فيديو: إثبات أن متوازي الأضلاع مستطيل

شكل رباعي رءوسه عند النِّقاط (٠، ٣)، (١، ٥)، (٥، ٣)، (٤، ١). حدِّد إذا ما كان الشكل الرباعي متوازي أضلاع عن طريق حساب طول كلِّ ضلع.

٠٨:١٦

‏نسخة الفيديو النصية

شكل رباعي رؤوسه عند النقاط: صفر وتلاتة، وواحد وخمسة، وخمسة وتلاتة، وأربعة وواحد. ومعطى عندنا الشكل اللي قدّامنا. والسؤال ده ليه أكتر من مطلوب. وأول مطلوب عندنا: حدّد إذا ما كان الشكل الرباعي متوازي أضلاع عن طريق حساب طول كل ضلع.

يعني معطى عندنا في الشكل شكل رباعي، ومعطى عندنا رؤوسه. وخلّينا في الأول نسمّي الشكل الرباعي ده: أ ب ﺟ د. وهنكتب تحت كل نقطة إحداثياتها. فأول مطلوب عندنا عايزين نحدّد إذا كان الشكل الرباعي ده هل هو متوازي أضلاع ولّا لأ. وهنحدّد ده عن طريق إننا نحسب طول كل ضلع في الشكل الرباعي. لكن إحنا ما عندناش أطوال الأضلاع دي، لكن مُعطى عندنا الأربع رؤوس للشكل الرباعي، ومعطى عندنا إحداثيات كل نقطة فيهم.

فبالتالي هيبقى طول كل ضلع هو المسافة بين النقطتين. يعني مثلًا هيبقى طول الضلع أ ب هو المسافة بين النقطتين أ وَ ب.

وخلّينا في الأول نفتكر إن المسافة بين نقطتين بتساوي الجذر التربيعي لمجموع مربع فرق السينات، ومربع فرق الصادات. يعني لو في الشكل اللي عندنا عايزين نوجد طول الضلع أ ب. فهيبقى أ ب بيساوي الجذر التربيعي لمربع فرق السينات؛ يعني س اتنين ناقص س واحد الكل تربيع. زائد مربع فرق الصادات؛ يعني ص اتنين ناقص ص واحد الكل تربيع.

بعد كده هنعوّض عن السينات والصادات بإحداثيات النقاط اللي عندنا. يعني مثلًا خلّينا نفرض إن النقطة أ إحداثياتها هي: س واحد، وَ ص واحد. وأمّا النقطة ب فهتبقى إحداثياتها هي: س اتنين، وَ ص اتنين. فبالتالي لمّا نيجي نعوّض هيبقى أ ب يساوي الجذر التربيعي لمربع فرق السينات؛ يعني س اتنين ناقص س واحد. فهنعوّض عنهم بواحد ناقص خمسة. فيبقى عندنا واحد ناقص خمسة الكل تربيع. زائد مربع فرق الصادات. فهنعوّض عن ص اتنين ناقص ص واحد بخمسة ناقص تلاتة. فيبقى مربع فرق الصادات هو خمسة ناقص تلاتة الكل تربيع.

فلمّا نحسب قيمة المقدار ده هيبقى بيساوي الجذر التربيعي لعشرين. فبالتالي هيبقى طول الضلع أ ب هو الجذر التربيعي لعشرين وحدة طول. ولمّا حسبنا هنلاحظ إن عندنا الترتيب، أو إن إحنا نسمّي أنهي واحدة س واحد وأنهي واحدة س اتنين؛ مش بيفرق في حاجة. لأن إحنا بنحسب في الآخِر تربيع الفرق بينهم. فحتى لو كان قيمة الفرق بينهم بالسالب، فلمّا هنربّعه هيبقى الإشارة موجبة. فبالتالي لمّا نيجي نوجد الفرق بين أيّ نقطتين. مش هتفرق نختار أنهي واحدة يبقى س واحد وَ ص واحد، وأنهي نقطة تبقى س اتنين وَ ص اتنين.

فبنفس الطريقة لو عايزين نوجد طول الضلع المقابل ليه، اللي هو الضلع ﺟ د. فهنعوّض بنفس القانون. فهيبقى ﺟ د بيساوي الجذر التربيعي لمربع فرق السينات، زائد مربع فرق الصادات. وهنعوّض بإحداثيات النقطتين اللي عندنا؛ اللي همّ ﺟ وَ د. فبالتالي هيبقى مربع فرق السينات هو: أربعة ناقص صفر الكل تربيع. وأمّا مربع فرق الصادات هو: واحد ناقص تلاتة الكل تربيع. فلمّا نحسب قيمة المقدار ده هيبقى بيساوي الجذر التربيعي لعشرين. وبالتالي هيبقى طول الضلع ﺟ د هو الجذر التربيعي لعشرين وحدة طول. فهنلاحظ من الإجابات إن طول الضلع أ ب بيساوي طول الضلع ﺟ د، وهمّ الاتنين ضلعين متقابلين.

بعد كده بنفس الطريقة هنوجد طول الضلع أ د. فهنعوّض بنفس القانون. فهيبقى عندنا أ د بيساوي الجذر التربيعي لأربعة ناقص خمسة الكل تربيع، زائد واحد ناقص تلاتة الكل تربيع. وبنفس الطريقة لمّا نحسب قيمة المقدار ده هيبقى بيساوي الجذر التربيعي لخمسة. وبالتالي هيبقى طول الضلع أ د يساوي الجذر التربيعي لخمسة وحدة طول. فيبقى إحنا كده أوجدنا طول الضلع أ د.

وآخِر ضلع عندنا هو الضلع ب ﺟ. فهنعوّض بنفس القانون علشان نوجد طول الضلع ب ﺟ. فبالتالي هيبقى ب ﺟ بيساوي الجذر التربيعي لصفر ناقص واحد الكل تربيع، زائد تلاتة ناقص خمسة الكل تربيع. فلمّا نحسب قيمة المقدار ده هيبقى بيساوي الجذر التربيعي لخمسة. فبالتالي هيبقى طول الضلع ب ﺟ هو الجذر التربيعي لخمسة وحدة طول.

ومن أطوال الأضلاع اللي إحنا أوجدناها؛ هنلاحظ عندنا … هنلاحظ إن الضلعين أ ب وَ ﺟ د متقابلين، وفي نفس الوقت ليهم الطول نفسه. وهنلاحظ برضو عندنا إن الضلعين أ د وَ ب ﺟ؛ همّ الاتنين ضلعين متقابلين، وليهم الطول نفسه. فلمّا نيجي نشوف السؤال اللي عندنا: «حدّد إذا ما كان الشكل الرباعي متوازي أضلاع». فبعد ما أوجدنا طول كل ضلع، لاحظنا إن كل ضلعين متقابلين متطابقين؛ يعني ليهم الطول نفسه. وبما إن كل ضلعين متقابلين متطابقان؛ إذن الشكل الرباعي متوازي أضلاع. لأن من خصائص متوازي الأضلاع … لأن من خصائص متوازي الأضلاع إن كل ضلعين متقابلين بيكونوا متطابقين؛ يعني ليهم الطول نفسه. وبالتالي هتبقى إجابة المطلوب الأول من السؤال، هي: متوازي أضلاع.

بعد كده هنشوف المطلوب التاني اللي عندنا في السؤال: حدِّد إذا ما كان الشكل الرباعي مستطيلًا عن طريق حساب طول قطرَيْه.

فبنفس الطريقة لو سمّينا الشكل الرباعي: أ ب ﺟ د. وهنكتب إحداثيات كل نقطة تحتها. فبنفس الطريقة عشان نحسب طول القطرين، يبقى نحسبهم برضو باستخدام قانون المسافة بين نقطتين. فلو فرضنا إننا هنوجد طول القطر الأول اللي هو أ ﺟ. فيبقى أ ﺟ بيساوي الجذر التربيعي لمجموع مربع فرق السينات، ومربع فرق الصادات. فيبقى النقطتين اللي هنوجد المسافة بينهم هي: النقطة أ، والنقطة ﺟ. فبالتالي هيبقى أ ﺟ يساوي الجذر التربيعي لمربع فرق السينات؛ يعني خمسة ناقص صفر الكل تربيع. زائد مربع فرق الصادات؛ واللي هو تلاتة ناقص تلاتة الكل تربيع. فلمّا نحسب قيمة المقدار ده هيبقى بيساوي خمسة. فبالتالي هيبقى طول القطر أ ﺟ هو خمس وحدات طول.

وبنفس الطريقة هنوجد طول القطر ب د. فيبقى برضو ب د بيساوي الجذر التربيعي لمجموع مربع فرق السينات، ومربع فرق الصادات. وفي الحالة دي هنستخدم النقطتين: ب، وَ د. فهيبقى ب د يساوي الجذر التربيعي لمربع فرق السينات؛ يعني واحد ناقص أربعة الكل تربيع. زائد مربع فرق الصادات؛ اللي هو خمسة ناقص واحد الكل تربيع. فلمّا نحسب قيمة المقدار ده هيبقى بيساوي خمسة. وبالتالي هيبقى طول القطر ب د يساوي خمس وحدات طول.

فمن الإجابات اللي طلّعناها هنلاحظ إن طول القطر أ ﺟ يساوي طول القطر ب د. فبالتالي هيبقى القطرين اللي عندنا متطابقين؛ يعني ليهم الطول نفسه. فبالتالي بما أن القطران متطابقان للشكل الرباعي اللي عندنا. فخلّينا في الأول نفتكر خصائص المستطيل. إن بيبقى عندنا في المستطيل كل ضلعين متقابلين متطابقين، وده أثبتناه في المطلوب اللي قبله. وفي نفس الوقت بيبقى عندنا من خصائص المستطيل إن بيبقى ليه قطران متطابقان، وينصّف كلّ منهما الآخَر. وبما إننا أوجدنا هنا طول القطرين، وطلعوا متطابقين. فبالتالي هيبقى بيحقَّق خصائص المستطيل. إذن الشكل الرباعي مستطيل. وهتبقى هي دي إجابة المطلوب التاني في السؤال.

وبكده يبقى جاوبنا على جميع مطاليب السؤال اللي عندنا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.