فيديو: إيجاد المعكوس الضربي لمدور مصفوفة معطاة

إذا كان ‪𝐴 = −2, −9, 8, 7‬‏، فأوجد ‪(𝐴^𝑇)⁻¹‬‏.

٠٤:٢٨

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كانت المصفوفة 𝐴 تساوي سالب اثنين، سالب تسعة، ثمانية، سبعة، فأوجد المعكوس الضربي لمدور المصفوفة 𝐴.

عند حل هذه المسألة، نلاحظ وجود رمزين هنا. لدينا 𝐴 مرفوعًا إلى 𝑇، ثم الكل داخل الأقواس مرفوعًا إلى سالب واحد. إذن، لدي هنا عنصران. لدينا مدور المصفوفة والمعكوس الضربي لها. وعلينا إيجادهما لحل المسألة. يمكننا البدء بمدور المصفوفة.

عند تدوير مصفوفة، يمكننا القول إنه بالنسبة لكل عنصر 𝑎𝑥𝑦 حيث 𝑥 هو رقم الصف و𝑦 هو رقم العمود. بالنسبة لكل عنصر في المصفوفة 𝐴، يوجد في المصفوفة المدورة 𝐴𝑇 عنصر 𝑎𝑥𝑦 مكافئ له، لكنه في الصف 𝑦 والعمود 𝑥. ما معنى هذا عمليًا؟

ما يعنيه هذا عمليًا أننا سنحول الصفوف إلى أعمدتها المناظرة. على سبيل المثال، سيتحول الصف الأول من المصفوفة إلى العمود الأول من مدور المصفوفة. إذا نظرنا إلى المصفوفة 𝐴، فما سنلاحظه فعليًا أن المصفوفة 𝐴 تساوي سالب اثنين، سالب تسعة، ثمانية، سبعة. الصف الأول هو سالب اثنين، سالب تسعة. حولنا ذلك بالفعل إلى العمود الأول من مدور المصفوفة. إذن سيصبح العمود الأول سالب اثنين، سالب تسعة.

وفعلنا الأمر نفسه مع الصف الثاني. الصف الثاني — ثمانية، سبعة — أصبح العمود الثاني من مدور المصفوفة، ثمانية، سبعة أيضًا ويقرأ من أعلى لأسفل. وبناء على ذلك، يمكن أن نقول إن 𝐴𝑇 يساوي سالب اثنين، ثمانية، سالب تسعة، سبعة. الآن سننظر إلى المعكوس الضربي للمصفوفة لنعرف كيف نوجده. أولًا، عند ضرب أي عدد في معكوسه الضربي تحصل على واحد، وإذا ضربت المصفوفة في معكوسها الضربي، تحصل على 𝐼 حيث 𝐼 يسمى مصفوفة الوحدة التي يمكن تمثيلها بالمصفوفة واحد، صفر، صفر، واحد.

حسنًا! أصبحنا الآن نعرف ذلك، ولكن كيف سنوجد المعكوس الضربي للمصفوفة؟ لدينا مصفوفة بالرتبة اثنين في اثنين. وتوجد صيغة خاصة تساعدنا في العثور على المعكوس الضربي لمصفوفة رتبتها اثنان في اثنين. وتنص هذه الصيغة على أنه إذا كان لدينا مصفوفة بالشكل 𝑎‏، 𝑏‏، 𝑐‏، 𝑑، فإن المعكوس الضربي للمصفوفة يساوي واحدًا على 𝑎𝑑 ناقص 𝑏𝑐، وهو محدد المصفوفة، مضروبًا في المصفوفة 𝑑، سالب 𝑏، سالب 𝑐 𝑎 حيث بدلنا قيمتي 𝑎 و𝑑 وأعطينا العنصرين 𝑏 و𝑐 إشارة سالب.

الآن لدينا هذه الصيغة. دعونا نستخدمها لإيجاد المعكوس الضربي لمدور المصفوفة 𝐴. مدور المصفوفة 𝐴 سيكون سالب اثنين، ثمانية، سالب تسعة، سبعة، إذن، المعكوس الضربي لهذا المدور سيساوي واحدًا على 𝑎 في 𝑑، أي سالب اثنين في سبعة، ثم 𝑏 في 𝑐، أي ثمانية في سالب تسعة. وكل ذلك مضروب في المصفوفة التي يكون العنصر الأول فيها سبعة لأنه 𝑑. والعنصر الثاني سيكون سالب ثمانية لأنه سالب 𝑏، أي سالب ثمانية.

ثم العنصر الثالث، العنصر الأيسر بالجزء السفلي، سيكون تسعة لأن العنصر 𝑐 في مدور المصفوفة هو سالب تسعة. وهذا سيكون سالب 𝑐، لأن سالب سالب تسعة يعطينا موجب تسعة. والعنصر الأخير سيكون سالب اثنين. حسنًا، هذا رائع! لنحسب. ذلك كله يساوي واحدًا على 58 مضروبًا في المصفوفة سبعة، سالب ثمانية، تسعة، سالب اثنين، والذي يعطينا المصفوفة سبعة على 58، سالب ثمانية على 58، تسعة على 58، سالب اثنين على 58. إذا بسطنا الكسور بالكامل، فيمكننا القول إنه إذا كانت المصفوفة 𝐴 تساوي سالب اثنين، سالب تسعة، ثمانية، سبعة، فإن المعكوس الضربي لمدور المصفوفة 𝐴 سيساوي سبعة على 58، سالب أربعة على 29، تسعة على 58، سالب واحد على 29.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.