نسخة الفيديو النصية
أوجد مساحة مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه ثلاثة سنتيمترات، واكتب الإجابة بصورة دقيقة.
دعونا نبدأ برسم المثلث المتساوي الأضلاع الموجود في هذا السؤال. بما أن المثلث متساوي الأضلاع، فإن أضلاعه الثلاثة متساوية في الطول. ونعلم من السؤال أن هذا الطول يساوي ثلاثة سنتيمترات. والمطلوب منا هو إيجاد مساحة هذا المثلث، وهو ما يمكننا فعله عادة باستخدام الصيغة: المساحة تساوي القاعدة مضروبة في الارتفاع على اثنين. لكننا لا نعرف الارتفاع العمودي لهذا المثلث. وعلى الرغم من أنه يمكن إيجاد قيمته، دعونا نتناول طريقة بديلة لإيجاد مساحة أي مثلث.
لعلنا نتذكر أن الصيغة المثلثية لمساحة مثلث ﺃﺏﺟ - حيث تمثل ﺃ وﺏ وﺟ رءوس المثلث، وتمثل ﺃ شرطة وﺏ شرطة وﺟ شرطة أطوال الأضلاع الثلاثة المقابلة - هي المساحة تساوي نصف ﺃ شرطة ﺏ شرطة جا ﺟ. هنا يمثل ﺃ شرطة وﺏ شرطة طولي أي ضلعين في المثلث، ويمثل ﺟ قياس الزاوية المحصورة بينهما. هذه هي الزاوية التي تقع بين الضلعين اللذين نعرف طوليهما. لا نحتاج إلى أن نعير اهتمامًا كبيرًا إلى ﺃ شرطة وﺏ شرطة وﺟ شرطة. ويمكننا استخدام أي طولي ضلعين في المثلث وقياس الزاوية المحصورة بينهما.
بالعودة إلى هذه المسألة؛ حيث لدينا مثلث متساوي الأضلاع، فإننا نعرف أطوال الأضلاع الثلاثة. كل منها يساوي ثلاثة سنتيمترات. وليس لدينا قياسات الزوايا. لكن بما أن هذا المثلث متساوي الأضلاع، فإن قياسات الزوايا الثلاث متساوية. قياس كل منها يساوي ثلث ١٨٠ درجة؛ أي ٦٠ درجة.
لا يهم في هذه الحالة الضلعان اللذان نستخدمهما. لكن دعونا نفترض أننا استخدمنا طولي الضلعين الموضحين باللون البرتقالي، والزاوية المحصورة بينهما التي تساوي ٦٠ درجة. بالتعويض بثلاثة عن قيمة كل من ﺃ شرطة وﺏ شرطة وبـ ٦٠ درجة عن قياس الزاوية ﺟ، نجد أن مساحة هذا المثلث تساوي نصفًا مضروبًا في ثلاثة مضروبًا في ثلاثة مضروبًا في جا ٦٠ درجة. وهو ما يساوي تسعة على اثنين مضروبًا في جا ٦٠ درجة.
يطلب منا السؤال كتابة الإجابة بصورة دقيقة. إذن، عند هذه النقطة، علينا أن نتذكر أن ٦٠ درجة هي إحدى الزوايا الخاصة التي يمكن من خلالها التعبير عن نسب الجيب، وجيب التمام، والظل بدلالة الكسور والجذور الصماء. جا ٦٠ درجة يساوي بالضبط الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين. ومن ثم، يمكننا التعويض بهذه القيمة عن جا ٦٠ درجة؛ لنحصل على إجابة دقيقة. لدينا تسعة على اثنين مضروبًا في جذر ثلاثة على اثنين، وهو ما يبسط إلى تسعة جذر ثلاثة على أربعة. وعلى نحو مكافئ، يمكننا كتابة ذلك على الصورة: تسعة على أربعة مضروبًا في جذر ثلاثة، ووحدة قياس هذه المساحة هي السنتيمتر المربع.
إذن، بتذكر الصيغة المثلثية لمساحة المثلث، وجدنا أن مساحة المثلث المتساوي الأضلاع الذي طول ضلعه يساوي ثلاثة سنتيمترات على الصورة الدقيقة هي تسعة على أربعة جذر ثلاثة سنتيمترات مربعة.
