تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: استخدام التمثيل البياني للدوال الكثيرة الحدود

أحمد لطفي

يمثل منحنى الدالة التالي دالة كثيرة الحدود. أيٌّ من التالي يمكن أن يمثِّل المقدار د(ﺱ)؟ [أ] (س + ٣)(س − ١)(س − ٢)(س − ٧) [ب] −٥(س + ٣)(س − ١)(س − ٢)(س − ٧) [ج] −٢(س + ١)(س − ٥)(س − ٧)(س − ٩) [د] ٧(س + ١)(س − ٥)(س − ٧)(س − ٩) [ﻫ] −٥(س + ٣)(س − ١)(س − ٢)(س + ٧)

٠٦:٢١

‏نسخة الفيديو النصية

يمثّل منحنى الدالة التالي دالة كثيرة الحدود. أيٌّ من التالي يمكن إن يمثّل المقدار د س؟

معطى خمس اختيارات. الاختيار أ: س زائد تلاتة، مضروبة في س ناقص واحد، مضروبة في س ناقص اتنين، مضروبة في س ناقص سبعة. الاختيار ب: سالب خمسة، مضروبة في س زائد تلاتة، مضروبة في س ناقص واحد، مضروبة في س ناقص اتنين، مضروبة في س ناقص سبعة. الاختيار ج: سالب اتنين، مضروبة في س زائد واحد، مضروبة في س ناقص خمسة، مضروبة في س ناقص سبعة، مضروبة في س ناقص تسعة. الاختيار د: سبعة، مضروبة في س زائد واحد، مضروبة في س ناقص خمسة، مضروبة في س ناقص سبعة، مضروبة في س ناقص تسعة. الاختيار ﻫ: سالب خمسة، مضروبة في س زائد تلاتة، مضروبة في س ناقص واحد، مضروبة في س ناقص اتنين، مضروبة في س زائد سبعة.

في البداية، من التمثيل البياني للدالة، هنلاحظ إن منحنى الدالة بيتقاطع مع محور السينات في أربع نقاط؛ نقطة في الجزء السالب، وثلاث نقاط في الجزء الموجب. وبما إن تعريف جذور الدالة هي عبارة عن نقاط تقاطُع منحنى الدالة مع محور السينات، وبالتالي الدالة المعطاة هيكون عندها أربع جذور؛ جذر منهم سالب، وتلات جذور موجب. ولو عايزين نحدّد جذور أي دالة من الخمس دوال المعطاة في الاختيارات … مثلًا بالنسبة للدالة المعطاة في الاختيار أ، عشان نقدر نحدّد جذورها فهنساويها بصفر؛ وبالتالي هيكون عندنا: إمّا س زائد تلاتة هتساوي صفر، إمّا س ناقص واحد هتساوي صفر، إمّا س ناقص اتنين هتساوي صفر، يا إمّا س ناقص سبعة هتساوي صفر.

لو كان عندنا س زائد تلاتة هتساوي صفر؛ عشان نقدر نوجد قيمة س، هنطرح تلاتة من الطرفين، فهيكون عندنا س هتساوي سالب تلاتة؛ وبالتالي عند س بتساوي سالب تلاتة يعتبر جذر من جذور الدالة اللي في الاختيار أ؛ يعني هيكون عندنا سالب تلاتة. بنفس الطريقة نقدر نوجد باقي الجذور، فهيكون عندنا: واحد، واتنين، وسبعة؛ ويبقى جذور الدالة المعطاة في الاختيار أ هي: سالب تلاتة، وواحد، واتنين، وسبعة.

بنفس الطريقة نقدر نوجد جذور باقي الدوال اللي في الاختيارات. فمثلًا بالنسبة للدالة الموجودة في الاختيار ب، هتكون جذورها: سالب تلاتة، وواحد، واتنين، وسبعة. وبالنسبة للدالة في الاختيار ج هتكون جذورها: سالب واحد، وخمسة، وسبعة، وتسعة. وبالنسبة للدالة في الاختيار د هتكون جذورها: سالب واحد، وخمسة، وسبعة، وتسعة. وبالنسبة للدالة في الاختيار ﻫ هتكون جذورها: سالب تلاتة، وواحد، واتنين، وسالب سبعة.

ويبقى كده قدرنا نوجد جذور الدوال المعطاة في الاختيارات، وقدرنا نستنتج من التمثيل البياني للدالة إن هيكون عندنا جذر سالب، وتلات جذور موجب. وبالتالي بالنسبة للدالة الموجودة في الاختيار أ، هنجد إن عندنا جذر واحد سالب، وتلات جذور موجب؛ وبالتالي هتكون اختيار محتمل. وبالنسبة للدالة في الاختيار ب، هنجد إن عندها جذر واحد سالب، وتلات جذور موجب؛ وبالتالي هتُعتبر اختيار محتمل. بالنسبة للدالة في الاختيار ج، هنجد إن عندها جذر واحد سالب، وتلات جذور موجب؛ يعني هتعتبر أيضًا اختيار محتمل. والدالة اللي في الاختيار د، هنجد إن عندها جذر واحد سالب، وتلات جذور موجب؛ يبقى أيضًا هتُعتبر اختيار محتمل. والدالة اللي في الاختيار ﻫ، هنجد إن عندها جذرين سالبين، وجذرين موجبين؛ وبالتالي يبقى هنستبعد الدالة اللي في اختيار ﻫ.

ومن التمثيل البياني للدالة، هنجد إن فيه جذرين موجبين قيمتهم قريبة من بعض، والجذر التالت قيمته بعيدة عنهم. وبالتالي بالنسبة للدالة اللي في الاختيار أ، هنجد إن عندنا واحد واتنين جذرين موجبين، وعندنا سبعة؛ وبالتالي هتكون اختيار محتمل. بالنسبة للدالة اللي في الاختيار ب، هنجد إن عندنا واحد واتنين، هم قيمتين قريبين من بعض، وعندنا سبعة قيمة بعيدة عنهم؛ وبالتالي هتُعتبر اختيار محتمل. بالنسبة للدالة في الاختيار ج، هنجد إن عندنا خمسة وسبعة وتسعة، فهنجد إن ما فيش قيمتين قريبين من بعض، وقيمة تالتة بعيدة عنهم؛ ويبقى هنستبعد الدالة اللي في الاختيار ج. وفي الاختيار د، هنجد إن عندنا أيضًا خمسة وسبعة وتسعة؛ وبالتالي هنستبعد الدالة اللي في الاختيار د.

ويبقى كده عندنا الدالة اللي في الاختيار أ هي اختيار محتمل، والدالة اللي في الاختيار ب هي اختيار محتمل. من التمثيل البياني للدالة المعطاة، هنجد إن منحنى الدالة بيتقاطع مع محور الصادات في الجزء الموجب. وبما إن نقطة تقاطع الدالة مع محور الصادات بتكون عند س بصفر، يبقى هنعوّض في الدوال المحتملة عن س بصفر، ونشوف قيمة الدالة هتكون قيمة موجبة ولّا قيمة سالبة.

بالنسبة للاختيار أ، هنعوّض عن س بصفر فهيكون عندنا: صفر زائد تلاتة، مضروبة في صفر ناقص واحد، مضروبة في صفر ناقص اتنين، مضروبة في صفر ناقص سبعة؛ يعني هتساوي سالب اتنين وأربعين. وبالنسبة للدالة المعطاة في الاختيار ب، هنعوّض عن س بصفر، فهيكون عندنا: سالب خمسة، مضروبة في صفر زائد تلاتة، مضروبة في صفر ناقص واحد، مضروبة في صفر ناقص اتنين، مضروبة في صفر ناقص سبعة؛ يعني هتساوي ميتين وعشرة.

وبالتالي هنجد إن قيمة الدالة في الاختيار ب هتكون هي قيمة موجبة، لكن قيمة الدالة في الاختيار أ هتكون قيمة سالبة. وبما إن منحنى الدالة يتقاطع مع محور الصادات في قيمة موجبة، يبقى هنستبعد الدالة اللي في الاختيار أ؛ وبالتالي الدالة اللي في الاختيار ب هتمثّل التمثيل البياني للدالة المعطاة.

يبقى د س هتساوي سالب خمسة، مضروبة في س زائد تلاتة، مضروبة في س ناقص واحد، مضروبة في س ناقص اتنين، مضروبة في س ناقص سبعة.