فيديو السؤال: إيجاد أكبر حجم لأسطوانة مساحة سطحها معطاة الرياضيات

ما أكبر حجم لأسطوانة دائرية قائمة مساحة سطحها ٢٤‏𝜋‏ سم^٢؟ اكتب إجابتك بدلالة 𝜋.

١٣:٥٩

‏نسخة الفيديو النصية

ما أكبر حجم لأسطوانة دائرية قائمة مساحة سطحها ٢٤‏𝜋‏ سنتيمترًا مربعًا؟ اكتب إجابتك بدلالة 𝜋.

تتعلق هذه المسألة بأسطوانة دائرية قائمة، لذا سنرسم شكلًا لها. وما الذي تخبرنا به المسألة عن هذه الأسطوانة الدائرية القائمة؟ إنها تخبرنا أن مساحة سطحها تساوي ٢٤‏𝜋‏ سنتيمترًا مربعًا. ولكن يوجد العديد من الأسطوانات الدائرية القائمة بمساحة سطح ٢٤‏𝜋‏ سنتيمترًا مربعًا. قد يكون بعضها طويلًا ورفيعًا، والبعض الآخر قد يكون قصيرًا وعريضًا. مهمتنا هي إيجاد أكبر حجم ممكن لهذه الأسطوانة.

هذه إحدى مسائل إيجاد الحل الأمثل التي يمكنك أن تتخيل حدوثها في الحياة اليومية، فتخيل أن لديك لوحًا معدنيًا مساحته ٢٤‏𝜋‏ بالضبط، وعليك استخدام هذا اللوح لتشكيل أكبر علبة معدنية ممكنة. لنبدأ بتحديد بعض المتغيرات. سنرمز إلى نصف قطر الأسطوانة الدائرية القائمة بـ نق. وسنرمز إلى ارتفاع نصف قطر الأسطوانة الدائرية القائمة بـ ﻉ. تحدد قيمتا نق وﻉ بالضبط حجم الأسطوانة الدائرية القائمة وشكلها. ويمكننا كتابة مساحة سطح الأسطوانة وحجمها بدلالة نق وﻉ.

مساحة سطح الأسطوانة تساوي اثنين 𝜋نق تربيع زائد اثنين 𝜋نقﻉ. يشير اثنان 𝜋نق تربيع إلى وجهي الأسطوانة المستويين، أما الجزء العلوي والسفلي للعلبة المعدنية فهمًا قرصان نصف قطرهما نق. واثنان 𝜋نقﻉ هو مساحة السطح المنحني المتبقية من العلبة، والتي يمكن أن يوضع عليها ملصق العلامة التجارية. يمكنك أن تتخيل نزع هذا الملصق الذي يحمل العلامة التجارية وفرده ليصبح مستطيلًا عرضه اثنان 𝜋نق وارتفاعه ﻉ، ويفسر هذا أن مساحة السطح المنحني تساوي اثنين 𝜋نق في ﻉ.

لدينا أيضًا صيغة لحجم الأسطوانة الدائرية القائمة، فيها نصف القطر نق والارتفاع ﻉ وهي: مساحة قاعدة الأسطوانة الدائرية القائمة تساوي 𝜋نق تربيع في ارتفاع الأسطوانة ﻉ. تذكر أن الحجم ﺡ هو الكمية التي نريد إيجاد القيمة العظمى لها. إذا تعاملنا مع ﺡ كدالة في متغير ما، فيمكننا استخدام طرق حساب التفاضل والتكامل لإيجاد القيمة العظمى لهذه الدالة على فترة محددة.

لسوء الحظ، لا نعرف قيمة ﺡ بدلالة متغير واحد لنجعله دالة في هذا المتغير. بل نعرفها بدلالة نق وﻉ. ولكن توجد معلومة لم نستخدمها بعد، وهي أن مساحة سطح الأسطوانة الدائرية القائمة تساوي ٢٤‏𝜋‏ سنتيمترًا مربعًا. باستخدام قيمة مساحة السطح ﻡ بدلالة نق وﻉ، نجد أن اثنين 𝜋نق تربيع زائد اثنين 𝜋نقﻉ يساوي ٢٤‏𝜋‏ بوحدة السنتيمتر.

يمكننا قسمة الطرفين على اثنين 𝜋 ليصبح لدينا نق تربيع زائد نقﻉ يساوي ١٢. حسنًا، أوجدنا علاقة بين المتغيرين نق وﻉ. ولكن كيف يساعدنا هذا فيما نحاول فعله وهو إيجاد القيمة العظمى لـ ﺡ يساوي 𝜋نق تربيع ﻉ؟ حسنًا، يمكننا استخدام هذه العلاقة للتعبير عن ﻉ بدلالة نق. وبالتعويض عن ﻉ بهذا التعبير الناتج، سنحصل على ﺡ بدلالة نق فقط، أي ﺡ كدالة في المتغير نق، وحينها سنعرف كيف نوجد قيمتها العظمى.

حسنًا، هيا نفعل ذلك. سنطرح نق تربيع من كلا الطرفين. ثم بقسمة الطرفين على نق، نجد ﻉ بدلالة نق حيث ﻉ يساوي ١٢ ناقص نق تربيع على نق. بعد ذلك سنعوض بهذا التعبير عن ﻉ بدلالة نق في صيغة الحجم ﺡ. وبهذا يصبح لدينا الآن ﺡ كدالة في المتغير نق حيث ﺡ يساوي 𝜋نق تربيع في ١٢ ناقص نق تربيع على نق. يمكننا التبسيط بعض الشيء لنجد أن ﺡ يساوي 𝜋نق في ١٢ ناقص نق تربيع.

قبل أن نفكر في إيجاد القيمة العظمى لـ ﺡ، هيا نفكر أولًا فيما تعنيه هذه الصيغة. إنها صيغة لحساب حجم أسطوانة دائرية قائمة مساحة سطحها ٢٤‏𝜋‏. بمعنى أنه لأي أسطوانة دائرية قائمة مساحة سطحها ٢٤‏𝜋‏، يمكنك التعويض عن نصف قطرها بـ نق في هذه الصيغة لمعرفة حجمها. حسنًا، لدينا الآن ﺡ كدالة في المتغير نق، ونريد إيجاد القيمة العظمى لـ ﺡ. حان وقت حساب التفاضل والتكامل! لكن انتظر، ما فترة نق التي سنوجد فيها القيمة العظمى لـ ﺡ؟

تذكر أن نق هو نصف قطر الأسطوانة الدائرية القائمة. ونصف القطر لا بد أن يكون موجبًا. حسنًا، هل يوجد حد أعلى لـ نق؟ لا يمكننا تحديد ذلك. لكننا نلاحظ أنه إذا كان نق أكبر من الجذر التربيعي لـ ١٢، فإن ١٢ ناقص نق تربيع؛ ومن ثم الحجم، سيكون سالبًا. وهذا غير منطقي بالطبع. إذن ما الذي يحدث هنا؟ إذا كان نق أكبر من الجذر التربيعي لـ ١٢، فإن مساحة السطحين المستويين للأسطوانة الدائرية القائمة، أي اثنين 𝜋نق تربيع، ستكون أكبر من ٢٤‏𝜋‏.

وبما أن المساحة الكلية لسطح الأسطوانة تساوي ٢٤‏𝜋‏ سنتيمترًا مربعًا، فلا بد أن تكون مساحة السطحين المستويين أقل من ٢٤‏𝜋‏ سنتيمترًا مربعًا. ومن ثم، يجب أن يكون نق أصغر من جذر ١٢ سنتيمترًا؛ لأن مساحة السطح المنحني لا يمكن أن تكون سالبة. حسنًا، ما هي الفترة إذن؟ يجب أن يقع نق ضمن الفترة صفر والجذر التربيعي لـ ١٢. وأظن أن بمقدورنا أيضًا أن نضم الأسطوانات التي نصف قطرها صفر إلى الفترة لأنها تجعل الفترة مغلقة، مع أنها لا تبدو أسطوانية تمامًا.

تمكنا من تحويل هذه المسألة الهندسية إلى مسألة إيجاد القيمة العظمى لدالة على فترة مغلقة. والآن يمكننا تطبيق طريقة الفترة المغلقة. لإيجاد القيمتين العظمى المطلقة والصغرى المطلقة لدالة ما على فترة، علينا أن نوجد قيم الدالة عند النقاط الحرجة وعند طرفي الفترة. أكبر هذه القيم هي القيمة العظمى المطلقة على الفترة، وأصغر القيم هي القيمة الصغرى المطلقة.

لنفرغ بعض المساحة. أولًا، هيا نجد النقاط الحرجة للدالة، إن وجدت. النقاط الحرجة هي أعداد تكون عندها مشتقة الدالة ﺡ بالنسبة إلى نق تساوي صفرًا أو غير معرفة. إذن، علينا اشتقاق ﺡ بالنسبة إلى نق. وسنستخدم المقدار الذي يعبر عن ﺡ بدلالة نق. ثم نفك هذا المقدار ليسهل اشتقاقه. وفي هذه المرحلة نستخدم قاعدة مشتقة العدد الثابت المضروب في قوة متغير بالنسبة إلى هذا المتغير. وهذه القاعدة تناسب نق مثلما تناسب ﺱ.

باشتقاق كل حد على حدة، نحصل على ١٢‏𝜋‏ ناقص ثلاثة 𝜋نق تربيع. تذكر أننا نبحث عن النقاط الحرجة، أي قيم نق التي تكون المشتقة عندها تساوي صفرًا أو غير موجودة. من الواضح أن المشتقة موجودة عند أي عدد حقيقي نق. وستكون الدالة تربيعية في المتغير نق. ومن ثم، علينا أن نفكر فقط في إيجاد قيم نق التي تكون المشتقة عندها تساوي صفرًا. بإخراج العامل المشترك ثلاثة 𝜋، نجد أن المشتقة تساوي ثلاثة 𝜋 في أربعة ناقص نق تربيع. ثم نحلل الفرق بين مربعين إلى اثنين ناقص نق في اثنين زائد نق. وهنا، نجد أن النقطتين الحرجتين هما اثنان وسالب اثنين.

حسنًا، دعونا نفرغ بعض المساحة. لقد وجدنا النقطتين الحرجتين، ونعرف بالفعل طرفي الفترة. طرفا الفترة هما صفر وجذر ١٢. نلاحظ أن إحدى النقطتين الحرجتين، وهي سالب اثنين، لا تقع ضمن هذه الفترة. ولذلك، لن نضعها في اعتبارنا. تذكر أن طريقة الفترة المغلقة تخبرنا أن أحد هذه الأعداد، اثنان أو صفر أو الجذر التربيعي لـ ١٢، تتحقق عنده القيمة العظمى المطلقة لـ ﺡ. وأحدها أيضًا تتحقق عنده القيمة الصغرى المطلقة لـ ﺡ في الفترة، لكن هذه النقطة لا تهمنا كثيرًا.

ليس علينا الآن سوى إيجاد قيمة ﺡ لكل من قيم نق هذه. لنبدأ بالقيمة اثنين. عند نق يساوي اثنين، ما قيمة ﺡ؟ سنعوض عن نق باثنين في التعبير الدال على ﺡ لنحصل على 𝜋 في اثنين في ١٢ ناقص اثنين تربيع. بالتبسيط وكتابة وحدة القياس، تذكر أننا نحسب بالسنتيمترات ومن ثم وحدة الحجم ستكون السنتيمتر المكعب، نحصل على ١٦‏𝜋‏ سنتيمترًا مكعبًا عند نق يساوي اثنين.

ماذا عن عند نق يساوي صفرًا؟ الحجم ﺡ يساوي 𝜋 في صفر في ١٢ ناقص صفر تربيع، وهو ما يمكن تبسيطه بعد إضافة الوحدات إلى صفر سنتيمتر مكعب. وهذا ليس مفاجئًا على الإطلاق؛ فبالطبع أسطوانة دائرية قائمة نصف قطرها صفر سيكون حجمها صفرًا! والآن، ماذا عن الطرف الآخر، جذر ١٢؟ نحصل على 𝜋 في جذر ١٢ في ١٢ ناقص جذر ١٢ تربيع. لدينا صفر داخل القوس، إذن سيكون الحجم صفرًا هنا أيضًا.

إذا فكرت في ذلك، فستجد أن طول نصف القطر جذر ١٢ سنتيمترًا يجعل ارتفاع الأسطوانة الدائرية القائمة صفر سنتيمتر. إذن، ومرة أخرى، ليس من الغريب أن يكون الحجم صفرًا. لدينا ثلاث قيم للحجم ﺡ لثلاث أسطوانات دائرية قائمة مختلفة مساحة سطح كل منها ٢٤‏𝜋‏ سنتيمترًا مربعًا. وتخبرنا طريقة الفترة المغلقة بأن أكبر هذه القيم هي القيمة العظمى المطلقة على هذه الفترة. وهي القيمة التي نبحث عنها، أي أكبر حجم لـ ﺡ.

من الواضح أن أكبر هذه القيم هو ١٦‏𝜋‏ سنتيمترًا مكعبًا. هذه هي القيمة العظمى المطلقة للدالة ﺡ لـ نق على هذه الفترة. ومن ثم، هذا هو أكبر حجم ممكن لأسطوانة دائرية قائمة مساحتها ٢٤‏𝜋‏ سنتيمترًا مربعًا. هيا نلخص سريعًا طريقة حلنا لهذه المسألة. لاحظنا أن هذه المسألة تتعلق بأسطوانة دائرية قائمة، لذا رسمناها، وحددنا عليها المتغيرين نق وﻉ. كانت المعطيات هي أن مساحة سطح هذه الأسطوانة تساوي ٢٤‏𝜋‏ سنتيمترًا مربعًا، والمطلوب إيجاد أكبر حجم ممكن لها.

وعبرنا عن هاتين الكميتين بدلالة المتغيرين اللذين حددناهما، وهما نق وﻉ. مع أن الحجم ﺡ الذي أردنا إيجاد أكبر قيمة له كان بدلالة كل من نق وﻉ، إلا أننا استخدمنا معلومة مساحة سطح الأسطوانة لتكوين علاقة بين نق وﻉ؛ ومن ثم كتابة ﻉ بدلالة نق ثم ﺡ بدلالة نق فقط. وهنا أصبحت لدينا مسألة تفاضل وتكامل، حيث أردنا إيجاد القيمة العظمى لـ ﺡ، وهي دالة في المتغير نق، على فترة معينة وجدناها أيضًا بالتفكير في سياق المسألة.

استخدمنا طريقة الفترة المغلقة، وأوجدنا النقطتين الحرجتين للدالة ﺡ لـ نق عن طريق الاشتقاق ثم أوجدنا قيمة ﺡ عند النقطة الحرجة التي تقع ضمن الفترة وكذلك عند طرفي الفترة. أكبر هذه القيم، ١٦‏𝜋‏ سنتيمترًا مكعبًا، هي القيمة العظمى المطلقة للدالة ﺡ لـ نق على فترة نق. وكان ذلك في محله. ومن ثم، هذا أيضًا هو أكبر حجم لأسطوانة دائرية قائمة مساحة سطحها ٢٤‏𝜋‏ سنتيمترًا مربعًا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.