فيديو: امتحان التفاضل والتكامل • ٢٠١٧/٢٠١٦ • السؤال الثالث

امتحان التفاضل والتكامل • ٢٠١٧/٢٠١٦ • السؤال الثالث

٠٤:٥١

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد تكامل ظتا س، بالنسبة لِـ س.

بما إن ليس هناك قيمة محفوظة نقدر نوجد بيها تكامل ظتا س بالنسبة لِـ س مباشرةً. فهنحاول نكتب ظتا س في صورة أخرى، بحيث نقدر نوجد تكاملها.

وبما إن ظتا س هتساوي واحد مقسوم على ظا س، وَ ظا س هتكون بتساوي جا س على جتا س. يعني هيكون عندنا ظتا س هتساوي واحد؛ مقسوم على جا س، مقسوم على جتا س. واللي ممكن نكتبها في صورة: جتا س مقسوم على جا س. يبقى ظتا س هتساوي جتا س مقسوم على جا س.

يعني تكامل ظتا س بالنسبة لِـ س هنكتبه في صورة تكامل جتا س على جا س، بالنسبة لِـ س. وتكامل جتا س على جا س عبارة عن تكامل حاصل ضرب دالتين. أول دالة هي جتا س، وتاني دالة هي واحد على جا س. وعلشان نقدر نوجد ناتج تكامل حاصل ضرب دالتين، ممكن نستخدم طريقتين.

أول طريقة هي التكامل بالتعويض. وبنستخدم طريقة التكامل بالتعويض لإيجاد ناتج تكامل حاصل ضرب دالتين إحداهما مشتقّة الأخرى.

وتاني طريقة من طرق التكامل هتكون التكامل بالتجزيء. وبنستخدم طريقة التكامل بالتجزيء لإيجاد ناتج تكامل حاصل ضرب دالتين ليست إحداهما مشتقّة الأخرى.

وبما إن مشتقّة جا س بالنسبة لِـ س هتساوي جتا س. يعني لو هنشتقّ جا س، هنحصل على جتا س. وبالتالي عشان نقدر نوجد ناتج التكامل، هنستخدم طريقة التكامل بالتعويض.

وعلشان نقدر نوجد ناتج التكامل باستخدام طريقة التكامل بالتعويض، محتاجين ننفّذ بعض الخطوات. واللي هتكون؛ أول خطوة: محتاجين نختار التعويض ع. تاني خطوة: محتاجين نحسب مشتقّة ع، يعني محتاجين نحسب د ع.

تالت خطوة: التعويض والتبسيط. وإذا كانت الدالة يمكن تكاملها، هنحسب التكامل. وآخِر خطوة: هنكتب الناتج بدلالة المتغيّر الأصلي. ولو كانت الدالة لا يمكن تكاملها، فهنختار تعويض آخَر، وهنعود للخطوة اللي بنحسب فيها مشتقّة ع.

وبتنفيذ الخطوات. أول خطوة: محتاجين نختار التعويض ع. وهي الدالة اللي هنوجد مشتقتها. فبما إن مشتقّة جا س هتساوي جتا س، فهنختار إن التعويض ع هيكون جا س. يبقى كده اخترنا التعويض ع. محتاجين نحسب مشتقّة ع، فمشتقة ع هتكون بتساوي … مشتقّة جا س هتكون جتا س، بالنسبة لِـ س. يبقى كده قدِرنا نحسب مشتقّة ع.

تالت خطوة هي التعويض والتبسيط. فهيكون تكامل جتا س على جا س، بالنسبة لِـ س؛ هيساوي تكامل … هنعوّض عن جا س بِـ ع، فهيكون عندنا واحد على ع. وهنعوّض عن جتا س د س بِـ د ع. يعني هيكون عندنا تكامل واحد على ع، بالنسبة لِـ ع. يبقى كده قدِرنا ننفّذ تالت خطوة. هنشوف هل الدالة يمكن تكاملها. فبما إن الدالة هي واحد على ع؛ ومحتاجين نوجد تكامل واحد على ع، بالنسبة لِـ ع؛ يبقى الدالة يمكن تكاملها.

محتاجين نحسب التكامل. وهنفتكر إن لو كان عندنا أيّ دالة، وَلْتكُن الدالة واحد على ص؛ وعايزين نوجد تكامل واحد على ص، بالنسبة لِـ ص. فهتساوي اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لِـ ص، زائد ثابت التكامل. فتكامل واحد على ع، بالنسبة لِـ ع؛ هيساوي اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لِـ ع، زائد ثابت التكامل. يبقى كده قدِرنا نحسب التكامل.

محتاجين نكتب الناتج بدلالة المتغيّر الأصلي. فبما إننا فرضنا إن ع بتساوي جا س، فهنعوّض عن ع بِـ جا س. فناتج التكامل هيكون اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لِـ جا س، زائد ثابت التكامل. يبقى كده قدِرنا نوجد ناتج التكامل؛ وكان بيساوي اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لِـ جا س، زائد ثابت التكامل.

هناك طريقة أخرى لإيجاد ناتج تكامل جتا س مقسوم على جا س، بالنسبة لِـ س. فلو مثلًا كان عندنا أيّ دالة، وَلْتكُن الدالة د س. فتكامل واحد على الدالة د س؛ مضروبة في مشتقّة الدالة د س، بالنسبة لِـ س. هتكون بتساوي اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة للدالة د س، زائد ثابت التكامل.

فلو اعتبرنا إن جا س هتكون هي الدالة د س، فَـ جتا س هتكون هي مشتقّة الدالة د س. يعني هيكون عندنا واحد عَ الدالة، مضروبة في مشتقتها. فالناتج هيكون اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة للدالة د س، اللي هي جا س، زائد ثابت التكامل. وهيكون هو نفس الناتج اللي قدِرنا نحصل عليه باستخدام طريقة التكامل بالتعويض.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.