فيديو السؤال: اشتقاق تركيب الدوال الجذرية والدوال كثيرة الحدود باستخدام قاعدة الضرب الرياضيات

أوجد المشتقة الأولى للدالة ‪𝑓(𝑥) = (2𝑥⁴ + 𝑥 − 5)(𝑥² + 3√𝑥 − (3/𝑥))‬‏.

٠٧:٢٦

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد المشتقة الأولى للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي اثنين ‪𝑥‬‏ أس أربعة زائد ‪𝑥‬‏ ناقص خمسة مضروبًا في ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ثلاثة جذر ‪𝑥‬‏ ناقص ثلاثة على ‪𝑥‬‏.

أول ما سنفعله هو إعادة كتابة الدالة. في الواقع، سنغير الحدين اللذين ليسا على الصورة الأسية ليصبحا مكتوبين في صورة قوتين لـ ‪𝑥‬‏. وبفعل ذلك، نحصل على ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي اثنين ‪𝑥‬‏ أس أربعة زائد ‪𝑥‬‏ ناقص خمسة مضروبًا في ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ثلاثة ‪𝑥‬‏ أس نصف، وذلك لأن جذر ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ أس نصف؛ ناقص ثلاثة ‪𝑥‬‏ أس سالب واحد، وذلك لأن واحدًا على ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ أس سالب واحد.

حسنًا، هذا رائع! ولكن كيف يمكننا اشتقاق ذلك؟ في الواقع، سنستخدم قاعدة الضرب. ويمكننا استخدام هذه القاعدة لأن الدالة لدينا على الصورة: ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑢𝑣‬‏؛ لأن لدينا قيمة مضروبة في أخرى. وما تنص عليه قاعدة الضرب هو أن هناك طريقة لإيجاد المشتقة الأولى. فتنص على أنه يمكنك إيجاد المشتقة الأولى، أي ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏، عن طريق ضرب ‪𝑢‬‏ في ‪d𝑣‬‏ على ‪d𝑥‬‏ زائد ‪𝑣‬‏ مضروبًا في ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏.

هذا يعني ضرب ‪𝑢‬‏ في مشتقة ‪𝑣‬‏ زائد ‪𝑣‬‏ مضروبًا في مشتقة ‪𝑢‬‏. دعونا الآن نطبق ذلك ونستخدمه في إيجاد المشتقة الأولى للدالة. إذن، سنحدد قيمتي ‪𝑢‬‏ و‪𝑣‬‏ أولًا. ‏‪𝑢‬‏ سيساوي اثنين ‪𝑥‬‏ أس أربعة زائد ‪𝑥‬‏ ناقص خمسة، و‪𝑣‬‏ سيساوي ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ثلاثة ‪𝑥‬‏ أس نصف ناقص ثلاثة ‪𝑥‬‏ أس سالب واحد.

والآن سنشتق كلًّا من ‪𝑢‬‏ و‪𝑣‬‏. إذن ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏ سيساوي ثمانية ‪𝑥‬‏ تكعيب زائد واحد، وهذه هي مشتقة ‪𝑢‬‏. وقد حصلنا على ذلك باستخدام قاعدة الاشتقاق المعتادة. على سبيل المثال، سنتناول الحد الأول. حصلنا على ذلك لأن لدينا اثنين مضروبًا في أربعة، أي المعامل مضروبًا في الأس، وهو ما يعطينا ثمانية. ثم نطرح واحدًا من الأس، ما يعطينا ‪𝑥‬‏ تكعيب. حسنًا، هذا رائع! والآن دعونا ننتقل إلى ‪d𝑣‬‏ على ‪d𝑥‬‏. حسنًا، فيما يخص ‪d𝑣‬‏ على ‪d𝑥‬‏، سنحصل على اثنين ‪𝑥‬‏ زائد ثلاثة على اثنين ‪𝑥‬‏ أس سالب نصف زائد ثلاثة ‪𝑥‬‏ أس سالب اثنين.

حصلنا على ذلك باستخدام القواعد المعتادة للاشتقاق. وتجدر الإشارة إلى هذا الجزء هنا. فلدينا ثلاثة على اثنين. وذلك لأن هذا يساوي ثلاثة في نصف، وهو ما يعطينا ثلاثة على اثنين أو واحدًا ونصفًا. ولدينا ‪𝑥‬‏ أس سالب نصف. وفي الواقع، لدينا سالب نصف؛ لأنه إذا كان لدينا نصف ناقص واحد، فهذا يعطينا سالب نصف. علينا أن ننتبه هنا إلى الإشارات السالبة. إذن يمكننا الآن تطبيق قاعدة الضرب لإيجاد المشتقة الأولى للدالة التي لدينا.

المشتقة الأولى تساوي اثنين ‪𝑥‬‏ أس أربعة زائد ‪𝑥‬‏ ناقص خمسة مضروبًا في اثنين ‪𝑥‬‏ زائد ثلاثة على اثنين ‪𝑥‬‏ أس سالب نصف زائد ثلاثة ‪𝑥‬‏ أس سالب اثنين. وسبب حصولنا على ذلك هو أنه يمثل ‪𝑢‬‏ في ‪d𝑣‬‏ على ‪d𝑥‬‏. وبعد ذلك، نضيف إلى ذلك ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ثلاثة ‪𝑥‬‏ أس نصف ناقص ثلاثة ‪𝑥‬‏ أس سالب واحد مضروبًا في ثمانية ‪𝑥‬‏ تكعيب زائد واحد. وهذا لأن ذلك يمثل ‪𝑣‬‏ في ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏.

والآن، الخطوة التالية هي فك الأقواس. وبذلك نحصل على أربعة ‪𝑥‬‏ أس خمسة لأن لدينا اثنين ‪𝑥‬‏ أس أربعة مضروبًا في اثنين ‪𝑥‬‏. وبعد ذلك، موجب ثلاثة ‪𝑥‬‏ أس سبعة على اثنين لأن لدينا اثنين مضروبًا في ثلاثة على اثنين. وهذا يعطينا ثلاثة، أي اثنين في واحد ونصف. ولدينا ‪𝑥‬‏ أس أربعة مضروبًا في ‪𝑥‬‏ أس سالب نصف. فنجمع الأسين. ويصبح لدينا أربعة، وهو ما يساوي ثمانية على اثنين، ناقص واحد على اثنين، ما يعطينا سبعة على اثنين.

وبعد ذلك، موجب ستة ‪𝑥‬‏ تربيع، زائد اثنين ‪𝑥‬‏ تربيع، زائد ثلاثة على اثنين ‪𝑥‬‏ أس نصف. وقد حصلنا على ذلك لأن لدينا ‪𝑥‬‏، وهذا يمثل ‪𝑥‬‏ أس واحد، ثم نضرب ‪𝑥‬‏ أس واحد في ‪𝑥‬‏ أس سالب نصف. وواحد ناقص نصف يساوي نصفًا. وأخيرًا، موجب ثلاثة ‪𝑥‬‏ أس سالب واحد. حسنًا، هذا رائع! هذان هما أول حدين بعد توزيعهما باستخدام الضرب. دعونا ننتقل إلى الحد الأخير في القوسين الأولين. نحصل على سالب 10𝑥 ناقص 15 على اثنين ‪𝑥‬‏ أس سالب نصف ناقص 15𝑥 أس سالب اثنين.

حسنًا، هذا رائع! هذا هو حاصل ضرب أول زوج من الأقواس. بعد ذلك، نضيف ثمانية ‪𝑥‬‏ أس خمسة زائد ‪𝑥‬‏ تربيع. وهذا يعطينا 24𝑥 أس سبعة على اثنين زائد ثلاثة ‪𝑥‬‏ أس نصف. وقد حصلنا على 24𝑥 أس سبعة على اثنين لأن لدينا ثلاثة مضروبًا في ثمانية، وهو ما يعطينا 24، ثم ‪𝑥‬‏ أس نصف مضروبًا في ‪𝑥‬‏ أس ثلاثة. فنجمع الأسين، وهما ثلاثة ونصف، وهو ما يساوي سبعة على اثنين.

وأخيرًا، نضرب الحد الأخير في كل من القوسين. فنحصل على سالب 24𝑥 تربيع ناقص ثلاثة ‪𝑥‬‏ أس سالب واحد. كما نلاحظ، يوجد العديد من الحدود. هذا مفكوك طويل إلى حد ما. لذا، علينا أن ننتبه جيدًا عند ضرب كل حد للتأكد من ضربه بشكل صحيح. حسنًا، ما علينا فعله الآن هو التبسيط. وسنفعل ذلك في خطوات.

أولًا، نتناول حدي ‪𝑥‬‏ أس خمسة. ولدينا أربعة زائد ثمانية، وهو ما يعطينا 12𝑥 أس خمسة. سنرتب قوى ‪𝑥‬‏ تنازليًّا. ومن ثم، فالحدان التاليان هما ‪𝑥‬‏ أس سبعة على اثنين. نحصل على موجب 27𝑥 أس سبعة على اثنين. ننتقل الآن إلى حدود ‪𝑥‬‏ تربيع. لدينا موجب ستة ‪𝑥‬‏ تربيع زائد اثنين ‪𝑥‬‏ تربيع، وهو ما يعطينا ثمانية ‪𝑥‬‏ تربيع. وبعد ذلك، نضيف ‪𝑥‬‏ تربيع، وهو ما يعطينا تسعة ‪𝑥‬‏ تربيع. ونطرح 24𝑥 تربيع، وهو ما يعطينا سالب 15𝑥 تربيع.

الحد التالي هو موجب تسعة على اثنين ‪𝑥‬‏ أس نصف، وذلك لأن لدينا ثلاثة على اثنين، أي واحدًا ونصف ‪𝑥‬‏ أس نصف زائد ثلاثة ‪𝑥‬‏ أس نصف، وهو ما يعطينا أربعة ونصف ‪𝑥‬‏ أس نصف، وهو ما يساوي تسعة على اثنين ‪𝑥‬‏ أس نصف ناقص 10𝑥. وننتقل بعد ذلك إلى الأسس السالبة. لدينا سالب 15 على اثنين ‪𝑥‬‏ أس سالب نصف. إذا نظرنا بعد ذلك، فسنجد أن لدينا حدي ‪𝑥‬‏ أس سالب واحد. لكن لدينا موجب ثلاثة ‪𝑥‬‏ أس سالب واحد، ناقص ثلاثة ‪𝑥‬‏ أس سالب واحد، ومن ثم يلغي كل منهما الآخر. وأخيرًا، لدينا سالب 15𝑥 أس سالب اثنين.

حسنًا، هذا رائع! بهذا نكون قد بسطنا المفكوك، وسنعيد الآن كتابة المقدار على صورته الأصلية. ولذا، سنستبدل بعض الأسس ليحل محلها جذور. ومن ثم، يمكننا القول إن المشتقة الأولى للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي اثنين ‪𝑥‬‏ أس أربعة زائد ‪𝑥‬‏ ناقص خمسة مضروبًا في ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ثلاثة جذر ‪𝑥‬‏ ناقص ثلاثة على ‪𝑥‬‏؛ هي 12𝑥 أس خمسة زائد 27𝑥 أس ثلاثة مضروبًا في جذر ‪𝑥‬‏ ناقص 15𝑥 تربيع زائد تسعة على اثنين جذر ‪𝑥‬‏ ناقص 10𝑥 ناقص 15 على اثنين جذر ‪𝑥‬‏ ناقص 15 على ‪𝑥‬‏ تربيع.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.