فيديو السؤال: كتابة الدوال التربيعية بصيغة رأس المنحنى

نسخة الفيديو النصية

عند إكمال المربع للدالة التربيعية ﺩ في المتغير ﺱ تساوي ﺱ تربيع زائد ١٤ﺱ زائد ٤٦، نصل إلى المفكوك ﺱ ناقص ﺏ تربيع زائد جـ. ما قيمة جـ؟

قبل البدء بإيجاد قيمة جـ أو ﺏ لهذه المسألة، نحتاج إلى إكمال المربع لهذه الدالة. أول شيء أريد فعله هو جعل الدالة تساوي صفرًا. إذن، قمت بتغيير ﺩ في المتغير ﺱ إلى صفر.

لإكمال المربع، نريد أخذ شيء يبدو كهذا: ﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد جـ يساوي صفرًا، ونحوله إلى ﺱ زائد ﺏ على اثنين تربيع يساوي ﺏ على اثنين تربيع ناقص جـ. قد يبدو الأمر أصعب مما هو عليه في الحقيقة عند النظر إلى كل هذه المتغيرات. ولكن دعونا نحلها خطوة بخطوة معًا.

أول شيء سنفعله هو النظر إلى المتغير جـ. سنأخذ العدد ٤٦ وننقله إلى الطرف الآخر من المعادلة. ولفعل هذا، سنطرح ٤٦ من كلا الطرفين. في الطرف الأيمن، موجب ٤٦ ناقص ٤٦ يساوي صفرًا. نحذف العددين معًا. وفي الطرف الأيسر، يتبقى لدينا سالب ٤٦. نكتب بالأسفل ﺱ تربيع. ونكتب ١٤ﺱ بالأسفل. ما علينا فعله الآن هو إضافة ﺏ على اثنين تربيع إلى كلا طرفي المعادلة.

قيمة ﺏ هي ١٤. نعرف هذا بالنظر إلى الصورة القياسية من المعادلة بالسطر الأعلى ورؤية معامل ﺱ. إذن نعوض بـ ١٤ على اثنين تربيع ونضيفه إلى كلا طرفي المعادلة. ١٤ على اثنين يساوي سبعة. إذن نحتاج إلى أخذ سبعة تربيع ونضيفه إلى كلا طرفي المعادلة، ما يعني أننا سنضيف ٤٩ إلى كلا طرفي المعادلة. هذا ما لدينا الآن: ٤٩ ناقص ٤٦ يساوي ﺱ تربيع زائد ١٤ﺱ زائد ٤٩. سأنسخ هذه المعادلة مرة أخرى هنا ليكون لدينا مساحة أوسع للكتابة. يمكننا المتابعة وطرح ٤٦ من ٤٩، ما يعطينا ثلاثة.

وهنا تأتي خطوة إكمال المربع. في الطرف الأيمن من معادلتنا، أكملنا مربعًا. ‏ﺱ تربيع زائد ١٤ﺱ زائد ٤٩ يساوي ﺱ زائد سبعة تربيع. يمكننا رؤية هذا هنا. لدينا ﺱ زائد ﺏ على اثنين، أي في هذه الحالة، ١٤ على اثنين تربيع. ثم نكتب الثلاثة بالأسفل. ما سنفعله الآن هو محاولة كتابة كل شيء في الطرف نفسه من المعادلة. ولفعل هذا، سنطرح ثلاثة من كلا الطرفين. والآن لدينا ﺱ زائد سبعة تربيع ناقص ثلاثة يساوي صفرًا.

والآن لنلق نظرة على ما كانت تطلبه منا المسألة. تقول المسألة إننا نصل إلى المقدار ﺱ ناقص ﺏ تربيع زائد جـ. فهل وصلنا إلى ﺱ ناقص ﺏ تربيع زائد جـ؟ قد لا نظن ذلك من النظرة الأولى. ولكن هناك شيئًا يمكننا فعله لجعل الأمور أكثر وضوحًا.

ماذا لو كتبنا ﺱ ناقص سالب سبعة تربيع زائد سالب ثلاثة؟ إذا كتبنا معادلتنا بالصورة ﺱ ناقص سالب سبعة تربيع زائد سالب ثلاثة، فلن نكون قد غيرنا قيمة المقدار على الإطلاق. وهو الآن بالصورة التي طلبتها المسألة.

وإذا نظرنا إلى هذه الصورة، يمكننا القول إن جـ يساوي سالب ثلاثة. قيمة جـ، أي القيمة المطلوبة، هي في الحقيقة الجزء الذي يتقاطع عنده منحنى الدالة مع المحور ﺹ. وقد أوجدنا أن جـ يساوي سالب ثلاثة.