فيديو السؤال: حساب الاحتمالات من مخطط الشجرة البيانية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

يحتوي صندوق على سبع كرات خضراء وخمس كرات حمراء. إذا سحبت كرة عشوائيًّا مع الإحلال ثم سحبت كرة أخرى، فأوجد احتمال أن تكون الكرة الأولى حمراء والثانية خضراء.

دعونا نبدأ بتلخيص المعطيات الواردة في السؤال. يحتوي هذا الصندوق على سبع كرات خضراء وخمس كرات حمراء. إذن إجمالًا، هناك ١٢ كرة في الصندوق؛ أي سبع زائد خمس. وعلمنا من السؤال أن إحدى الكرات سحبت عشوائيًّا من بين هذه الكرات البالغ عددها ١٢ كرة. هذا يعني أن كل كرة في الصندوق لها فرصة متساوية في أن يقع عليها الاختيار. والمعطى الأهم الذي عرفناه من السؤال هو أن الكرة التي وقع الاختيار عليها قد أعيدت مرة أخرى. فقد وضعت في الصندوق قبل اختيار الكرة الثانية. ومطلوب منا إيجاد احتمال أن تكون الكرة الأولى حمراء والثانية خضراء، وهو ما يمكننا فعله من خلال استخدام مخطط الشجرة البيانية. هذا أحد أنواع فضاء العينة الذي يتيح لنا تمثيل جميع النواتج الممكنة لهذين الحدثين والاحتمالات المرتبطة بهما.

سنبدأ بتسجيل النواتج الممكنة للون الكرة الأولى. يمكن أن يكون أحمر أو أخضر. سنسجل بعد ذلك النواتج الممكنة للون الكرة الثانية. وفي الواقع، النواتج الممكنة لكلا الكرتين متماثلة. فبصرف النظر عما إذا كانت الكرة الأولى حمراء أو خضراء، يمكن أن تكون الكرة الثانية أيضًا حمراء أو خضراء. وبذلك نكون قد حصلنا على مخطط الشجرة البيانية الذي نريده. بعد ذلك، علينا التفكير في الاحتمالات الموجودة في كل فرع.

دعونا نتناول احتمال أن تكون الكرة الأولى حمراء. حسنًا، تذكر أننا نعرف أن هناك خمس كرات حمراء في الصندوق. ولدينا ١٢ كرة إجمالًا. إذا اختيرت هذه الكرة عشوائيًّا، فإن احتمال أن تكون كرة حمراء هو خمسة من ١٢. أما في حالة كون الكرة الأولى خضراء، فستكون هناك سبع كرات خضراء في الصندوق من إجمالي ١٢ كرة. إذن، احتمال أن تكون الكرة الأولى خضراء هو سبعة من ١٢ أو سبعة على ١٢. لاحظ أن مجموع هذين الاحتمالين؛ أي خمسة على ١٢ وسبعة على ١٢، يساوي واحدًا. وهذه ليست مصادفة. هذا ينطبق دائمًا على كل مجموعة من الفروع في مخطط الشجرة البيانية.

سنتناول بعد ذلك احتمالات لون الكرة الثانية. وأهم ما في الأمر هنا هو أن الكرة الأولى قد أعيدت إلى الصندوق. ما يعنيه هذا هو أن المخطط الممثل لاختيار الكرة الثانية يطابق المخطط الممثل لاختيار الكرة الأولى. لم يتغير شيء على الإطلاق. إذن، احتمال أن تكون الكرة الثانية حمراء، بغض النظر عما حدث سابقًا، يماثل ما كان عليه بالنسبة للكرة الأولى. إنه خمسة على ١٢. واحتمال أن تكون الكرة الثانية خضراء، بغض النظر عما حدث للكرة الأولى، هو نفسه احتمال أن الكرة الأولى كانت خضراء. إنه سبعة على ١٢.

حسنًا، لدينا الآن مخطط شجرة بيانية كامل. وعلينا استخدامه لإيجاد احتمال أن تكون الكرة الأولى حمراء والثانية خضراء. وهذا يتمثل في الناتج الموجود لدينا هنا. حسنًا، لإيجاد هذا الاحتمال، نتذكر أن علينا ضرب قيمتي كلا الاحتمالين اللذين سنشير إليهما على مخطط الشجرة البيانية. حسنًا، لدينا قيمة احتمال أن تكون الكرة الأولى حمراء وهي خمسة على ١٢، وقيمة احتمال أن تكون الكرة الثانية خضراء وهي سبعة على ١٢. هذا تطبيق على قاعدة «التقاطع» في الاحتمالات.

إذن احتمال أن تكون الكرة الأولى حمراء والثانية خضراء هو خمسة على ١٢ مضروبًا في سبعة على ١٢. سنضرب بسطي هذين الكسرين معًا؛ خمسة مضروبًا في سبعة يساوي ٣٥. وسنضرب المقامين معًا؛ أي ١٢ مضروبًا في ١٢ يساوي ١٤٤. ولا يمكن تبسيط هذا الاحتمال أكثر من ذلك. وليس علينا تحويله إلى عدد عشري.

إذن من خلال رسم مخطط الشجرة البيانية لكي نمثل جميع النواتج الممكنة في هذه الحالة، توصلنا إلى أن احتمال أن تكون الكرة الأولى حمراء والثانية خضراء يساوي ٣٥ على ١٤٤.