فيديو السؤال: الجذور النونية للعدد واحد الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

اكتب صيغة عامة لجذور ﻉ أس ﻥ يساوي واحدًا، موضحًا إجابتك في الصورة القطبية.

نبدأ بتذكر أنه إذا كان ﻉ هو جذرًا نونيًّا للعدد واحد، فإنه يحقق العلاقة ﻉ أس ﻥ يساوي واحدًا. نستخدم نظرية ديموافر لمساعدتنا في حل هذه المعادلة لإيجاد ﻉ، وهذا يعطينا صيغة عامة للجذور النونية للعدد واحد. تذكر أن نظرية ديموافر للجذور تنص على أنه بالنسبة لأي عدد مركب على الصورة ﻝ مضروبًا في جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃، تعطى الجذور النونية على الصورة ﻝ أس واحد على ﻥ مضروبًا في جتا 𝜃 زائد اثنين 𝜋ﻙ على ﻥ زائد ﺕ جا 𝜃 زائد اثنين 𝜋ﻙ على ﻥ لقيم ﻙ تساوي صفرًا، واحدًا، اثنين، وهكذا حتى ﻥ ناقص واحد.

المعادلة التي لدينا هنا هي ﻉ أس ﻥ يساوي واحدًا، لذلك سنبدأ بكتابة العدد واحد على الصورة القطبية. الجزء الحقيقي للعدد واحد هو واحد، والجزء التخيلي هو صفر. ومن ثم، يمكننا تمثيل العدد واحد على مخطط أرجاند بالنقطة التي لها الإحداثيات الكارتيزية واحد، صفر. المقياس ﻝ لهذا العدد يمثل طول القطعة المستقيمة التي تصل بين هذه النقطة ونقطة الأصل، إذن ﻝ يساوي واحدًا. السعة 𝜃 هي قياس الزاوية التي تكونها هذه القطعة المستقيمة مع الاتجاه الموجب للمحور الحقيقي مقيسة في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. ويمكننا أن نرى بوضوح من المخطط أن 𝜃 لا بد أن يساوي صفرًا. وعليه، يمكن كتابة العدد واحد على الصورة القطبية أو المثلثية في صورة واحد مضروبًا في جتا صفر زائد ﺕ جا صفر. ونتيجة لذلك، تصبح المعادلة الأصلية في السؤال على النحو الموضح.

لحل هذه المعادلة وإيجاد الجذور، سنرفع كلا طرفي المعادلة للأس واحد على ﻥ. وﻉ أس ﻥ أس واحد على ﻥ يساوي ببساطة ﻉ. بعد ذلك، سنطبق نظرية ديموافر للجذور على الطرف الأيمن من المعادلة. وعليه، يصبح المقياس واحدًا أس واحد على ﻥ. بعد ذلك، 𝜃 زائد اثنين 𝜋ﻙ على ﻥ يصبح صفر زائد اثنين 𝜋ﻙ على ﻥ، ويصبح المقدار الذي يعبر عن ﻉ كما هو موضح. ثم يمكننا تبسيط ذلك، حيث إن واحدًا أس واحد على ﻥ يساوي ببساطة واحدًا، وصفرًا زائد اثنين 𝜋ﻙ على ﻥ يساوي اثنين 𝜋ﻙ على ﻥ. وبذلك نكون قد انتهينا من حل المعادلة، وأوجدنا الجذور، أي القيم الممكنة لـ ﻉ.

الصيغة العامة لهذه الجذور هي جتا اثنين 𝜋ﻙ على ﻥ زائد ﺕ جا اثنين 𝜋ﻙ على ﻥ؛ حيث ﻙ تأخذ قيمًا صحيحة تتراوح من صفر حتى ﻥ ناقص واحد.