نسخة الفيديو النصية
ما عدد الجذور الثمانية للعدد واحد التي تعد من الجذور الاثني عشرية للعدد واحد؟
عندما نفكر في الجذور الثمانية للعدد واحد، نجدها القيم الثمانية لـ ﻉ؛ حيث ﻉ أس ثمانية يساوي واحدًا. وبالمثل، الجذور الاثنا عشرية للعدد واحد هي جميع قيم ﻉ، حيث ﻉ أس ١٢ يساوي واحدًا. ولإيجاد الجذور النونية للعدد واحد، لدينا الصورة العامة جتا اثنين 𝜋ﻙ على ﻥ زائد ﺕ جا اثنين 𝜋ﻙ على ﻥ. وهذا يعطينا الإحداثيات القطبية لكل من الجذور لقيم ﻙ، حيث ﻙ هو جميع الأعداد الصحيحة الواقعة بين صفر وﻥ ناقص واحد.
إحدى طرق حل هذا السؤال هي بالطبع إيجاد الجذور الثمانية للعدد واحد والجذور الاثني عشرية للعدد واحد، ثم المقارنة بين القيم. لكن هذه الطريقة سينتج عنها ٢٠ إحداثيًا قطبيًا علينا مقارنتها. مرة أخرى، ستنجح هذه الطريقة، لكنها ستستغرق وقتًا طويلًا جدًا. لحسن الحظ أننا نعرف شيئًا عن الجذور المشتركة للعدد واحد. وهو الآتي: الجذور المشتركة لـ ﻉ أس ﻥ ناقص واحد يساوي صفرًا، وﻉ أس ﻡ ناقص واحد يساوي صفرًا، هي جذور ﻉ أس ﺩ ناقص واحد يساوي صفرًا، حيث ﺩ يساوي العامل المشترك الأكبر لـ ﻡ وﻥ.
يمكننا إعادة كتابة الجذور الثمانية للعدد واحد على الصورة ﻉ أس ثمانية، ناقص واحد، يساوي صفرًا. ثم نعيد كتابة الجذور الاثني عشرية ١٢ للعدد واحد على الصورة ﻉ أس ١٢ ناقص واحد يساوي صفرًا. ومن هنا، يمكننا أن نجعل ﻥ يساوي ثمانية وﻡ يساوي ١٢. عدد الجذور المشتركة سيكون ﺩ، وهو يساوي العامل المشترك الأكبر للعددين ١٢ وثمانية. العامل الأكبر للعددين ١٢ وثمانية هو أربعة. إذن، يمكننا القول إن ﺩ يساوي أربعة. وهذا يجيب على السؤال: «ما عدد الجذور المشتركة؟» لكن ماذا لو أردنا إيجاد هذه الجذور المشتركة؟ عندئذ يمكننا التعويض بقيمة ﺩ هذه، حيث ﻉ أس أربعة ناقص واحد يساوي صفرًا. وبعد ذلك يمكننا القول إن جميع الجذور الرباعية للعدد واحد مشتركة بين الجذور الثمانية للعدد واحد، والجذور الاثني عشرية للعدد واحد.
باستخدام مبدأ الجذور المشتركة للعدد واحد، لن نتمكن من إيجاد عدد الجذور المشتركة بين مجموعتين من الجذور فحسب، بل يمكننا أيضًا تحديد هذه الجذور. في هذا السؤال، كان يتعين علينا معرفة عدد الجذور المشتركة فحسب. إذن، بين الجذور الثمانية للعدد واحد، والجذور الاثني عشرية للعدد واحد، يوجد أربعة جذور مشتركة.
