نسخة الفيديو النصية
منطاد طقس حجمه الابتدائي 1.2 متر مكعب، وضغطه الابتدائي 102 كيلو باسكال، ودرجة حرارته الابتدائية 290 كلفن. عند الارتفاع في الهواء، يصبح حجم المنطاد 1.0 متر مكعب، وضغطه 96 كيلو باسكال، ودرجة حرارته 240 كلفن. ما النسبة المئوية للغاز المتسرب من المنطاد؟ قرب إجابتك لأقرب منزلة عشرية.
لنفترض أن هذا هو الموضع الابتدائي للمنطاد على مستوى سطح الأرض. إذ يشغل المنطاد عند هذا الموضع حجمًا معينًا، سنسميه 𝑉 واحد. كما أن له ضغطًا نسميه 𝑃 واحد، ودرجة حرارة نسميها 𝑇 واحد. بعد ذلك، عندما يتحرك المنطاد لأعلى في الهواء، يصبح لديه قيم جديدة لكل من الحجم والضغط ودرجة الحرارة، وسنسمي هذه القيم 𝑉 اثنين، و𝑃 اثنين، و𝑇 اثنين، على الترتيب. في ضوء هذا التغير في الارتفاع، يتسرب بعض الغاز الموجود في المنطاد. ولكي نعرف نسبة هذا الغاز المتسرب، دعونا نفترض أنه يمكن التعامل مع الهواء الموجود في المنطاد كغاز مثالي. هذا يعني أن هذا الغاز سينطبق عليه قانون الغاز المثالي. وينص هذا القانون على أن ضغط الغاز مضروبًا في حجمه يساوي عدد مولات الغاز مضروبًا في ثابت مضروبًا في درجة حرارة الغاز.
دعونا نطبق قانون الغاز المثالي على المنطاد في لحظتين مختلفتين من الزمن. في اللحظة الأولى، عندما يكون المنطاد عند مستوى سطح الأرض، يكون لدينا 𝑃 واحد في 𝑉 واحد يساوي 𝑛 واحد في 𝑅 في 𝑇 واحد. نلاحظ هنا أن جميع هذه القيم تحتوي على الرقم واحد مكتوبًا أسفلها ما عدا 𝑅، وهو ثابت الغازات العام، ومن ثم يظل نفسه دائمًا. يمكننا الآن كتابة معادلة مماثلة، ولكن هذه المرة عندما يكون المنطاد مرتفعًا في الهواء. ونلاحظ أنه في هذه المعادلة تستخدم القيم 𝑉 اثنين، و𝑃 اثنين، و𝑇 اثنين. في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد النسبة المئوية للغاز المتسرب. والمتغير الذي يخبرنا بكمية الغاز في قانون الغاز المثالي هو 𝑛، أي عدد مولات الغاز.
للإجابة عن هذا السؤال إذن، علينا مقارنة 𝑛 واحد، أي عدد مولات الغاز في المنطاد عندما يكون على مستوى سطح الأرض، مع 𝑛 اثنين، أي عدد مولات الغاز في المنطاد عندما يكون مرتفعًا في الهواء. بوضع هذا الهدف في الاعتبار، دعونا نعد ترتيب هاتين المعادلتين بحيث يكون كل من 𝑛 واحد و𝑛 اثنين في طرف بمفرده. في المعادلة الموجودة على اليسار، سنقسم كلا الطرفين على 𝑅 في 𝑇 واحد. وبهذا، يلغى ثابت الغازات العام 𝑅 ودرجة الحرارة 𝑇 واحد في الطرف الأيمن. ونجد أن 𝑛 واحد يساوي 𝑃 واحد 𝑉 واحد على 𝑅 في 𝑇 واحد.
وبالمثل، نقسم كلا طرفي المعادلة الموجودة على اليمين على 𝑅 مضروبًا في 𝑇 اثنين هذه المرة. وبهذا، يلغى كلا هذان العاملان في الطرف الأيمن، ثم نحصل على تعبير لـ 𝑛 اثنين. والآن بعد أن حصلنا على تعبيرين لـ 𝑛 واحد و𝑛 اثنين، دعونا نفكر في كيفية المقارنة بين هاتين القيمتين حتى نتمكن من التعبير عن الفرق بينهما على صورة نسبة مئوية. وبما أننا نعلم أن الغاز قد تسرب من المنطاد عندما صعد من ارتفاع منخفض إلى ارتفاع أعلى، فإننا نعلم أن 𝑛 واحد، أي عدد مولات الغاز في المنطاد عند مستوى سطح الأرض، أكبر من 𝑛 اثنين، أي عدد مولات الغاز في المنطاد عندما يرتفع في الهواء.
إذن، يمكننا افتراض أن 𝑛 واحد يمثل نسبة 100 بالمائة من الغاز. هذا يعني أنه هو القيمة الأصلية التي سنقارن بينها وبين 𝑛 اثنين. ما سنفعله هو إيجاد النسبة المئوية للفرق بين 𝑛 واحد و𝑛 اثنين، حيث 𝑛 واحد هو المعيار كما ذكرنا سابقًا. ويمكننا كتابة معادلة النسبة المئوية للفرق بهذه الطريقة: القيمة الأكبر ناقص القيمة الأصغر الكل مقسومًا على القيمة الأصلية 𝑛 واحد، مضروبًا في 100 بالمائة. باستخدام هذه العلاقة، يمكننا أن نحسب النسبة المئوية للتغير بين 𝑛 واحد و𝑛 اثنين.
لفعل ذلك، دعونا نكتب بعض المعلومات المعطاة في نص المسألة. نحن نعلم، على سبيل المثال، أن الحجم الابتدائي لهذا المنطاد 1.2 متر مكعب، أي 𝑉 واحد، وضغطه الابتدائي 102 كيلو باسكال، أي 𝑃 واحد، ودرجة حرارته الابتدائية 290 كلفن، أي 𝑇 واحد. وبمجرد ارتفاع المنطاد في الهواء، يصبح حجمه الجديد 1.0 متر مكعب، أي 𝑉 اثنين، وضغطه الجديد 96 كيلو باسكال، أي 𝑃 اثنين، ودرجة حرارته الجديدة 240 كلفن، أي 𝑇 اثنين. بإفراغ بعض المساحة في الجزء العلوي من الشاشة، يمكننا إعادة كتابة معادلة النسبة المئوية للفرق، ثم التعويض عن 𝑛 واحد بـ 𝑃 واحد في 𝑉 واحد على 𝑅 في 𝑇 واحد؛ والتعويض عن 𝑛 اثنين بـ 𝑃 اثنين في 𝑉 اثنين على 𝑅 في 𝑇 اثنين.
نلاحظ أن كلا الحدين في البسط يحتوي على واحد على ثابت الغازات العام 𝑅. وهذا يعني أنه يمكننا أخذ واحد على 𝑅 عاملًا مشتركًا. وهنا نلاحظ أن واحدًا على 𝑅 يظهر في البسط والمقام. ومن ثم، يمكننا أن نلغي ثابت الغازات العام 𝑅. ثم تختصر المعادلة إلى هذا المقدار. في الخطوة التالية، سنعوض بكل هذه القيم المعلومة. وعندما نفعل ذلك، نحصل على هذه المعادلة الكبيرة. في هذه المعادلة، لدينا 𝑉 واحد يساوي 1.2 متر مكعب، و𝑃 واحد يساوي 102 كيلو باسكال، و𝑇 واحد يساوي 290 كلفن، و𝑉 اثنين يساوي 1.0 متر مكعب، و𝑃 اثنين يساوي 96 كيلو باسكال، و𝑇 اثنين يساوي 240 كلفن.
عندما نفكر في الوحدات الموجودة في هذا التعبير، نلاحظ أن الوحدات في كلا الحدين في البسط والحد الموجود في المقام متساوية، أي الكيلو باسكال في المتر المكعب مقسومًا على الكلفن. هذا يعني أن جميع هذه الوحدات ستلغى. وستكون إجابتنا النهائية عبارة عن نسبة مئوية دون إضافة أي وحدة. عندما نحسب هذا التعبير بأكمله ونقرب الناتج إلى أقرب منزلة عشرية، نحصل على 5.2 بالمائة. ومن ثم، تكون هذه هي النسبة المئوية للغاز المتسرب من المنطاد عندما صعد من ارتفاع منخفض إلى ارتفاع أعلى.
