نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم خواص المضلعات المتشابهة لحل المقادير الجبرية والمعادلات. وسنبدأ بتذكر بعض التعريفات والحقائق المتعلقة بالمضلعات المتشابهة.
المضلعات المتشابهة عبارة عن مضلعين أو أكثر لها الشكل نفسه ولكن ليس لها القياس نفسه. وزواياها المتناظرة متطابقة، وأطوال أضلاعها المتناظرة متناسبة. إحدى طرق التفكير في هذا التناسب هي أن نفكر في معاملات القياس. يمكننا أن نفكر في المضلعات المتشابهة على أنها تكبير أو تصغير للشكل نفسه. على سبيل المثال، هذا المستطيل الصغير له بعدان: سنتيمتران وثلاثة سنتيمترات. المستطيل الأكبر به طول يبلغ أربعة سنتيمترات وطول آخر مجهول.
بما أن اثنين في اثنين يساوي أربعة، فإن معامل القياس هنا هو اثنان. يمكننا بعد ذلك حساب الطول المجهول في المستطيل الكبير بضرب ثلاثة سنتيمترات في اثنين. وهذا يساوي ستة سنتيمترات. إذا كان المضلعان متشابهين، فإننا نعرف أن أطوال الأضلاع المتناظرة متناسبة. ويمكننا إيجاد معامل المقياس بطريقة بسيطة ومباشرة عندما تكون لدينا أطوال متناظرة في المضلعات. ولكن، من المهم أيضًا أن نتمكن من حل المسائل عندما يطلب منا تحديد ما إذا كان المضلعان متشابهين.
لنفكر الآن في مستطيلين بالأبعاد ستة سنتيمترات وثمانية سنتيمترات، و١٥ سنتيمترًا و ٢٠ سنتيمترًا. إذا كان المستطيلان متشابهين، فلا بد أن تكون النسبة بين أضلاعهما المتناظرة متساوية. في هذه الحالة، ستة على ثمانية يجب أن يساوي ١٥ على ٢٠. يمكننا تبسيط الكسر الأول عن طريق قسمة البسط والمقام على اثنين. هذا يعني أن ستة أثمان في أبسط صورة يساوي ثلاثة أرباع. يوجد عامل مشترك أكبر بين العددين ١٥ و٢٠ وهو خمسة. ومن ثم، يمكننا قسمة البسط والمقام على خمسة. وهذا يعطينا أيضًا ثلاثة أرباع. وبما أن نسبة أطوال الأضلاع المتناظرة يمكن تبسيطها إلى الكسر نفسه، فإننا نعرف بذلك أن المستطيلين متشابهان. سنتناول الآن بعض المسائل التي تستخدم خصائص المضلعات المتشابهة لحل التعبيرات والمعادلات.
إذا كان المضلعان متشابهين، فأوجد قيمة ﺱ.
عند التعامل مع أية مسألة تتضمن مضلعات متشابهة، نعلم أن الزوايا المتناظرة تكون متطابقة أو متساوية في القياس، وأن أطوال الأضلاع المتناظرة تكون متناسبة. لدينا زوج من الأضلاع المتناظرة هو ﻉﻭ وﺭﺹ. والزوج الثاني من الأضلاع المتناظرة هو ﺟﻉ وﻝﺭ. ونظرًا لأن أطوال الأضلاع المتناظرة متناسبة، فإننا نعلم أن نسبها متساوية. اثنان ﺱ زائد ستة على سبعة ﺱ ناقص سبعة يجب أن يساوي ٢٤ على ٢٨.
لإيجاد قيمة ﺱ، يمكننا إجراء الضرب التبادلي في هذه المرحلة. لكن من الأسهل تبسيط الكسور أولًا. يمكننا تحليل بسط الكسر الأيمن ومقامه. اثنان ﺱ زائد ستة يصبح اثنين مضروبًا في ﺱ زائد ثلاثة. وسبعة ﺱ ناقص سبعة يساوي سبعة في ﺱ ناقص واحد. بقسمة بسط الكسر الأيسر ومقامه على أربعة، نحصل على ستة على سبعة؛ لأن ٢٤ مقسومًا على أربعة يساوي ستة، و٢٨ مقسومًا على أربعة يساوي سبعة.
المقامان في كلا الطرفين يقبلان القسمة على سبعة. والبسطان يقبلان القسمة على اثنين. وهذا يعطينا معادلة مبسطة هي ﺱ زائد ثلاثة على ﺱ ناقص واحد يساوي ثلاثة. يمكننا ضرب طرفي هذه المعادلة في ﺱ ناقص واحد. بتوزيع الأقواس، نحصل على ﺱ زائد ثلاثة يساوي ثلاثة ﺱ ناقص ثلاثة. يمكننا بعد ذلك طرح ﺱ وإضافة ثلاثة إلى كلا طرفي المعادلة. وهذا يعطينا ستة يساوي اثنين ﺱ. وأخيرًا، بقسمة الطرفين على اثنين، نحصل على ﺱ يساوي ثلاثة.
إذا كان المضلعان متشابهين، فإن قيمة ﺱ تساوي ثلاثة. يمكننا التحقق من ذلك عن طريق التعويض بثلاثة في معادلات الشكل الأصغر. اثنان في ثلاثة يساوي ستة، وبإضافة ستة نحصل على ١٢. سبعة في ثلاثة يساوي ٢١، وطرح سبعة يعطينا ١٤. من الواضح إذن أن المضلعين متشابهان بمعامل قياس مقداره اثنان؛ لأن ١٢ في اثنين يساوي ٢٤ و١٤ في اثنين يساوي ٢٨.
لننتقل الآن إلى مثال آخر مشابه.
إذا كان المضلع ﻙﺭﻝﻡ مشابهًا للمضلع ﺹﻥﻉﻭ، فأوجد قيمة ﺱ.
لاحظ أن علامة التقريب هنا تعني أن المستطيلين متشابهان. عندما يكون مضلعان متشابهين، نعلم أن أطوال أضلاعهما المتناظرة متناسبة. في هذه المسألة، لدينا ضلعان متناظران هما ﻙﻡ وﺹﻭ وكذلك ﻡﻝ وﻭﻉ. هذا يعني أن النسبة ستة ﺱ ناقص ١٦ إلى ١٣ ستساوي تسعة ﺱ ناقص ٣٣ إلى ١٥. بكتابة ذلك على الصورة الكسرية، نحصل على ستة ﺱ ناقص ١٦ على تسعة ﺱ ناقص ٣٣ يساوي ١٣ على ١٥.
لحساب قيمة ﺱ، يمكننا استخدام الضرب التبادلي على الفور. لكن من المفيد عادة محاولة تبسيط الكسور أولًا. يمكن أخذ عامل مشترك لكل من بسط الطرف الأيمن ومقامه. ستة ﺱ ناقص ١٦ يساوي اثنين في ثلاثة ﺱ ناقص ثمانية. وتسعة ﺱ ناقص ٣٣ يساوي ثلاثة مضروبًا في ثلاثة ﺱ ناقص ١١. للمقامين عامل مشترك هو ثلاثة، ولذا يمكننا قسمة كل منهما على ثلاثة.
يعطينا الضرب التبادلي في هذه المرحلة ١٠ مضروبًا في ثلاثة ﺱ ناقص ثمانية يساوي ١٣ مضروبًا في ثلاثة ﺱ ناقص ١١. نحصل على ١٠ بضرب خمسة في اثنين. وبإعادة توزيع الأقواس، نحصل على ٣٠ﺱ ناقص ٨٠ يساوي ٣٩ﺱ ناقص ١٤٣. ثم بإضافة ١٤٣ إلى كلا طرفي هذه المعادلة، نحصل على ٣٠ﺱ زائد ٦٣ يساوي ٣٩ﺱ. بطرح ٣٠ﺱ من كلا الطرفين، نحصل على ٦٣ يساوي تسعة ﺱ. وأخيرًا، بقسمة طرفي هذه المعادلة على تسعة، نحصل على قيمة ﺱ يساوي سبعة.
يمكننا بعد ذلك التحقق من هذا الناتج بالتعويض عن ﺱ بسبعة في التعبيرات التي لدينا في المستطيل الأول. ستة في سبعة يساوي ٤٢، وبطرح ١٦ نحصل على ٢٦. تسعة في سبعة يساوي ٦٣. وبطرح ٣٣ من هذا، نحصل على ٣٠. يمكننا أن نلاحظ أن المستطيل الأول يساوي ضعف قياسات المستطيل الثاني؛ إذ إن ٢٦ ضعف ١٣ و٣٠ ضعف ١٥. إن معامل قياس التحويل من المستطيل ﻙﺭﻝﻡ إلى ﺹﻥﻉﻭ هو نصف؛ لأن أطوال الأضلاع المتناظرة في المستطيل الثاني تساوي نصف أطوال أضلاع المستطيل الأول.
سنتناول الآن مسألة لا تكون فيها الأضلاع المتناظرة واضحة وضوحًا كبيرًا.
إذا كان المضلعان متشابهين، فأوجد قيمة ﺱ.
نعلم أن أي مضلعات متشابهة زواياها المتناظرة متطابقة وأطوال أضلاعها المتناظرة متناسبة. ونظرًا لاتجاه هذه الأشكال، فقد لا يتضح مباشرة أي من الأضلاع متناظر. ولاكتشاف ذلك، من المفيد أن نحدد الزوايا المتناظرة أولًا. هناك زوج واحد من الأضلاع المتناظرة، هما ﺏﺟ وﻥﻑ. وهناك زوج آخر من الأضلاع المتناظرة، وهما ﺟﺩ وﻑﻭ.
بما أن أطوال الأضلاع المتناظرة متناسبة، فإننا نعلم أن النسبتين اثنين إلى ستة وأربعة ﺱ ناقص ٣٧ إلى اثنين ﺱ ناقص ١١ لا بد أن تكونا متساويتين. بكتابة هذا على الصورة الكسرية، يكون لدينا اثنان على أربعة ﺱ ناقص ٣٧ يساوي ستة على اثنين ﺱ ناقص ١١. كلا البسطين يقبلان القسمة على اثنين. ومن ثم، يمكننا استخدام الضرب التبادلي لنحصل على واحد مضروبًا في اثنين ﺱ ناقص ١١ يساوي ثلاثة مضروبًا في أربعة ﺱ ناقص ٣٧.
بتوزيع القوسين، نحصل على اثنين ﺱ ناقص ١١ يساوي ١٢ﺱ ناقص ١١١. وبإضافة ١١١ إلى كلا طرفي هذه المعادلة، نحصل على اثنين ﺱ زائد ١٠٠ يساوي ١٢ﺱ. يمكننا بعد ذلك طرح اثنين ﺱ من طرفي هذه المعادلة، ما يعطينا ١٠٠ يساوي ١٠ﺱ. وأخيرًا، بقسمة طرفي هذه المعادلة على ١٠، نحصل على قيمة ﺱ يساوي ١٠.
يمكننا بعد ذلك التعويض بهذه القيمة مجددًا في التعبير الدال على طول كل من ﺏﺟ وﻥﻑ للتحقق من إجابتنا. أربعة مضروبًا في ١٠ يساوي ٤٠. وبطرح ٣٧ من هذا، نحصل على ثلاثة. اثنان مضروبًا في ١٠ يساوي ٢٠، وبطرح ١١ نحصل على تسعة. النسبتان اثنان إلى ستة، وثلاثة إلى تسعة؛ متكافئتان، حيث يمكن تبسيطهما إلى واحد إلى ثلاثة.
هناك طريقة بديلة يمكن استخدامها لحل هذه المسألة، وهي أن نحدد بداية أن معامل القياس يساوي ثلاثة. وهذا لأن طول ﻭﻑ يساوي ثلاثة في طول ﺟﺩ. يمكننا بعد ذلك تكوين المعادلة: اثنان ﺱ ناقص ١١ يساوي ثلاثة مضروبًا في أربعة ﺱ ناقص ٣٧؛ لأن طول ﻥﻑ يساوي ثلاثة في طول ﺏﺟ. وباتباع هذه الطريقة، حصلنا أيضًا على قيمة ﺱ تساوي ١٠.
الآن سنتناول مسألة أخيرة تتضمن مجهولين.
إذا كان ﺃﺏﺟﺩ مشابهًا لـ ﻫﻭﺯﺡ، فأوجد قيمة كل من ﺱ وﺹ.
نعلم أنه في أي مضلعات متشابهة، تكون أطوال الأضلاع المتناظرة متناسبة. هذا يعني أن الخطوة الأولى هي تحديد الأضلاع المتناظرة. الضلع ﺟﺩ يناظر ﺯﺡ، وﺃﺩ يناظر ﻫﺡ، وﺏﺟ يناظر ﻭﺯ. يعني هذا أن نسبة أطوال تلك الأضلاع الثلاثة يجب أن تكون متساوية. النسب ١٠ إلى خمسة، وثمانية إلى اثنين ﺹ ناقص ١٤، وﺱ إلى ثمانية يجب أن تكون متساوية. يمكننا أن نكتب هذه النسب على الصورة الكسرية لحساب قيمة كل من ﺱ وﺹ. ولكن، يتضح من النسبة الأولى أنه يمكن تبسيطها لتكون اثنين إلى واحد. يعني هذا أن جميع أطوال أضلاع شبه المنحرف الثاني ستساوي نصف أطوال أضلاع شبه المنحرف الأول. أي إن معامل القياس للتحويل من شبه المنحرف ﺃﺏﺟﺩ إلى شبه المنحرف ﻫﻭﺯﺡ يساوي نصفًا.
وعليه، يمكننا القول إن اثنين ﺹ ناقص ١٤ يساوي نصف ثمانية، ونصف الثمانية يساوي أربعة. بإضافة ١٤ إلى كلا طرفي هذه المعادلة نحصل على اثنين ﺹ يساوي ١٨. وبالقسمة على اثنين نحصل على ﺹ يساوي تسعة. يمكننا استخدام الطريقة نفسها لحساب قيمة ﺱ. طول الضلع ﺯﺡ، الذي يساوي ثمانية، هو نصف قيمة ﺟﺩ، التي تساوي ﺱ. بقسمة كلا طرفي هذه المعادلة على اثنين، نحصل على ١٦ يساوي ﺱ. إذن، القيمتان المجهولتان هما ﺱ يساوي ١٦ وﺹ يساوي تسعة.
سنلخص الآن النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. أولًا، نعلم أن الزوايا المتناظرة في المضلعات المتشابهة تكون متطابقة. وعلى الجانب الآخر، فإن أطوال الأضلاع المتناظرة تكون متناسبة. ويمكننا التفكير في المضلعات المتشابهة على أنها تكبير أو تصغير. وأن نسبة طول أحد الأضلاع إلى طول الضلع الآخر هو معامل القياس. ومعامل القياس هذا سيكون هو نفسه مع جميع أطوال الأضلاع المتناظرة في المضلع. يمكننا استخدام معرفتنا بالنسب والكسور لوضع معادلات يمكن حلها. ويسمح لنا هذا بحساب أي متغيرات تعبر عن أطوال أضلاع المضلعات. ولإثبات أن مضلعين أو أكثر متشابهين، علينا أن نثبت أن نسب أطوال الأضلاع المتناظرة متساوية.
