نسخة الفيديو النصية
يتحرك جسم على طول المحور ﺱ تحت تأثير القوة ﻕ. إذا كان ﻕ يساوي اثنين على ﺱ نيوتن؛ حيث ﺱ متر هي الإزاحة من نقطة الأصل، فأوجد الشغل المبذول على الجسم بواسطة ﻕ عندما يتحرك الجسم من ﺱ يساوي اثنين إلى ﺱ يساوي ثلاثة. قرب إجابتك لأقرب منزلة عشرية.
نبدأ بتذكر أن الشغل المبذول بواسطة قوة مؤثرة على جسم عندما يتحرك في مسار يوازي القوة يعطى بواسطة ﺵ يساوي تكامل ﻕ بالنسبة إلى ﺱ؛ حيث ﺵ هو الشغل المبذول وﻕ هو مقدار القوة المؤثرة على الجسم. وفي هذا السؤال، نعرف أن القوة ﻕ تساوي اثنين على ﺱ نيوتن. هذا يعني أنه لإيجاد تعبير للشغل المبذول، علينا إيجاد تكامل اثنين على ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. وبما أن علينا حساب الشغل المبذول بين ﺱ يساوي اثنين وﺱ يساوي ثلاثة، فسنحصل على تكامل محدد حده السفلي اثنان وحده العلوي ثلاثة.
يمكننا إيجاد تكامل هذا التعبير بتذكر أحد التكاملات القياسية. تكامل واحد على ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ. وهذا يعني أن تكامل اثنين على ﺱ يعطينا اثنين مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ. وبما أن هذا تكامل محدد، فلن يوجد ثابت للتكامل. بعد ذلك، علينا التعويض بالحدين ثم إيجاد الفرق بين هاتين القيمتين. هذا يعطينا اثنين مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لثلاثة ناقص اثنين مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لاثنين.
يمكننا تبسيط هذا التعبير بتذكر بعض قوانين اللوغاريتمات. أولًا، ﻥ مضروبًا في لوغاريتم ﺱ للأساس ﺃ يساوي لوغاريتم ﺱ أس ﻥ للأساس ﺃ. هذا يعني أن التعبير سيبسط إلى اللوغاريتم الطبيعي لثلاثة تربيع ناقص اللوغاريتم الطبيعي لاثنين تربيع، مع ملاحظة أن اللوغاريتم الطبيعي هو لوغاريتم للأساس ﻫ. ثلاثة تربيع يساوي تسعة، واثنان تربيع يساوي أربعة. إذن، سيصبح التعبير الذي لدينا هو اللوغاريتم الطبيعي لتسعة ناقص اللوغاريتم الطبيعي لأربعة. وبما أن لوغاريتم ﺱ للأساس ﺃ ناقص لوغاريتم ﺹ للأساس ﺃ يساوي لوغاريتم ﺱ مقسومًا على ﺹ للأساس ﺃ، فيمكننا تبسيط التعبير مرة أخرى. إنه يساوي اللوغاريتم الطبيعي لتسعة على أربعة.
مطلوب منا تقريب الإجابة لأقرب منزلة عشرية. إذن بكتابة التعبير على الآلة الحاسبة، نحصل على ٠٫٨١٠٩ وهكذا مع توالي الأرقام، وهو ما يقرب لأسفل إلى ٠٫٨. يمكننا إذن استنتاج أن الشغل المبذول على الجسم بواسطة ﻕ عندما يتحرك الجسم من ﺱ يساوي اثنين إلى ﺱ يساوي ثلاثة، يساوي ٠٫٨ جول لأقرب منزلة عشرية.
