فيديو السؤال: إيجاد أصفار كثيرة حدود بمعلومية أحد أصفارها باستخدام القسمة التركيبية وكثيرات الحدود المخفضة

نسخة الفيديو النصية

لدينا الدالة ﺩ ﺱ تساوي سالب خمسة ﺱ أس أربعة زائد اثنين ﺱ تكعيب ناقص ٣٠ﺱ تربيع ناقص ٨٨ﺱ زائد ٤٠. إذا علم أن أحد أصفار ﺩ ﺱ يساوي واحدًا ناقص ثلاثة ﺕ، فأوجد جميع أصفار ﺩ ﺱ باستخدام القسمة التركيبية.

لاستخدام القسمة التركيبية، علينا أولًا التأكد من أن قوى المقدار مرتبة ترتيبًا تنازليًّا، كما هو الحال هنا: لدينا ﺱ أس أربعة، ثم ﺱ تكعيب، ثم ﺱ تربيع، ثم ﺱ أس واحد متبوعًا بالثابت. ومن ثم، نكتب المعاملات بالأسفل، مع الحفاظ على الترتيب المعطى في الدالة. بما أنه معطى لنا أحد أصفار هذه الدالة، فسنستخدم واحدًا ناقص ثلاثة ﺕ لنقسم باقي الدالة عليه.

في القسمة التركيبية، نكتب بالأسفل المعامل الأول وهو سالب خمسة. ومن ثم، علينا ضرب واحد ناقص ثلاثة ﺕ في سالب خمسة. سالب خمسة في واحد يساوي سالب خمسة. وسالب خمسة في سالب ثلاثة ﺕ يساوي موجب ١٥ﺕ. وسنضع هذه القيمة أسفل العدد اثنين مباشرة. وبعد ذلك، نجمع القيمتين الموجودتين في العمود الثاني معًا، أي اثنين زائد سالب خمسة زائد ١٥ﺕ. اثنان زائد سالب خمسة يساوي سالب ثلاثة، ثم نضيف ١٥ﺕ.

بعد ذلك، نعيد العملية نفسها بضرب واحد ناقص ثلاثة ﺕ في سالب ثلاثة زائد ١٥ﺕ. سالب ثلاثة في واحد يساوي سالب ثلاثة. وسالب ثلاثة في سالب ثلاثة ﺕ يساوي موجب تسعة ﺕ. و١٥ﺕ في واحد يساوي موجب ١٥ﺕ. و١٥ﺕ في سالب ثلاثة ﺕ يساوي سالب ٤٥ﺕ تربيع. نحن نعرف أن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد. إذا عوضنا عن ﺕ تربيع بسالب واحد، فسنحصل على سالب ٤٥ في سالب واحد، وهو ما يساوي موجب ٤٥.

يمكننا تجميع الحدود المتشابهة. سالب ثلاثة زائد ٤٥ يساوي ٤٢. ويمكننا تجميع تسعة ﺕ و١٥ﺕ، وهو ما يعطينا ٢٤ﺕ. إذن، في العمود الثالث، نكتب ٤٢ زائد ٢٤ﺕ بالأسفل. وبجمع كلا القيمتين في العمود الثالث معًا، أي سالب ٣٠ زائد ٤٢ زائد ٢٤ﺕ، نحصل على ١٢ زائد ٢٤ﺕ. بتكرار العملية نفسها مرة أخرى، علينا ضرب واحد ناقص ثلاثة ﺕ في ١٢ زائد ٢٤ﺕ. سنحتاج إلى فك هذه الأقواس بالتوزيع. واحد في ١٢ يساوي ١٢. وواحد في ٢٤ﺕ يساوي ٢٤ﺕ. سالب ثلاثة ﺕ في ١٢ يساوي سالب ٣٦ﺕ ؛ وضرب الحدين الأخيرين معًا يعطينا سالب ٧٢ﺕ تربيع.

مرة أخرى، علينا التعويض عن ﺕ تربيع بسالب واحد. إذن، سالب ٧٢ في سالب واحد يساوي موجب ٧٢. ‏٧٢ زائد ١٢ يساوي ٨٤، و٢٤ﺕ ناقص ٣٦ﺕ يعطينا سالب ١٢ﺕ. والآن، علينا جمع سالب ٨٨ زائد ٨٤ ناقص ١٢ﺕ، وهو ما يعطينا سالب أربعة ناقص ١٢ﺕ. بعد ذلك، نضرب واحد ناقص ثلاثة ﺕ في سالب أربعة ناقص ١٢ﺕ. واحد في سالب أربعة يساوي سالب أربعة. وواحد في سالب ١٢ﺕ يساوي سالب ١٢ﺕ. سالب ثلاثة ﺕ في سالب أربعة يساوي موجب ١٢ﺕ. سالب ثلاثة ﺕ في سالب ١٢ﺕ يساوي موجب ٣٦ﺕ تربيع.

نحن نعرف أن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد. إذن، موجب ٣٦ في سالب واحد يساوي سالب ٣٦. يمكننا تجميع الحدود المتشابهة. سالب أربعة زائد سالب ٣٦ يساوي سالب ٤٠. وسالب ١٢ﺕ زائد ١٢ﺕ يحذفان معًا. وبذلك، نضع سالب ٤٠ في العمود الخامس. ‏٤٠ زائد سالب ٤٠ يساوي صفرًا. إن وجود العدد صفر هذا في العمود الأخير يؤكد أن واحدًا ناقص ثلاثة ﺕ هو بالفعل أحد أصفار هذه الدالة. لكن ماذا نفعل الآن؟

لمتابعة القسمة التركيبية، نحتاج إلى صفر آخر لهذه الدالة. عندما يكون أحد الأصفار لدينا عددًا مركبًا، مثل واحد ناقص ثلاثة ﺕ، فهو يأتي في صورة زوج. فإذا كان واحد ناقص ثلاثة ﺕ أحد أصفار هذه الدالة، فإن واحدًا زائد ثلاثة ﺕ يكون صفرًا للدالة أيضًا. يمكننا استخدام واحد زائد ثلاثة ﺕ لنقسم باستخدام القسمة التركيبية مجددًا. سنتبع الخطوات نفسها، ونكتب في أسفل العمود الأول سالب خمسة.

نضرب واحدًا زائد ثلاثة ﺕ في سالب خمسة، وهو ما يساوي سالب خمسة ناقص ١٥ﺕ. نجمع القيمتين في العمود الثاني معًا. موجب ١٥ﺕ وسالب ١٥ﺕ يحذفان معًا. فيتبقى لدينا سالب ثمانية. والآن نضرب واحدًا زائد ثلاثة ﺕ في سالب ثمانية. سالب ثمانية في واحد زائد ثلاثة ﺕ يساوي سالب ثمانية ناقص ٢٤ﺕ. بجمع كلا القيمتين في العمود الثالث، نحصل على أربعة. وذلك لأن ١٢ ناقص ثمانية يساوي أربعة. و٢٤ﺕ ناقص ٢٤ﺕ يساوي صفرًا؛ ومرة أخرى نضرب واحد زائد ثلاثة ﺕ في أربعة فنحصل على أربعة زائد ١٢ﺕ. وبجمع القيمتين في العمود الرابع معًا، نحصل على صفر، وهذا يؤكد أن واحدًا زائد ثلاثة ﺕ هو أحد أصفار هذه الدالة.

والآن، سنستخدم هذه المعاملات الثلاثة لمساعدتنا على إيجاد الأصفار المتبقية. بعد إيجاد اثنين من أصفار الدالة، يجب أن تكون درجة كثيرة الحدود المناظرة هنا هي اثنين. إذن، لدينا الآن سالب خمسة ﺱ تربيع ناقص ثمانية ﺱ زائد أربعة. لإيجاد الأصفار المتبقية، يمكننا تحليل هذا المقدار. سالب خمسة ﺱ في ﺱ يساوي سالب خمسة ﺱ تربيع؛ ونحن نعرف أننا نحتاج إلى عددين حاصل ضربهما يساوي موجب أربعة.

يمكننا استخدام الأزواج: واحد وأربعة، أو سالب واحد وسالب أربعة، أو اثنين واثنين، أو سالب اثنين وسالب اثنين. نعرف أيضًا أن الحد الأوسط لا بد أن يساوي سالب ثمانية. إذا استخدمنا موجب اثنين في كلا القوسين، فسنضرب سالب خمسة ﺱ في موجب اثنين، وهذا يعطينا سالب ١٠ﺱ. ثم سنضرب اثنين في ﺱ، وهذا يعطينا موجب اثنين ﺱ. وسالب ١٠ﺱ زائد اثنين ﺱ يساوي سالب ثمانية ﺱ. إذن، الصورة التحليلية هي سالب خمسة ﺱ زائد اثنين في ﺱ زائد اثنين.

لإيجاد أصفار الدالة، علينا مساواة كل عامل من العاملين بصفر، إذن، صفر يساوي سالب خمسة ﺱ زائد اثنين وصفر يساوي ﺱ زائد اثنين. نبدأ من اليمين، لدينا صفر يساوي سالب خمسة ﺱ زائد اثنين. نطرح اثنين من كلا طرفي المعادلة. إذن، سالب اثنين يساوي سالب خمسة ﺱ. ثم نقسم كلا طرفي المعادلة على سالب خمسة. سالب اثنين على سالب خمسة يساوي موجب خمسين. ومن ثم، ﺱ يساوي موجب خمسين.

والآن، ننتقل إلى الجانب الأيسر، ونحل المعادلة صفر يساوي ﺱ زائد اثنين. نطرح اثنين من كلا طرفي المعادلة. ونجد أن سالب اثنين يساوي ﺱ، ويكتب هذا بالترتيب الأكثر شيوعًا، أي على الصورة ﺱ يساوي سالب اثنين. إذن، لدينا الأصفار عند ﺱ يساوي سالب اثنين، وعند ﺱ يساوي خمسين، وعند ﺱ يساوي واحدًا زائد ثلاثة ﺕ، وعند ﺱ يساوي واحدًا ناقص ثلاثة ﺕ. والآن، مطلوب منا في الجزء الثاني كتابة تحليل ﺩ ﺱ الخطي.

يمكننا البدء بإجراء التحليل باستخدام أول جذرين حقيقيين. أي إنه يمكننا البدء بـ ﺩ ﺱ تساوي سالب خمسة ﺱ زائد اثنين في ﺱ زائد اثنين. في الواقع، لا نريد أن يكون هذا المعامل الرئيسي سالبًا، لذا علينا إخراج سالب واحد ثم تغيير الإشارتين داخل القوسين. إذن، يصبح لدينا سالب خمسة ﺱ ناقص اثنين في ﺱ زائد اثنين. نحن نعلم أيضًا أن ﺱ يساوي واحدًا ناقص ثلاثة ﺕ أحد أصفار الدالة. وإذا طرحنا ﺱ من كلا طرفي هذه المعادلة، نجد أن صفرًا يساوي سالب ﺱ زائد واحد ناقص ثلاثة ﺕ.

لكن نتذكر أننا لا نريد أن تكون قيمة معامل ﺱ هذه سالبة. إذن، يمكننا ضرب كلا الطرفين في سالب واحد، هذا يعطينا صفرًا يساوي ﺱ ناقص واحد زائد ثلاثة ﺕ، وهكذا، نحصل على العامل الثالث وهو ﺱ ناقص واحد زائد ثلاثة ﺕ. والآن، علينا تكرار هذه الخطوة بالنسبة لصفر الدالة: ﺱ يساوي واحدًا زائد ثلاثة ﺕ. نطرح ﺱ من كلا الطرفين. ويصبح لدينا صفر يساوي سالب ﺱ زائد واحد زائد ثلاثة ﺕ. ثم نضرب كلا الطرفين في سالب واحد لحذف إشارة معامل ﺱ السالبة. ونحصل على صفر يساوي ﺱ ناقص واحد ناقص ثلاثة ﺕ. وبهذا، يكون العامل الرابع هو ﺱ ناقص واحد ناقص ثلاثة ﺕ. ومن ثم، فإن ﺩ ﺱ تساوي سالب خمسة ﺱ ناقص اثنين في ﺱ زائد اثنين في ﺱ ناقص واحد زائد ثلاثة ﺕ في ﺱ ناقص واحد ناقص ثلاثة ﺕ.