فيديو السؤال: تحليل نظام من أربع قوى تؤثر على قضيب أفقي يكافئ ازدواجًا الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

‏ﺃﺏ قضيب أفقي خفيف طوله ٦٠ سنتيمترًا، وهناك قوتان مقدار كل منهما ٤٥ نيوتن تؤثران عموديًّا على ﺃ وﺏ في اتجاهين متعاكسين. تؤثر قوتان أخريان مقدار كل منهما ١٢٠ نيوتن في اتجاهين متعاكسين على النقطتين ﺟ وﺩ على القضيب، حيث ﺟﺩ يساوي ٤٥ سنتيمترًا. إذا شكلتا ازدواجًا مكافئًا للازدواج الذي شكلته القوتان الأوليان، فأوجد قياس زاوية الميل التي تصنعها القوتان الأخريان مع القضيب.

بالنظر إلى الشكل، نعرف أن القوتين تؤثران على النقطتين ﺃ وﺏ، وهو ما يمكن أن نشير إليه بالرمز ﻕ واحد وسالب ﻕ واحد، مقدار كل منهما ٤٥ نيوتن وتشكلان ازدواجًا. بالمثل، فإن القوتين اللتين تؤثران على النقطتين ﺟ وﺩ، ما يمكن أن نشير إليه بالرمز ﻕ اثنين وسالب ﻕ اثنين، مقدار كل منهما ١٢٠ نيوتن وتشكلان ازدواجًا.

إذا رمزنا لعزم الازدواج الأول بالرمز ﺟ واحد ولعزم الازدواج الثاني بالرمز ﺟ اثنين، فإننا نعرف أن هذين الازدواجين متساويان، وأن مقدار كل منهما يساوي الآخر. بناء على هذه المعلومات، نريد إيجاد قياس زاوية الميل التي تصنعها القوتان الأخريان مع القضيب.

في الشكل، رمزنا لهذه الزاوية بالرمز 𝜃. لإيجاد 𝜃، يمكننا كتابة العزم الأول ﺟ واحد والعزم الثاني ﺟ اثنين ثم اعتبارهما مساويين أحدهما للآخر. بما أن ﻕ واحد تؤثر عموديًّا على القضيب الأفقي، فيمكننا كتابة أن ﺟ واحد يساوي مقدار ﻕ واحد مضروبًا في طول القطعة المستقيمة ﺃﺏ.

تخبرنا المعطيات أن طول القطعة المستقيمة ٦٠ سنتيمترًا. وعليه، فإن ﺟ واحد يساوي ٤٥ نيوتن في ٦٠ سنتيمترًا. وتكتب معادلة ﺟ اثنين بصيغة مماثلة، تتضمن مقدار ﻕ اثنين وطول القطعة المستقيمة ﺟﺩ. لكن ثمة حد إضافي أضفناه.

يضمن الحد جا 𝜃 أن يكون جزء ﻕ اثنين في هذا العزم عموديًّا على البعد الذي يفصل بين خطي العمل. نعلم من رأس المسألة أن البعد من ﺟ إلى ﺩ هو ٤٥ نيوتن. إذن، ﺟ اثنين يساوي ١٢٠ نيوتن في ٤٥ سنتيمترًا في جا 𝜃.

وبما أن العزم ﺟ واحد والعزم ﺟ اثنين متساويان، فيمكننا كتابة أن ٤٥ نيوتن في ٦٠ سنتيمترًا يساوي ١٢٠ نيوتن في ٤٥ سنتيمترًا في جيب الزاوية الذي نريد إيجاده، 𝜃.

بقسمة كلا طرفي المعادلة على ١٢٠ نيوتن في ٤٥ سنتيمترًا ثم أخذ الدالة العكسية للجيب لكلا الطرفين، نجد أن 𝜃 يساوي الدالة العكسية لجيب ٤٥ سنتيمترًا في ٦٠ سنتيمترًا على ١٢٠ نيوتن في ٤٥ سنتيمترًا.

عند إدخال تلك القيمة في الآلة الحاسبة، نجد أن قياس 𝜃 هو ٣٠ درجة. تلك هي زاوية الميل التي تصنعها القوتان الأخريان مع القطعة المستقيمة ﺟﺩ.