نسخة الفيديو النصية
إذا كان ﻉ واحد يساوي اثنين جذر ثلاثة زائد اثنين ﺕ، وﻉ اثنان يساوي سالب اثنين ناقص اثنين جذر ثلاثة ﺕ، فأوجد ﻉ واحد مضروبًا في ﻉ اثنين، واكتب إجابتك على الصورة الأسية.
في هذا السؤال، لدينا عددان مركبان على الصورة: ﺱ زائد ﺹﺕ؛ حيث ﺱ هو الجزء الحقيقي وﺹ هو الجزء التخيلي من العدد المركب. مطلوب منا حساب حاصل ضرب العددين المركبين ﻉ واحد وﻉ اثنين. يمكننا فعل ذلك عن طريق توزيع الأقواس باستخدام طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني. بضرب الحدين الأولين معًا، نحصل على سالب أربعة جذر ثلاثة. وبضرب الحدين الخارجيين معًا، نحصل على سالب ١٢ﺕ. وهذا لأن اثنين مضروبًا في سالب اثنين يساوي سالب أربعة. وجذر ثلاثة مضروبًا في جذر ثلاثة يساوي ثلاثة. وأخيرًا، سالب أربعة مضروبًا في ثلاثة يساوي سالب ١٢.
بضرب الحدين الأوسطين معًا، نحصل على سالب أربعة ﺕ. وأخيرًا، بضرب الحدين الأخيرين معًا، نحصل على سالب أربعة جذر ثلاثة ﺕ تربيع. لعلنا نتذكر أنه عند التعامل مع الأعداد المركبة يكون ﺕ تربيع مساويًا لسالب واحد. هذا يعني أن سالب أربعة جذر ثلاثة ﺕ تربيع يساوي موجب أربعة جذر ثلاثة. يمكننا الآن تجميع الحدود المتشابهة. يحذف الحدان الحقيقيان لأن سالب أربعة جذر ثلاثة زائد أربعة جذر ثلاثة يساوي صفرًا. وﻉ واحد مضروبًا في ﻉ اثنين يساوي سالب ١٦ﺕ.
لعلنا نتذكر أنه يمكن كتابة أي عدد مركب على الصورة الأسية، حيث ﻉ يساوي ﻝ مضروبًا في ﻫ أس ﺕ𝜃؛ حيث ﻝ هو مقياس العدد المركب و𝜃 هو سعته. مقياس أي عدد مركب يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع؛ حيث ﺱ وﺹ يمثلان الجزأين الحقيقي والتخيلي، على الترتيب. والسعة 𝜃 تساوي الدالة العكسية لظل ﺹ على ﺱ. وبما أن العدد المركب سالب ١٦ﺕ لا يحتوي على جزء حقيقي، فإن ﺱ يساوي صفرًا، وﺹ يساوي سالب ١٦. إذن، ﻝ يساوي الجذر التربيعي لصفر تربيع زائد سالب ١٦ تربيع. وهذا يساوي ١٦.
𝜃 يساوي الدالة العكسية لظل سالب ١٦ على صفر. وبما أن المقام يساوي صفرًا، فإن هذه قيمة غير معرفة. هذا يعني أننا نبحث عن قيمة 𝜃؛ حيث ظا 𝜃 قيمة غير معرفة. وهذا يحدث عند 𝜋 على اثنين زائد ﻥ𝜋. لإيجاد قيمة 𝜃 الصحيحة لهذا السؤال، سنفرغ بعض المساحة ونرسم مخطط أرجاند.
حسنًا، العدد المركب ﻉ واحد ﻉ اثنان له قيمة حقيقية تساوي صفرًا، وقيمة تخيلية تساوي سالب ١٦. يقع هذا عند النقطة التي تفصل بين الربعين الثالث والرابع. ونحن نعلم أن هذا يناظر الزاوية ثلاثة 𝜋 على اثنين. قيمة السعة 𝜃 تساوي ثلاثة 𝜋 على اثنين. يمكننا إذن استنتاج أن العدد المركب ﻉ واحد ﻉ اثنين يكتب على الصورة الأسية: ١٦ﻫ أس ثلاثة 𝜋 على اثنين ﺕ.
