الثامن، أو عدد السكان بعد ثماني سنوات، يساوي ٨٤٤٥٠١ مضروبًا في ١٫١٢ أس ثمانية ناقص واحد. ومن ثم، هذا سيساوي ٨٤٤٥٠١ مضروبًا في ١٫١٢ أس سبعة. حسنًا، هذا سيعطينا الناتج ١٨٦٦٩٢٢٫٦٥ مع توالي الأرقام.

لكننا نريد هذا لأقرب عدد صحيح. إذن، ما سنفعله هو التقريب. وبما أن أول منزلة عشرية هي ستة، إي إن قيمتها خمسة أو أكثر، فسنقرب الرقم الأخير، أي الآحاد، من اثنين إلى ثلاثة. ومن ثم، وجدنا أن عدد السكان بعد ثماني سنوات هو ١٨٦٦٩٢٣. وذلك لأقرب عدد صحيح.

حسنًا، ذكرت أنه توجد طريقة أخرى للتفكير في هذا السؤال. والطريقة الأخرى للتفكير فيه هي الفائدة المركبة. وبما أنه سؤال فائدة مركبة، فإن لدينا صيغة. وهذه الصيغة هي أن ﺟ، أي القيمة الذي نبحث عنها، يساوي ﺃ، أي القيمة الابتدائية أو القيمة الأساسية، ثم نضرب ذلك فيما يلي. ويكون لدينا بعد ذلك واحد زائد ر؛ حيث ر هو معدل الفائدة على صورة عدد عشري. ثم هذا مرفوعًا للقوة ﻥ، وهو عدد الفترات الزمنية.

حسنًا، إذا نظرنا إلى المسألة، فسنجد أن ﺃ، أي القيمة الابتدائية، يساوي ٨٤٤٥٠١. ور هو معدل الفائدة على صورة عدد عشري، سيساوي ٠٫١٢. وذلك لأن ١٢ بالمائة تعني ١٢ من ١٠٠ أو ١٢ مقسومًا على ١٠٠. وﻥ سيساوي سبعة؛ لأن لدينا سبع فترات زمنية حتى السنة الثامنة، وهو ما نبحث عنه. وإذا فكرنا في كيفية حل ذلك، أي إذا فكرنا في السنة الأولى التي نحن خلالها، فسنجد أنها السنة رقم واحد. إذن، نلاحظ أن لدينا سبع فترات زمنية للفائدة؛ لأننا نحصل على الفائدة سنويًّا، حتى نصل إلى العام رقم ثمانية.

حسنًا، هذا رائع. إذن، حصلنا على القيم. ومن ثم، يمكننا التعويض بها في الصيغة. لذا، عندما نفعل ذلك، نحصل على عدد السكان بعد ثماني سنوات سيساوي ٨٤٤٥٠١ مضروبًا في واحد زائد ٠٫١٢ أس سبعة. حسنًا، نلاحظ أنه من خلال هذا، نتوصل إلى الصيغة نفسها بالضبط التي حصلنا عليها عند استخدام طريقة المتتابعة الهندسية. وهي ٨٤٤٥٠١ مضروبًا في ١٫١٢ أس سبعة. إذن، سنحصل على الناتج نفسه. ويمكننا القول إن عدد السكان بعد ثماني سنوات هو ١٨٦٦٩٢٣ لأقرب عدد صحيح.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.