فيديو الدرس: المسافة على المستوى الإحداثي: المسافة الأفقية والرأسية الرياضيات • الصف السادس الابتدائي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الدرس، سوف نتعلم كيف نوجد المسافة الأفقية والرأسية بين نقطتين على المستوى الإحداثي. يمكننا اعتبار أن المسافة الرأسية هي التغير في قيمة المحور ﺹ، وأن المسافة الأفقية هي التغير في قيمة المحور ﺱ. لذا، بنهاية هذا الدرس، نأمل أن تتمكن من إيجاد المسافة الأفقية أو الرأسية بين نقطتين على المستوى الإحداثي، ومن إيجاد أطوال أضلاع أشكال في المستوى الإحداثي.

ولكي نتمكن من ذلك، علينا أن نعرف كيفية تحديد نقاط الإحداثيات في المستوى الإحداثي. على سبيل المثال، إذا ألقينا نظرة على هذه النقطة التي على المستوى الإحداثي، فستكون إحداثياتها هي: ثلاثة، ثلاثة. وذلك لأنها تقع عند ثلاثة في اتجاه المحور ﺱ، وثلاثة في اتجاه المحور ﺹ. حسنًا، هذا رائع! لنلق نظرة الآن على المثال الأول.

أوجد طول القطعة المستقيمة ﺃﺏ.

حسنًا، توجد طريقتان لحل هذا السؤال. أولًا، الطريقة الأولى هي ببساطة عد المربعات الواقعة بين النقطتين. وذلك لأننا إذا وصلنا بين ﺃ وﺏ، نحصل على القطعة المستقيمة ﺃﺏ. وإذا عددنا المربعات الواقعة بينهما، فسيكون عددها ست وحدات. وذلك لأن كل مربع يساوي وحدة طول واحدة. وهذه هي المسافة الرأسية بين ﺃ وﺏ. إذن، يمكننا القول إن طول القطعة المستقيمة ﺃﺏ يساوي ست وحدات طول.

لكنني قلت إنه توجد طريقة أخرى لحل هذا السؤال. حسنًا، الطريقة الأخرى للحل هي أن ننظر إلى إحداثيات كل نقطة. إذن، إحداثيات ﺃ هي: ستة، اثنان. وإحداثيات ﺏ هي: ستة، ثمانية. ولأن لهما الإحداثي ﺱ نفسه، فهذا يعني أننا نعرف أنهما في المستوى الرأسي نفسه. وعليه، نعلم أن المسافة بينهما ستكون التغير في قيم ﺹ، أي التغير في قيمتي الإحداثي ﺹ. والتغير في قيمتي الإحداثي ﺹ سيكون ثمانية ناقص اثنين، وهو ما يساوي ستة، ومن ثم نحصل على الناتج نفسه.

كان هذا مثالًا بسيطًا للبدء. لكننا سنلقي نظرة على مثال آخر يتضمن المسافتين الأفقية والرأسية بين نقطتين. وحتى الآن، أوضحنا طريقتين لفعل ذلك. لكن ما سنفعله قبل تناول المثال التالي هو إلقاء نظرة على صيغة المسافة بين نقطتين. تمكننا صيغة المسافة بين نقطتين من إيجاد المسافة بين أي نقطتين على المستوى الإحداثي. لننظر إلى نقطتين. النقطتان اللتان لدينا هما: ﺃ؛ ويمكن أن نرمز لها بـ ﺱﺃ، وﺹﺃ، وﺏ؛ وهي عبارة عن ﺱﺏ، وﺹﺏ.

حسنًا، في الواقع ما يمكننا فعله هو إيجاد المسافة بينهما بتطبيق نظرية فيثاغورس. ولذلك، يمكننا القول إن المسافة بين ﺃ وﺏ تساوي الجذر التربيعي لـ ﺱﺏ ناقص ﺱ ﺃ الكل تربيع؛ أي التغير في قيمتي ﺱ الكل تربيع، زائد ﺹ ﺏ ناقص ﺹ ﺃ الكل تربيع؛ وهذا هو التغير في قيمتي ﺹ الكل تربيع. والسبب في قابلية تطبيق ذلك هو أننا إذا تخيلنا نقطتين؛ وهما النقطة ﺃ والنقطة ﺏ، ووصلنا بينهما، فسيصبح لدينا مثلث قائم الزاوية يكون فيه الطول الرأسي هو التغير في قيمتي ﺹ، وهو ﺹﺏ ناقص ﺹﺃ، ويكون الطول الأفقي الذي يمثل التغير في قيمتي ﺱ، هو ﺱﺏ ناقص ﺱﺃ.

يمكن استخدام هذه الطريقة لإيجاد المسافة بين أي نقطتين على المستوى الإحداثي. لكننا لاحظنا بالفعل أنه إذا نظرنا إلى المسافات الأفقية أو الرأسية، يمكننا إيجادها باستخدام طرق أبسط. لكن ما نريد فعله هو إثبات كيف يمكن تطبيقها في الواقع على مسائل تتضمن مسافات أفقية ورأسية. ومن ثم، سنستخدمها في المثال التالي.

أوجد طولي القطعة المستقيمة ﺃﺏ والقطعة المستقيمة ﺩﺟ، إذا كانت إحداثيات النقاط ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ هي سالب اثنين، ثلاثة وخمسة، ثلاثة وسالب اثنين، سالب أربعة وسالب اثنين، سالب خمسة، على الترتيب، باعتبار أن وحدة الطول تساوي سنتيمترًا واحدًا.

أول ما علينا فعله هو تحديد القطعتين المستقيمتين على الشكل، وهما: ﺃﺏ وﺩﺟ. وبما أن لدينا بالفعل خطًّا مستقيمًا أفقيًّا لـ ﺃﺏ وخطًّا مستقيمًا رأسيًّا لـ ﺩﺟ، فإنه يمكننا استخدام طريقتين لحل المسألة. تتسم الطريقة الأولى بأنها مباشرة أكثر، لكنني أريد أيضًا أن أوضح لكم طريقة رياضية أكثر لكي أشرح لكم كيف يمكن استخدام صيغة لهذا النوع من المسائل أيضًا. حسنًا، لإيجاد طول القطعة المستقيمة ﺃﺏ، بما أنها قطعة أفقية، فما علينا فعله هو معرفة التغير في قيمتي الإحداثي ﺱ.

ويمكننا إيجاده باستخدام الإحداثي ﺱ للنقطة ﺏ، وطرح الإحداثي ﺱ للنقطة ﺃ منه. إذن لدينا خمسة ناقص سالب اثنين، وهو ما يعطينا الإجابة سبعة سنتيمترات. ويمكننا التحقق من صحة ذلك عن طريق عد المربعات على الشكل. وبما أن لدينا هنا سبعة مربعات، إذن طول القطعة سيكون سبعة سنتيمترات.

حسنًا، هذا رائع! لنلق الآن نظرة على القطعة المستقيمة ﺩﺟ. حسنًا، هذه المرة نريد معرفة طول القطعة المستقيمة ﺩﺟ، وهي عبارة عن خط رأسي، لذا نريد معرفة التغير في قيمتي الإحداثي ﺹ. لدينا إذن سالب أربعة ناقص سالب خمسة، وهو ما سيعطينا الإجابة واحدًا. إذن نعرف أن طولها سنتيمتر واحد. ومرة أخرى، يمكننا التحقق من صحة ذلك بعد المربعات التي لدينا على المحور؛ علمًا بأن كل مربعين يمثلان وحدة واحدة أو سنتيمترًا واحدًا.

يجدر بنا الآن التطرق إلى ما يمكن أن يحدث إذا طرحنا إحداثيي ﺹ بطريقة معاكسة، وأصبح لدينا سالب خمسة ناقص سالب أربعة. حسنًا، ينتج عن هذا سالب واحد. وما يمكننا فعله هو تجاهل السالب؛ لأن ما يعنينا هو المقدار فقط لأننا نتعامل مع مسافة. ومن ثم، نحصل على واحد فقط، وهو ما سيكون سنتيمترًا واحدًا أيضًا. والسبب في قيامنا بالحل بطريقة معاكسة كما لدينا في السؤال وفي إجابتنا هو أنه لحساب المسافة من ﺩ إلى ﺟ، نبدأ عادة بإحداثيي ﺟ، ثم نطرح إحداثيي ﺩ.

بذلك نكون قد توصلنا إلى حل المسألة كما قلنا؛ لكننا سنلقي نظرة على طريقة حلها باستخدام صيغة المسافة. وما تخبرنا به صيغة المسافة بين نقطتين هو أن المسافة بين ﺃ وﺏ تساوي الجذر التربيعي لـ ﺱﺏ ناقص ﺱﺃ الكل تربيع زائد ﺹﺏ ناقص ﺹﺃ الكل تربيع. وهذا من نظرية فيثاغورس.

حسنًا، لشرح كيف يمكن تطبيق ذلك على ﺃﺏ، أي القطعة المستقيمة ﺃﺏ، فإن هذا سيساوي الجذر التربيعي لخمسة ناقص سالب اثنين الكل تربيع، وهذا هو التغير في قيمتي الإحداثي ﺱ، زائد ثلاثة ناقص ثلاثة الكل تربيع وهو ما يعطينا الجذر التربيعي لسبعة تربيع. وذلك لأنه في الجزء الثاني، لدينا ثلاثة ناقص ثلاثة، وهو ما يساوي صفرًا، وصفر تربيع يساوي صفرًا، لذلك سيكون لدينا الجذر التربيعي لـ ٤٩. لذا، ستكون القيمة سبعة. وكما نعلم أنه إذا كان لدينا الجذر التربيعي لعدد مربع، فإن هذا سيساوي العدد نفسه فقط. رائع! تلك هي القطعة المستقيمة ﺃﺏ.

والآن لنلق نظرة على ﺩﺟ باستخدام هذه الطريقة. فيما يتعلق بـ ﺩﺟ، سيكون لدينا الجذر التربيعي لسالب اثنين ناقص سالب اثنين الكل تربيع زائد سالب أربعة ناقص سالب خمسة الكل تربيع، وهو ما سيعطينا جذر واحد تربيع فقط. حسنًا، هذا سيعطينا جذر واحد، وهو ما يعطينا الناتج واحدًا. إذن، حصلنا على الإجابة نفسها كما حدث من قبل. جدير بالذكر أن لدينا جذر ٤٩ وجذر واحد. وعادة ما يكون لدينا ناتجان، موجب أو سالب؛ أي موجب أو سالب سبعة أو موجب أو سالب واحد. لكننا في هذه الحالة لا تعنينا إلا النتيجة الموجبة لأننا نريد إيجاد طول أو مقدار.

حسنًا، تناولنا الآن مثالًا حول إيجاد الأطوال الأفقية والرأسية، وتناولنا أيضًا صيغة المسافة. ما سنتناوله الآن هو مسألة تتضمن شكلًا.

أوجد طول قاعدة المثلث ﺏ.

أول ما علينا فعله هو التحقق من مقياس المحورين. ويمكننا ملاحظة أن كل مربع يساوي وحدة واحدة، وذلك لأن لدينا مربعين يمثلان وحدتين، وأربعة مربعات تمثل أربع وحدات، وهكذا. لذا، إذا عددنا المربعات على طول قاعدة المثلث، فسنجد أن طولها سيساوي خمس وحدات. وجدير بالملاحظة أيضًا أنه كان يمكننا رؤية رأسي قاعدة المثلث وإيجاد إحداثيي ﺱ لهما، وهما في هذه الحالة: خمسة، ١٠. إذن، يمكننا إيجاد الفرق بينهما. إذن ١٠ ناقص خمسة يعطينا خمسة، وهو ما كان سيعطينا النتيجة نفسها.

في هذا السؤال، تناولنا شكلًا بسيطًا. لكن ما سنفعله الآن هو إيجاد محيط ومساحة باستخدام هذه المهارات نفسها.

في تصميم منزل يستخدم مستوى إحداثي، تقع رءوس غرفة المعيشة عند اثنين، اثنين واثنين، ثمانية وتسعة، ثمانية وتسعة، اثنين؛ حيث تقاس الإحداثيات بالأمتار. أوجد محيط الغرفة ومساحتها.

أول ما فعلناه هنا هو رسم شكل لهذا السؤال. إذن لدينا الرءوس الأربعة ممثلة. وبعد ذلك، يمكننا أن نصل هذه النقاط لتكوين غرفة المعيشة. ما نريده الآن هو إيجاد أطوال الأضلاع. إذن يمكننا ملاحظة أن لغرفة المعيشة ضلعين أفقيين وضلعين رأسيين. نعرف ذلك لأنه، على سبيل المثال، إذا نظرنا إلى الخط العلوي، وأمعنا النظر في رأسيه وإحداثياتهما عند كلا الطرفين، فسنجد أن لهما الإحداثي ﺹ نفسه. ولذلك، فإن هذا الخط سيكون أفقيًّا. إذا نظرنا إلى أقصى اليمين، فسنحصل على الإحداثي ﺱ نفسه. إذن سيكون هذا الخط رأسيًّا.

لذا، إذا أردنا إيجاد طول الخط العلوي، فسوف نحاول إيجاد الفرق بين قيمتي الإحداثي ﺱ. إذن لدينا تسعة ناقص اثنين، وهو ما يساوي سبعة. لو لم نكن قد رسمنا الشكل، لكنا قد تمكنا من رؤية ذلك أيضًا؛ لأننا إذا نظرنا إلى النقاط المعطاة، فسنجد أن النقطتين اللتين لهما الإحداثي ﺹ نفسه هما: اثنان، ثمانية وتسعة، ثمانية. إذن، نوجد الفرق بين قيمتي الإحداثي ﺱ لهما، وهو ما سيعطينا سبعة أيضًا. ونعلم أن الوحدات بالأمتار.

ما نتوقعه بالنظر إلى الشكل هو أن المسافة بين النقطتين اثنين، اثنين وتسعة، اثنين، ستكون نفسها؛ لأنه يبدو أن لدينا مستطيلًا. لنتأكد من هذا. حسنًا، مرة أخرى، إذا نظرنا إلى قيمتي الإحداثي ﺱ والفرق بينهما، فسنحصل على تسعة ناقص اثنين، وهو ما سيعطينا سبعة. ومن ثم، نعرف أن ذلك أيضًا طوله سبعة أمتار.

والآن، لنلق نظرة على الضلعين الرأسيين. حسنًا، بالنسبة للضلعين الرأسيين، فإن ما نبحث عنه هو نقطتا الإحداثيات اللتان لهما الإحداثي ﺱ نفسه. إذن لدينا تسعة، ثمانية وتسعة، اثنان واثنان، ثمانية واثنان، اثنان. ومن ثم، علينا إيجاد الفرق بين قيمتي الإحداثي ﺹ لهما. وسيكون هنا ثمانية ناقص اثنين لكليهما، وهو ما يعطينا ستة. إذن نعرف أن الارتفاع يساوي ستة أمتار.

وبما أن لدينا زوجين من الأضلاع المتوازية والمتساوية، فإن الشكل الذي نراه هنا هو عبارة عن مستطيل. إذن ما يمكننا فعله الآن هو إيجاد المحيط والمساحة. حسنًا، المحيط هو المسافة التي حول الشكل من الخارج، لذا يساوي سبعة زائد ستة زائد سبعة زائد ستة، وهو ما يعطينا الناتج ٢٦ مترًا. لكن إذا أردت إيجاد المساحة، فإن المساحة تساوي الطول في العرض. ومن ثم، ستساوي سبعة في ستة، وهو ما سيعطينا مساحة قدرها ٤٢ مترًا مربعًا.

والآن، في المثال الأخير، سنلقي نظرة على مسألة علينا فيها تكوين شكل ثم إيجاد محيط ذلك الشكل.

إذا كانت إحداثيات النقطتين ﺟ وﺩ هي سبعة، خمسة وسبعة، أربعة، على الترتيب، فأوجد محيط الشكل ﺃﺏﺟﺩ.

إذن أول ما فعلناه هو تحديد النقطتين ﺟ وﺩ على الشكل. ثم ما يمكننا فعله بعد ذلك هو أن نوصل بين النقاط لتكوين الشكل ﺃﺏﺟﺩ. والآن، يمكننا التحقق من المحورين. وفي المحورين، نرى أن كل مربع يمثل وحدة واحدة. ومن ثم، يمكننا عد المربعات من ﺏ إلى ﺟ. ونجد أن هذا يساوي ثلاث وحدات. ومن ﺟ إلى ﺩ يساوي وحدة واحدة. ومن ﺩ إلى ﺃ يساوي ثلاث وحدات. ومن ﺃ إلى ﺏ يساوي وحدة واحدة. وبما أن لدينا زوجين من الأضلاع المتوازية المتساوية، يمكننا أن نرى أن هذا في الواقع مستطيل.

إذن، لإيجاد المحيط، علينا إيجاد المسافة حول الشكل من الخارج. وأبسط طريقة لذلك هي جمع ثلاثة وواحد وثلاثة وواحد. وهذا يعطينا المحيط وهو ثمانية. إذن ما فعلناه هو أننا كونا الشكل ﺃﺏﺟﺩ وأوجدنا محيطه.

وكما نرى، فقد تناولنا أمثلة مختلفة، بعضها يتضمن أشكالًا، وبعضها يتضمن قطعًا مستقيمة. تناولنا كيفية إيجاد الفرق بين الإحداثيات المختلفة. تناولنا في المسألة كيفية إيجاد المحيط، مثلًا، عن طريق عد المربعات. وتناولنا أيضًا صيغة المسافة. والآن، لنلخص الدرس سريعًا.

حسنًا، النقاط الأساسية في هذا الدرس هي أنه إذا أردنا إيجاد طول خط أفقي على المستوى الإحداثي، يمكننا إيجاده عن طريق إيجاد الفرق بين قيمتي الإحداثي ﺱ لكل من طرفيه؛ أي ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد. إذا أردنا إيجاد الطول الرأسي لخط على المستوى الإحداثي، فهذا هو الفرق بين قيمتي الإحداثي ﺹ لكل من طرفي الخط؛ أي ﺹ اثنان ناقص ﺹ واحد.

ما تناولناه أيضًا هو صيغة المسافة، وأنه إذا أردنا إيجاد المسافة بين نقطتين ﺃ وﺏ، فهذا يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱﺏ ناقص ﺱﺃ الكل تربيع، وهو في الواقع التغير في قيمتي الإحداثي ﺱ الكل تربيع، زائد ﺹﺏ ناقص ﺹﺃ الكل تربيع، وهو التغير في قيمتي الإحداثي ﺹ. ونحصل على ذلك من نظرية فيثاغورس. إذن، ما فعلناه هو أننا استعرضنا هاتين الطريقتين، وتناولنا أيضًا عد المربعات أو وحدات العد باستخدام محوري الإحداثيات. ويمكننا حل هذا النوع من المسائل بهذه الطرق الثلاث.