فيديو السؤال: إيجاد رتبة حد في متتابعة هندسية معطاة بمعلومية قيمته الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد رتبة الحد ١٦ على ٣٩ في المتتابعة الهندسية واحد على ١٥٦، سالب واحد على ٧٨، واحد على ٣٩.

إذا بدأنا بكتابة حدود هذه المتتابعة الهندسية، فنعلم أن ١٦ على ٣٩ يقع في موضع ما في المتتابعة. إذا كان واحد على ٥٦ هو الحد الأول، وسالب واحد على ٧٨ هو الحد الثاني، فإنه توجد قيمة ﺭ نضربها في الحد الأول للحصول على الحد الثاني. وينطبق الأمر نفسه على الحد الثالث. يمكننا أن نضرب الحد الثاني في قيمة ﺭ نفسها، ونحصل على الحد الثالث. عند التعامل مع المتتابعات الهندسية، نطلق على هذه القيمة النسبة المشتركة. ونستخدم الصيغة ﺡﻥ يساوي ﺃ في ﺭ أس ﻥ ناقص واحد.

هذا يعني أنه إذا عرفنا الحد الأول والنسبة المشتركة، فيمكننا إيجاد أي حد في المتتابعة. لكن بما أننا نعرف الحدين الثاني والأول، يمكننا إذن استخدام هذه الصيغة لمساعدتنا في إيجاد النسبة المشتركة. الحد الثاني يساوي الحد الأول مضروبًا في النسبة المشتركة أس اثنين ناقص واحد، وهو ما يعني النسبة المشتركة فقط أو النسبة المشتركة مرفوعة للأس واحد. هذا يعني أن سالب واحد على ٧٨ يساوي واحدًا على ١٥٦ في ﺭ، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ﺭ على ١٥٦. لإيجاد قيمة ﺭ هنا، علينا ضرب كلا طرفي المعادلة في ١٥٦.

في الطرف الأيسر، يلغي العددان أحدهما الآخر ليتبقى لنا ﺭ. ولدينا سالب ١٥٦ على ٧٨ يساوي سالب اثنين. إذن، النسبة المشتركة لهذه المتتابعة الهندسية هي سالب اثنين. باستخدام هذه المعلومات، يمكننا الآن إيجاد رتبة الحد الذي يساوي ١٦ على ٣٩. نعلم أنه في هذه المتتابعة الهندسية، ﺡﻥ يساوي الحد الأول مضروبًا في سالب اثنين أس ﻥ ناقص واحد. إذا عوضنا بـ ١٦ على ٣٩ عن ﺡﻥ وعوضنا بواحد على ١٥٦ عن الحد الأول، فإنه لحل المسألة علينا عزل ﻥ في طرف بمفرده.

إذا ضربنا واحدًا في سالب اثنين أس ﻥ ناقص واحد، فيمكننا إعادة كتابة المسألة على هذا النحو. مرة أخرى، سنضرب كلا طرفي المعادلة في ١٥٦. وعندما نفعل ذلك، نحصل على ٦٤ يساوي سالب اثنين أس ﻥ ناقص واحد، وهو ما يبدو للوهلة الأولى صعب الحل. قد تعتقد أنه يمكننا حل هذه المعادلة باستخدام اللوغاريتمات، لكن لا يمكننا فعل ذلك لأن الأساس سالب. لكننا على المسار الصحيح هنا. هل يمكننا إعادة كتابة ٦٤ بالأساس سالب اثنين مرفوعًا لأس ما؟

نعلم أننا سنتعامل مع أسس زوجية فقط. وإلا ما كان سينتج العدد الموجب ٦٤. إذن، ماذا عن سالب اثنين أس أربعة؟ هذا يساوي ١٦ فقط. سنرفع الأس بمقدار اثنين ليظل عددًا موجبًا. سالب اثنين أس ستة بالفعل يساوي ٦٤. وبما أننا علمنا ذلك، يمكننا إعادة كتابة ٦٤ على الصورة سالب اثنين أس ستة. بمجرد أن يكون لكلا طرفي المعادلة الأساس نفسه، يمكننا الحل لإيجاد الأسين بجعلهما متساويين. ستة يساوي ﻥ ناقص واحد.

وهذا يعني أن ﻥ يساوي سبعة. حسنًا، ما الذي يعنيه العدد سبعة؟ إنه يعني أن ١٦ على ٣٩ هو الحد ﺡ سبعة. إنه الحد السابع في هذه المتتابعة الهندسية. وبما أن السؤال يطلب إيجاد رتبة الحد فقط، فإن الإجابة النهائية هي سبعة. إنه الحد السابع.