فيديو الدرس: تبسيط النسب الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنراجع سريعًا رمز النسبة والأفكار المتعلقة بها، ومن ثم سنعبر عن بعض النسب بأبسط صورة. النسب هي طريقة للتعبير عن المقارنة بين مقداري كميتين أو أكثر. والنسب لا علاقة لها بالوحدات؛ إذ تخبرك فقط بمضاعفات مقادير الكميات. لكن عليك الانتباه ووضع الوحدات (إن وجدت) في الاعتبار. على سبيل المثال، لعمل خليط من الملاط لبناء جدار من الطوب، تستخدم في الخليط جزأين من الإسمنت لكل سبعة أجزاء من الرمل. وذلك يمكن أن يكون كيسين من الإسمنت وسبعة أكياس من الرمل، أو ملء مجرفتين من الإسمنت وملء سبع مجارف من الرمل، أو حتى طنين من الإسمنت وسبعة أطنان من الرمل. فلا يهم الوحدات التي تستخدمها طالما أنك تستخدم نفس عدد هذه الوحدات لكلا الشيئين على الترتيب. وبالتالي عندما يتم الخلط، فإن الحمولة الواحدة من الملاط تحتوي على جزأين من الإسمنت وسبعة أجزاء من الرمل. كما أنها تحتوي على الماء أيضًا، لكن هذه قصة أخرى. غالبًا ما نستخدم رمز النقطتين الرأسيتين هكذا في الوسط، ومن المهم جدًا تحديد ترتيب النسبة. يوجد هنا جزءان من الإسمنت وسبعة أجزاء من الرمل، فالنسبة إذن من الإسمنت إلى الرمل.

ويمكنك في الواقع تمثيل النسب في صورة كسور: سبعان أو سبعة على اثنين أو سبعة أنصاف. لكن عليك توخي الحذر عند القيام بذلك وتوضيح معنى هذه الكسور بالضبط. على سبيل المثال، سبعان يعني أن كمية الإسمنت تمثل سبعي كمية الرمل. وسبعة على اثنين يعني أن كمية الرمل تعادل سبعة أنصاف كمية الإسمنت، أي إن كمية الرمل تعادل ثلاثة أمثال ونصف كمية الإسمنت في الخليط. لذا، إذا كنت تستخدم الكسور لتمثيل النسب، فتذكر أنك تقارن الأجزاء بالأجزاء، لا الأجزاء بالكل. هذا الأمر مربك بشكل خاص؛ لأننا غالبًا ما نستخدم الكسور لمقارنة الأجزاء بالكل. تتكون حمولة من الملاط، على سبيل المثال، من جزأين من الإسمنت وسبعة أجزاء من الرمل، أي تسعة أجزاء إجمالًا. وهذا يعني أن تسعي خليط الملاط مكون من إسمنت وسبعة أتساع الخليط مكون من رمل. وهكذا تلاحظ من أين يأتي الالتباس. لدينا مجموعتان مختلفتان من الكسور التي تعني شيئين مختلفين تمامًا. لذا من المهم جدًا استخدام الكلمات لوصف الغرض من الكسر إذا كنت تستخدم الكسور لتمثيل النسب. ويرى البعض أنه من الأفضل بكثير استخدام النسبة نفسها بهذا الشكل ذي النقطتين الرأسيتين لتمثيل النسب.

لنلق نظرة على مثال آخر. في وصفة معينة لخليط الكعك، مذكور أنك تحتاج إلى ثماني أوقيات من الزبدة الطرية، وأربع أوقيات من السكر الناعم، و١٠ أوقيات من الدقيق العادي. ومن ثم فنسبة الزبدة إلى السكر إلى الدقيق: ثمانية إلى أربعة إلى ١٠. إذا كنا سنصنع الكثير والكثير من الكعك وسنستخدم ثمانية أطنان من الزبدة، فسنحتاج إلى أربعة أطنان من السكر و١٠ أطنان من الدقيق. لكن لاحظ أن كلًا من هذه الأعداد قابل للقسمة على اثنين. وإذا قسمنا كل واحد منها على اثنين، فسنحصل على النسبة أربعة إلى اثنين إلى خمسة. وهي نسبة مكافئة. في الواقع، إنها النسبة نفسها ولكن في أبسط صورة. لذلك فإن أربعة إلى اثنين إلى خمسة تمثل النسبة نفسها، لكن هذه الأعداد ليس بينها أي عوامل مشتركة أكبر من الواحد؛ لذا نقول: إن هذه النسبة في أبسط صورة. هذه الأعداد تمثل النسبة نفسها. على سبيل المثال، إذا ضاعفت أربعة فسأحصل على ثمانية، وإذا ضاعفت اثنين فسأحصل على أربعة. وبالتالي فإن كمية الزبدة ضعف كمية السكر. إذا ضربت أربعة في ٢٫٥، وضربت اثنين في ٢٫٥، فسأحصل على ١٠ وخمسة. وبالتالي فكمية الدقيق تساوي مرتين ونصف كمية السكر. النسب إذن هي طريقة لمقارنة مضاعفات كميات المكونات المختلفة.

إليك مثالًا آخر، سنصنع كوبًا من عصير البرتقال، بأن نصب جزءًا من شراب البرتقال وخمسة أجزاء من الماء، ثم نخلط المزيج لصنع عصير لذيذ. وبالتالي في العصير النهائي، تكون نسبة الماء إلى شراب البرتقال خمسة إلى واحد. وإذا كنت تود أن تكتب النسب في صورة كسور، فإن نسبة الماء إلى شراب البرتقال تساوي خمسة على واحد؛ لأن كمية الماء خمسة أضعاف كمية شراب البرتقال. ونسبة شراب البرتقال إلى الماء ستساوي الخمس؛ لأن كمية الشراب تساوي خمس كمية الماء في العصير. لكن يمكننا أيضًا أن نتحدث عن النسبة التي يمثلها الماء من العصير ككل، والنسبة التي يمثلها الشراب من العصير ككل. يتكون العصير من خمسة أجزاء من الماء وجزء واحد من شراب البرتقال. هذا يساوي ستة أجزاء إجمالًا. وللتعبير عن ذلك، نقول إن الماء يمثل خمسة أسداس العصير ككل، أو إن شراب البرتقال يمثل سدس العصير ككل.

وإليك سؤالًا عن تبسيط النسب. تحتوي حقيبة على ١٠ خرزات حمراء وخمس خرزات زرقاء. عبر عن نسبة الخرزات الحمراء إلى الخرزات الزرقاء في أبسط صورة. في البداية، أنصح بكتابة النسبة التي نود إيجادها، أي الأحمر إلى الأزرق. من المهم ترتيب الأعداد ترتيبًا صحيحًا، وإلا فستجيب عن السؤال بطريقة خاطئة، النسبة إذن هي الأحمر إلى الأزرق. يحتوي الكيس على ١٠ خرزات حمراء وخمسة زرقاء؛ لذا ستكون النسبة ١٠ إلى خمسة. لكن لاحظ أن كل عدد من هذه الأعداد يقبل القسمة على خمسة؛ فالخمسة هو العامل المشترك الأكبر. وإذا قسمت هذه الأعداد على خمسة، فسأحصل على العددين اثنين وواحد. بالنسبة للعددين اثنين وواحد، فالعامل المشترك الأكبر هو الواحد. عندما يكون لديك نسبة العامل المشترك الأكبر بين جزأيها يساوي واحدًا، يمكنك القول: إن هذه النسبة في أبسط صورة.

هذا سؤال آخر. عبر عن النسبة: ٣٢ إلى ١٨ في أبسط صورة. علينا محاولة إيجاد العامل المشترك الأكبر لـ ٣٢ و١٨، ثم نقسمهما على ذلك العامل المشترك الأكبر. إحدى طرق البحث عن العامل المشترك الأكبر هي تحليل كلا العددين إلى عوامله الأولية والبحث عن العوامل الأولية المشتركة بينهما. والعامل المشترك الوحيد هنا هو اثنان فقط. لذلك سيكون الاثنان هو العامل المشترك الأكبر. بقسمة جزأي النسبة على اثنين، سنحصل على ١٦ إلى تسعة. إذن، ها هي الإجابة: أبسط صورة للنسبة ٣٢ إلى ١٨ هي ١٦ إلى تسعة. لكن كما رأينا في المقدمة، تحتوي النسب في بعض الأحيان على أكثر من جزأين. في هذا السؤال، عبر عن النسبة: ١٢ إلى ٢٤ إلى ٤٢ في أبسط صورة؛ هذه نسبة مكونة من ثلاثة أجزاء. علينا إيجاد العامل المشترك الأكبر لهذه الأعداد الثلاثة. ها قد قمنا بتحليل كل من هذه الأعداد إلى عوامله الأولية، وعلينا الآن إيجاد العوامل الأولية المشتركة. جميع الأعداد تشترك في العامل اثنين، وجميعها تشترك في العامل ثلاثة، وهذا كل شيء. حاصل ضرب اثنين في ثلاثة هو العامل المشترك الأكبر. وهو يساوي ستة؛ لذلك سأقسم كلًا من الأعداد على ستة. ‏‏١٢ على ستة يساوي اثنين، و٢٤ على ستة يساوي أربعة، و٤٢ على ستة يساوي سبعة. فعندما نعبر عن النسبة في صورة: ١٢ إلى ٢٤ إلى ٤٢، فإن كل هذه الأعداد تقبل القسمة على ستة. وإذا قسمناها على ستة، فسنحصل على الأعداد: اثنين وأربعة وسبعة. والعامل المشترك الأكبر لهذه الأعداد هو الواحد؛ لذا فهذه هي النسبة في أبسط صورها: اثنان إلى أربعة إلى سبعة.

فلكي نلخص عملية تبسيط النسبة، تكتب النسبة ثم أول ما عليك فعله هو إيجاد العامل المشترك الأكبر. وإذا كانت الأعداد سهلة، فقد تتمكن من معرفة الإجابة على الفور. بخلاف ذلك، قد تحتاج إلى التحليل إلى العوامل الأولية أو قد تحتاج إلى كتابة جميع عوامل كل من هذه الأعداد. بمجرد معرفة العامل المشترك الأكبر، عليك قسمة كل جزء من أجزاء النسبة على ذلك العدد. وإذا كان العامل المشترك الأكبر لجميع الأعداد في النسبة التي توصلت إليها يساوي واحدًا، فحينئذ تعرف أن النسبة في أبسط صورة.