فيديو: إيجاد أكبر حجم لأسطوانة مساحة سطحها مُعطاة

ما أكبر حجم لأسطوانة دائرية قائمة مساحة سطحها ٢٤ 𝜋 سم^٢؟ اكتب إجابتك بدلالة 𝜋.

٠٥:٤٢

‏نسخة الفيديو النصية

ما أكبر حجم لأسطوانة دائرية قائمة، مساحة سطحها أربعة وعشرين 𝜋 سنتيمتر مربع؟ اكتب إجابتك بدلالة 𝜋.

أكبر حجم لأسطوانة، اللي هو عايزين نعرف إيه هي القيمة العظمى، اللي نقدر نوصل بيها لحجم أسطوانة أكبر ما يمكن. حجم الأسطوانة ح بيساوي 𝜋 نق تربيع ع. حيث الـ نق، اللي هو نصف قطر الأسطوانة. والـ ع هو ارتفاع الأسطوانة. عايزين نوجده أكبر ما يمكن، عايزين نخلّيه أكبر ما يمكن. فالأول هنخلّيه دالة في متغيّر واحد بس. علشان نقدر نوجد القيمة العظمى للحجم. عن طريق إن إحنا نشتق الحجم. مرة نوجد بيها النقاط الحرجة اللي بيحصل عندها. يا إمّا قيمة عظمى، يا إمّا قيمة صغرى. وبعدين نشتق مرة تانية. وبنحدّد مِ الإشارة بتاعتها، هل هي قيمة عظمى أم قيمة صغرى.

فهنوجد علاقة ما بين الـ نق والـ ع، باستخدام مساحة السطح المعطاة. المساحة السطحية المعطاة هي أربعة وعشرين 𝜋 بتساوي اتنين 𝜋 نق تربيع، زائد اتنين 𝜋 نق في ع. هنوجد ع بدلالة نق. هنطرح اتنين 𝜋 نق تربيع من طرفَي المعادلة دي. فهتبقى اتنين 𝜋 نق ع هتساوي أربعة وعشرين 𝜋، ناقص اتنين 𝜋 نق تربيع.

هنقسم المعادلة كلها على اتنين 𝜋. يبقى نق في ع هتساوي اتناشر ناقص نق تربيع. هنقسم على نق. يبقى الـ ع هتساوي اتناشر ناقص نق تربيع، على نق. وهتبقى هي دي العلاقة ما بين الـ ع، والـ نق. اللي هو ارتفاع الأسطوانة، ونصف قطر الأسطوانة.

يبقى الحجم هيساوي 𝜋 نق تربيع. مضروبة في الـ ع، اللي هي اتناشر ناقص نق تربيع. الكل على نق. هنختصر الـ نق تربيع، مع الـ نق. يبقى الحجم هيساوي 𝜋 نق في، الاتناشر ناقص نق تربيع. هنضرب 𝜋 نق في القوس. هتبقى اتناشر 𝜋 نق ناقص 𝜋 نق أُس تلاتة.

هنوجد المشتقة الأولى للحجم. علشان نقدر نحدّد النقاط اللي بيحصل عندها قيم عظمى أو قيم صغرى. لمّا هنشتق الحجم بالنسبة للـ نق. هيبقى د ح د نق هيساوي … اتناشر 𝜋 نق، لمّا هنشتقها هتبقى اتناشر 𝜋، ناقص … 𝜋 نق تكعيب هنشتقها. هننزّل الأُس ونضرب فيه، يبقى تلاتة 𝜋. وهننقّص الأُس واحد، فهتبقى نق تربيع.

هنساوي المشتقة الأولى للحجم، بصفر. ونوجد قيمة نق، اللي بيحصل عندها قيمة عظمى أو قيمة صغرى. يبقى اتناشر 𝜋 ناقص تلاتة 𝜋 نق تربيع هتساوي صفر. بالقسمة على تلاتة 𝜋، يبقى أربعة ناقص نق تربيع هتساوي صفر. ومنها الـ نق تربيع هتساوي أربعة. بإيجاد الجذر التربيعي للطرفين، يبقى الـ نق هتساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي للأربعة.

لكن نصف القطر ما ينفعش يبقى قيمة سالبة، فهناخد القيمة الموجبة بس. فهيبقى يساوي اتنين. يبقى الـ نق تساوي اتنين، هي دي القيمة اللي بيحصل عندها يا قيمة عظمى يا قيمة صغرى. هنتأكّد إنها قيمة عظمى، بإن إحنا نوجد المشتقة التانية للحدّ. يعني هنشتق دي كمان مرة. ونشوف الإشارة؛ إذا كانت موجبة يبقى قيمة صغرى، لو كانت سالبة تبقى قيمة عظمى.

يبقى المشتقة التانية د اتنين ح د نق تربيع هتساوي … اتناشر 𝜋 اشتقاقها بصفر. سالب تلاتة 𝜋 نق تربيع، هتبقى سالب تلاتة 𝜋، في الأُس بتاع الـ نق اللي هو اتنين، مضروبة في الـ نق. طبعًا هنا الـ نق قيمته موجبة. يبقى إشارة المشتقة التانية للحجم، أصغر من الصفر. يبقى هنا فيه قيمة عظمى. اللي هي عند الـ نق بيساوي اتنين. وهنا الوحدات المستخدمة سنتيمتر. يبقى نصف القطر بيساوي اتنين سنتيمتر.

هنوجد أكبر حجم للأسطوانة، بالتعويض بالـ نق هنا بتساوي اتنين. يبقى الحجم هيساوي اتناشر 𝜋، في الـ نق اللي هو قيمته اتنين. ناقص 𝜋 … نق أُس تلاتة يعني اتنين أُس تلاتة. يبقى هيساوي أربعة وعشرين 𝜋 ناقص تمنية 𝜋. هيساوي ستاشر 𝜋 سنتيمتر مكعب. ويبقى هو ده أكبر حجم للأسطوانة الدائرية القائمة. التي مساحة السطح الكلية لها بتساوي أربعة وعشرين 𝜋 سنتيمتر مربع.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.