فيديو السؤال: تحديد الخواص الإجمالية للغاز المثالي الفيزياء

نسخة الفيديو النصية

منطاد حجمه 0.015 متر مكعب عند مستوى سطح البحر؛ حيث ضغط الهواء 101 كيلو باسكال، ودرجة الحرارة تساوي 300 كلفن. أوجد حجم هذا المنطاد عند نقطة على ارتفاع 1.4 كيلومتر فوق سطح البحر؛ حيث درجة الحرارة تساوي 245 كلفن. مثل الغلاف الجوي؛ بحيث تكون كثافته منتظمة وتساوي 1.225 كيلوجرام لكل متر مكعب. أجب لأقرب أربع منازل عشرية.

لنفترض أن هذا الخط يمثل مستوى سطح البحر، وأن هذا هو موضع المنطاد في البداية حيث يكون له حجم وضغط هواء ودرجة حرارة معينة. لكن بمرور الوقت، يتحرك المنطاد لأعلى بارتفاع 1.4 كيلومتر. ونحن نريد إيجاد حجم المنطاد عند هذه النقطة. لتمييز هذا الحجم عن حجم المنطاد عند مستوى سطح البحر، دعونا نسميه ‪𝑉‬‏ اثنين. بما أننا نريد إيجاد هذا الحجم، فإننا سنتعامل مع الهواء في المنطاد على أنه غاز مثالي. وهذا يعني أنه سينطبق عليه قانون الغاز المثالي. ينص هذا القانون على أن ضغط الغاز في حجمه يساوي عدد مولات الغاز في الثابت ‪𝑅‬‏، الذي يسمى ثابت الغاز، مضروبًا في درجة حرارة الغاز.

في حالة هذا المنطاد، فإن عدد مولات الغاز فيه ثابت، و‪𝑅‬‏، أي ثابت الغاز، يظل هو نفسه دائمًا. ومن ثم، فإن ‪𝑛‬‏ في ‪𝑅‬‏ في هذه الحالة قيمة ثابتة. إذا قسمنا طرفي قانون الغاز المثالي على درجة الحرارة ‪𝑇‬‏، فسيلغى هذا العامل من الطرف الأيمن. إذن، نجد أن ضغط الغاز في حجمه مقسومًا على درجة حرارته يساوي ‪𝑛‬‏ في ‪𝑅‬‏، وهو، كما ذكرنا من قبل، قيمة ثابتة في هذه الحالة.

هذا يعني أنه إذا ضربنا ضغط الغاز عند لحظة معينة، ونسمي هذا الضغط ‪𝑃‬‏ واحد، في حجم الغاز عند هذه اللحظة نفسها، أي ‪𝑉‬‏ واحد، ثم قسمنا هذا كله على درجة حرارة الغاز عند تلك اللحظة، أي ‪𝑇‬‏ واحد، فإن هذا يساوي ضغط الغاز عند لحظة أخرى، أي ‪𝑃‬‏ اثنين، مضروبًا في حجمه عند هذه اللحظة نفسها، أي ‪𝑉‬‏ اثنين، مقسومًا على درجة حرارته عند تلك اللحظة، أي ‪𝑇‬‏ اثنين.

في حالة هذا المنطاد، سنفترض أن هذه اللحظة الابتدائية من الزمن هي عندما يكون المنطاد عند مستوى سطح البحر. لذا سنسمي كلًّا من ضغط الهواء وحجمه ودرجة حرارته في المنطاد عند هذه اللحظة ‪𝑃‬‏ واحد، و‪𝑉‬‏ واحد، و‪𝑇‬‏ واحد. وبالمثل، سنقول إن هذه اللحظة التي يكون فيها المنطاد على ارتفاع 1.4 كيلومتر هي اللحظة الثانية حيث يكون فيها الضغط ‪𝑃‬‏ اثنين، والحجم ‪𝑉‬‏ اثنين، ودرجة الحرارة ‪𝑇‬‏ اثنين. هذا يعني أنه في هذه المعادلة هنا، مطلوب منا إيجاد قيمة المتغير ‪𝑉‬‏ اثنين. ولفعل ذلك، سنضرب طرفي المعادلة في ‪𝑇‬‏ اثنين مقسومًا على ‪𝑃‬‏ اثنين. يعني هذا أنه في الطرف الأيمن من هذا التعبير، يلغى كل من درجة الحرارة والضغط.

بإعادة ترتيب التعبير الناتج، نجد أن ‪𝑉‬‏ اثنين يساوي ‪𝑉‬‏ واحد في نسبة الضغط ‪𝑃‬‏ واحد إلى ‪𝑃‬‏ اثنين مضروبًا في نسبة درجة الحرارة ‪𝑇‬‏ اثنين إلى ‪𝑇‬‏ واحد. لدينا في نص المسألة قيم بعض هذه المتغيرات. إذ يخبرنا السؤال مثلًا أن حجم المنطاد عند مستوى سطح البحر، الذي أسميناه ‪𝑉‬‏ واحد، يساوي 0.015 متر مكعب. ضغط الهواء في المنطاد يساوي 101 كيلو باسكال، ودرجة حرارة هذا الهواء 300 كلفن. كما نعلم أيضًا أن درجة حرارة الهواء في المنطاد وهو على ارتفاع 1.4 كيلومتر تساوي 245 كلفن؛ ورمزها هو ‪𝑇‬‏ اثنان، ما يعني أن لدينا الآن قيم ‪𝑉‬‏ واحد و‪𝑃‬‏ واحد و‪𝑇‬‏ واحد و‪𝑇‬‏ اثنين. وهنا نلاحظ أن المتغير الذي ينقصنا لإيجاد قيمة ‪𝑉‬‏ اثنين هو هذا الضغط الثاني، أي ‪𝑃‬‏ اثنان.

لكن نلاحظ أننا نتعامل مع الهواء في الغلاف الجوي بحيث تكون كثافته منتظمة وتساوي 1.225 كيلوجرام لكل متر مكعب. نتذكر أن الضغط في مائع معين، كالهواء في الغلاف الجوي على سبيل المثال، يساوي كثافة هذا المائع في عجلة الجاذبية الأرضية مضروبة في ارتفاع المائع. لكن علينا أن ننتبه هنا؛ لأننا قد نعتقد أن الضغط على ارتفاع 1.4 كيلومتر، والذي أسميناه ‪𝑃‬‏ اثنين، يمكن حسابه باستخدام هذه المعادلة، حيث يكون الارتفاع ‪ℎ‬‏ هو الارتفاع 1.4 كيلومتر. لكن في الواقع، امتداد الغلاف الجوي هذا لا يؤثر في الضغط الجوي عند هذه النقطة. بل إن الهواء الموجود في الغلاف الجوي فوق هذه النقطة وصولًا إلى أعلى الغلاف الجوي هو ما يحدث هذا الضغط.

لنفترض أن ارتفاع امتداد الهواء هذا هو ‪ℎ‬‏ اثنان. إذا عرفنا قيمة هذا الارتفاع، يمكننا استخدام هذه العلاقة هنا لإيجاد قيمة الضغط ‪𝑃‬‏ اثنين في معادلة ‪𝑉‬‏ اثنين. ولفعل ذلك، دعونا نفرغ بعض المساحة أعلى الشاشة. ضغط الهواء في المنطاد على ارتفاع 1.4 كيلومتر فوق سطح البحر، الذي أسميناه ‪𝑃‬‏ اثنين، يساوي كثافة الهواء في الغلاف الجوي في عجلة الجاذبية الأرضية في ‪ℎ‬‏ اثنين. لدينا كثافة الهواء ‪𝜌‬‏ في الغلاف الجوي، ونحن نعلم أن عجلة الجاذبية الأرضية ‪𝑔‬‏ تساوي 9.8 أمتار لكل ثانية مربعة. نحن لا نعرف قيمة ‪ℎ‬‏ اثنين، ولكن يمكننا إيجادها ليس من خلال الضغط ‪𝑃‬‏ اثنين، لكن من خلال الضغط ‪𝑃‬‏ واحد عند مستوى سطح البحر. فهذا الضغط، كما نلاحظ، ناتج عن ارتفاع الهواء ‪ℎ‬‏ اثنين زائد 1.4 كيلومتر.

عند كتابة معادلة الضغط ‪𝑃‬‏ واحد، نجد أنها تساوي ‪𝜌‬‏ في ‪𝑔‬‏ في الكمية ‪ℎ‬‏ اثنين زائد 1.4 كيلومتر. في هذه المعادلة، نلاحظ مجددًا أننا نعرف قيمة كل من ‪𝜌‬‏ و‪𝑔‬‏، لكننا لا نعرف قيمة ‪ℎ‬‏ اثنين. ولكن الفرق هنا هو أننا نعرف قيمة ‪𝑃‬‏ واحد، بناء على معطيات المسألة. لذا، سنعيد ترتيب هذه المعادلة بحيث نجعل ‪ℎ‬‏ اثنين في طرف بمفرده. ولفعل ذلك، نقسم أولًا كلا الطرفين على ‪𝜌‬‏ في ‪𝑔‬‏، ثم نلغي هذين العاملين في الطرف الأيمن. وفي الخطوة التالية، نطرح 1.4 كيلومتر من كلا الطرفين، بحيث يكون لدينا في الطرف الأيمن 1.4 كيلومتر ناقص 1.4 كيلومتر يساوي صفرًا. الآن، أصبح لدينا تعبير لـ ‪ℎ‬‏ اثنين، حيث تكون جميع القيم في الطرف الآخر من المعادلة معلومة.

لحساب قيمة ‪ℎ‬‏ اثنين، يمكننا التعويض بقيمة كل من ‪𝑃‬‏ واحد و‪𝜌‬‏ و‪𝑔‬‏. لكن قبل إدخال هذا التعبير على الآلة الحاسبة، علينا إجراء تغييرين في الوحدات. أولًا، علينا تحويل وحدة الكيلو باسكال إلى وحدة الباسكال؛ ثانيًا، علينا تحويل وحدة الكيلومتر إلى وحدة المتر. ولإجراء هذين التحويلين، نتذكر أن 1000 باسكال يساوي كيلو باسكال و1000 متر يساوي كيلومترًا واحدًا. إذن، فإننا في كلتا الحالتين نضرب القيمتين في 1000. ‏101 في 1000 يساوي 101000، و1.4 في 1000 يساوي 1400. ونظرًا لأن الباسكال الواحد يساوي نيوتن لكل متر مربع، إذن يمكن التعبير عنه بالكامل بوحدات النظام الدولي الأساسية، ونحن الآن مستعدون لحساب قيمة الارتفاع ‪ℎ‬‏ اثنين.

‏‪ℎ‬‏ اثنان يساوي 7013.2 مترًا تقريبًا. وهذا هو الارتفاع الذي يمكننا استخدامه في المعادلة لإيجاد الضغط ‪𝑃‬‏ اثنين. لنفرغ بعض المساحة لحساب ذلك، ثم نعوض بالقيمة المعلومة لدينا لكل من ‪𝜌‬‏ و‪𝑔‬‏ و‪ℎ‬‏ اثنين. نجد أن الضغط ‪𝑃‬‏ اثنين يساوي 84190 باسكال تقريبًا، أي ما يساوي 84.190 كيلو باسكال.

الآن بعد أن توصلنا إلى قيمة ‪𝑃‬‏ اثنين، يمكننا متابعة الحل لإيجاد الحجم ‪𝑉‬‏ اثنين. وهو يساوي ‪𝑉‬‏ واحد، أي 0.015 متر مكعب، مضروبًا في ‪𝑃‬‏ واحد مقسومًا على ‪𝑃‬‏ اثنين مضروبًا في ‪𝑇‬‏ اثنين مقسومًا على ‪𝑇‬‏ واحد. نلاحظ في الطرف الأيمن أن لدينا وحدة الكيلو باسكال في البسط والمقام. وعليه، تلغى هذه الوحدة في كل من البسط والمقام معًا، وبالمثل تلغى وحدة الكلفن المعبرة عن درجة الحرارة. إذن، الإجابة النهائية ستكون بوحدة المتر المكعب. ‏‪𝑉‬‏ اثنان سيساوي عددًا عشريًّا طويلًا. ولكن إذا قربنا الناتج لأقرب أربع منازل عشرية، فسنحصل على 0.0147 متر مكعب. إذن، هذا هو حجم المنطاد على ارتفاع 1.4 كيلومتر فوق سطح البحر.