فيديو السؤال: الجذور النونية للعدد واحد الرياضيات

اكتب صيغة عامة لجذور ﻉ^(ﻥ) = ١، موضحًا إجابتك في الصورة القطبية.

٠٢:٥٠

‏نسخة الفيديو النصية

اكتب صيغة عامة لجذور المعادلة ﻉ أس ﻥ يساوي واحدًا، موضحًا إجابتك في الصورة القطبية.

تذكر أننا نقول إنه إذا كان ﻉ جذرًا نونيًا للعدد واحد، فإنه يحقق العلاقة: ﻉ أس ﻥ يساوي واحدًا. نستخدم نظرية ديموافر لمساعدتنا في حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﻉ. وهذا يعطينا صورة عامة للجذور النونية للعدد واحد. تذكر أن نظرية ديموافر للجذور تنص على أنه بالنسبة لأي عدد مركب مكتوب على الصورة ﻝ في جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃، تعطى الجذور النونية من خلال الصيغة: ﻝ أس واحد على ﻥ في جتا 𝜃 زائد اثنين 𝜋ﻙ على ﻥ زائد ﺕ جا 𝜃 زائد اثنين 𝜋ﻙ على ﻥ لقيم ﻙ من صفر، واحد، وهكذا حتى ﻥ ناقص واحد.

والآن، المعادلة هي: ﻉ أس ﻥ يساوي واحدًا. إذن سنبدأ بكتابة العدد واحد على الصورة القطبية. الجزء الحقيقي للعدد واحد هو واحد، والجزء التخيلي هو صفر. ومن ثم، يمكننا تمثيل العدد واحد على مخطط أرجاند بالنقطة ذات الإحداثيات الديكارتية: واحد، وصفر. المقياس ﻝ لهذا العدد هو طول القطعة المستقيمة التي تصل بين هذه النقطة ونقطة الأصل. من الواضح أن هذا يساوي واحدًا. السعة 𝜃 هي قياس الزاوية التي تصنعها هذه القطعة المستقيمة مع محور الأعداد الحقيقية الموجبة، وتقاس عكس اتجاه عقارب الساعة. ومن ثم، يمكننا أن ندرك بوضوح أن 𝜃 لا بد أن تساوي صفرًا.

إذن، يمكن كتابة العدد واحد على الصورة القطبية أو المثلثية: واحد في جتا صفر زائد ﺕ جا صفر. وبذلك، فإن المعادلة الأصلية في السؤال هي كما يلي. لحل هذه المعادلة وإيجاد الجذور، نرفع كلا الطرفين للقوة واحد على ﻥ. ‏‏ﻉ أس ﻥ أس واحد على ﻥ يساوي ببساطة ﻉ. ثم نطبق نظرية ديموافر للجذور على الطرف الأيسر. ويصبح المقياس واحدًا أس واحد على ﻥ. ثم 𝜃 زائد اثنين 𝜋ﻙ على ﻥ يصبح صفرًا زائد اثنين 𝜋ﻙ على ﻥ. هكذا نكون قد وضحنا تعبير ﻉ.

ولكن يمكننا بالطبع تبسيط ذلك؛ لأن واحدًا أس واحد على ﻥ يساوي واحدًا. وصفر زائد اثنين 𝜋ﻙ على ﻥ يساوي اثنين 𝜋ﻙ على ﻥ. وبذلك، نكون قد حللنا المعادلة، وأوجدنا الجذور، وهي القيم المحتملة لـ ﻉ. الصورة العامة لهذه الجذور هي: جتا اثنين 𝜋ﻙ على ﻥ زائد ﺕ جا اثنين 𝜋ﻙ على ﻥ. ومن المهم أن نلاحظ، بالطبع، أن ﻙ يأخذ جميع القيم الصحيحة من صفر حتى ﻥ ناقص واحد.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.