فيديو: الدوالّ الجذرية

شرح الصورة العامة للدوالّ الجذرية وحالات الجذر إذا كان فرديًّا أو زوجيًّا، وحل مثال لدالة جذرية والتمثيل البياني لها مع توضيح خصائصها المختلفة.

١٦:٤٧

‏نسخة الفيديو النصية

الدوالّ الجذرية.

في الفيديو ده هنتكلّم مع بعض عن الدوالّ الجذرية وخصائصها من خلال الرسم البياني ليها. خلّينا الأول كده مع بعض نشوف الصورة الرئيسية لهذه الدوالّ، بيكون شكلها إيه. الصورة الرئيسية عندنا للدوالّ الجذرية بتكون كالتالي: د س تساوي الجذر النوني لـ س، حيث أن ن عبارة عن عدد صحيح موجب، وبنسمّيه دليل الجذر. يبقى اللي إحنا شايفينها قدامنا هي الصورة الرئيسية للدوالّ الجذرية. ممكن يكون شكلها متغيّر بعد كده. مضاف ليها رقم. مضاف ليها عدد. مضاف ليها متغيّر. بس هي دي بالنسبة لنا الصورة الرئيسية للدوالّ الجذرية.

بنلاقي عندنا حالتين لـ ن ده. إحنا قلنا إن ن، اللي هو دليل الجذر، عبارة عن عدد صحيح موجب. بيكون عندنا ليه حالتين؛ أول حالة إنه يكون زوجي، وتاني حالة إنه يكون فردي. خلّينا نشوف الحالتين كده مع بعض. ونشوف إيه الاختلاف بينهم. وإزاي ده هيغيّر من خصائص الدالة، وكمان هيغيّر من شكلها في الرسم البياني. خلّينا مع بعض كده نشوف في صفحة جديدة.

زيّ ما إحنا شايفين كده قدامنا. بنلاقي عندنا إن ن بيكون زوجي، وممكن يكون فردي. خلّينا نفرّق كده ونشوف الفرق بين الحالتين. ونشوف كمان إزاي الرسمة بتاعة الدالة هتتغيّر. وكمان بنلاقي إن خصائص الدالة بتتغيّر لو كان ن زوجي أو فردي. لو كان ن عندنا زوجي، فبنلاقي إن الرسم البياني لدالة الجذر الرئيسية زيّ ما إحنا شايفين كده. ولو جينا نلاحظ، هنلاقي إنها مرسومة في الجزء الموجب فقط لقيم س الموجبة. ليه؟ لأن لو كان الجذر زوجي، فلازم ما تحت الجذر الزوجي يكون موجب. وبالتالي لازم قيم س تكون القيم الموجبة فقط.

لو جينا نشوف ولقينا إن ن فردي. بالتالي هنلاقي عندنا إن الرسم البياني لدالة الجذر الرئيسية، زيّ ما إحنا شايفين، مرسومة في الجزء الموجب، ومرسومة في الجزء السالب لقيم س الموجبة والسالبة. ليه؟ لأن عندنا لو كان الجذر فردي، فبنلاقي إن ما تحت الجذر يمكن أن يكون موجب، ويمكن أن يكون سالب. يبقى اللي إحنا عاوزين نطلع بيه مِ المعلومة دي، ناخد بالنا لمّا يكون ن زوجي، بيكون فيه قيود على المجال. لأن ما تحت الجذر الزوجي دائمًا وأبدًا لازم يكون موجب.

بعد كده خلّينا مع بعض نشوف خصائص دالة الجذر الرئيسية واحدة واحدة. سواء كان ن زوجي أو كان ن فردي. خلّينا مع بعض كده نطلّعها. أول خاصيتين هنتكلّم عنهم هم عبارة عن المجال والمدى.

لو كان عندنا ن زوجي، فبنلاحظ إن القيم اللي ينفع نعوّض بيها، يعني قيم المجال، هي عبارة عن القيم الموجبة فقط. فبنقول من هنا: إن المجال عبارة عن الفترة من صفر إلى ما لا نهاية، مغلقة عند الصفر ومفتوحة عند المالانهاية. لو جينا نشوف المدى. والمدى هو عبارة عن قيم الدالة اللي هتطلع لمّا نعوّض بالمجال. فبنلاقي عندنا هنا إن المدى هيكون عبارة عن قيم الصادات الموجبة. وبالتالي المدى برضو هيكون عبارة عن الفترة من صفر إلى ما لانهاية، مغلقة عند الصفر ومفتوحة عند المالانهاية.

لو جينا نشوف المجال والمدى في حالة إن ن فردي. فبنلاقي عندنا إن المجال عبارة عن كل قيم السينات؛ القيم الموجبة والقيم السالبة. وبنلاحظ برضو إن المدى عندنا عبارة عن كل قيم الصادات الموجبة والسالبة. وبكده بنقول: إن المجال والمدى هيكون عبارة عن الفترة من سالب ما لا نهاية إلى موجب ما لا نهاية. مفتوحة عند السالب ما لا نهاية، ومفتوحة عند المالانهاية الموجبة.

خلّينا مع بعض نشوف تاني خاصية هنتكلّم عنها. الخاصية اللي بعد كده هي نقاط التقاطع مع المحاور. لو جينا نشوف، هنلاقي إن في دالة الجذر الرئيسية لمّا يكون ن زوجي، بنلاحظ إن نقطة التقاطع مع المحاور هي النقطة صفر وصفر. زيّ ما إحنا شايفين كده. وهي عبارة عن نقطة الأصل. أمَّا لو كان ن فردي، فبنلاقي نقاط التقاطع مع المحاور برضو بتكون النقطة صفر وصفر. اللي هي عبارة عن نقطة الأصل.

خلّينا نتكلّم عَ الخاصية اللي بعد كده، وهي خاصية الاتصال. لو جينا نتكلّم عن خاصية الاتصال في حالة إن ن يكون زوجي. فبنلاحظ إن الدالة بتكون متصلة خلال الفترة من صفر إلى ما لا نهاية، مغلقة عند الصفر ومفتوحة عند المالانهاية، زيّ ما إحنا شايفين كده. بتكون متصلة خلال الفترة دي. أمَّا لو جينا نشوف اتصال الدالة عند ن يكون فردي. فبنلاحظ إن الدالة متصلة خلال الفترة المفتوحة من سالب ما لا نهاية إلى موجب ما لا نهاية.

الخاصية اللي هنتكلّم عنها بعد كده هي خاصية التماثُل. خلّينا نشوفها كده مع بعض. بنلاحظ عندنا لمّا ن يكون زوجي إن ما فيش تماثُل. لا يوجد تماثُل. يعني ما فيش تماثُل حول محور الصادات، ولا فيه تماثُل حول نقطة الأصل. أمَّا لو جينا نشوف في حالة إن ن يكون فردي، فبنلاقي عندنا إن التماثُل بيكون حول نقطة الأصل، زيّ ما إحنا شايفين كده. آدي نقطة الأصل، فيه تماثل حولها.

الخاصية اللي بعد كده اللي هنتكلّم عنها هي خاصية التزايد والتناقص. خلّينا نشوف كده. بنيجي ندرس التزايد عندنا لدالة الجذر الرئيسية في حالة إن ن يكون زوجي، فبنلاحظ عندنا إنها دالة تزايدية. فبنقول: التزايُد عندنا بيكون خلال الفترة المفتوحة من صفر إلى ما لا نهاية. وفي حالة إن ن يكون فردي، فبنلاقي عندنا إن التزايد بيكون خلال الفترة المفتوحة من سالب ما لا نهاية إلى موجب ما لا نهاية. يعني دائمًا وأبدًا بتكون الدالة تزايدية، زيّ ما إحنا شايفين في الحالتين، مع اختلاف فترة التزايد.

الخاصية اللي هنتكلّم عنها بعد كده هي القيم الصغرى والعظمى للدالة. خلّينا نشوف كده مع بعض. لو جينا نشوف دالة الجذر الرئيسية في حالة إن ن تكون زوجي، فبنلاحظ عندنا ما فيش غير نقطة واحدة. وهي عبارة عن قيمة صغرى مطلَقَة. وبنقول ساعتها: إن القيمة الصغرى المطلَقَة هنا هي عبارة عن صفر وصفر. لو جينا نشوف في حالة إن ن يكون فردي، فبنلاحظ عندنا من الرسمة إن ما فيش لا قيم عظمى ولا قيم صغرى. يبقى بنكتب كده قيم عظمى أو صغرى، بنلاقي إن ما فيش لا قيم عظمى ولا صغرى. إنما في حالة إن ن يكون زوجي، فبنلاحظ إن فيه قيمة صغرى مطلَقَة. وهي عبارة عن صفر وصفر، أو نقطة الأصل.

آخر خاصية هنتكلّم عنها، وهي عبارة عن سلوك طرفَي الدالة. خلّينا كده نشوفها مع بعض. لو جينا نشوف سلوك طرفَي الدالة في حالة إن ن يكون زوجي. فبنلاحظ عندنا إن نهاية د س لمّا س تئول إلى ما لا نهاية، إن النهاية بتكون ما لا نهاية. معنى كده إن بنلاحظ كل ما قيمة س بتقرَّب من المالانهاية، بنلاحظ إن قيمة الدالة هي كمان بتقرَّب من المالانهاية.

لو جينا نشوف سلوك طرفَي الدالة في حالة إن ن يكون فردي. فبنلاقي إن نهاية د س لمّا س بتئول إلى سالب ما لا نهاية عبارة عن سالب ما لا نهاية. وبرضو بنلاقي إن نهاية د س لمّا س بتئول إلى ما لا نهاية عبارة عن ما لا نهاية. معنى الكلام ده، لو جينا نشوف على الرسم، بنلاقي لمّا س بتقرَّب من المالانهاية، بنلاحظ إن قيمة الدالة بتقرَّب برضو من المالانهاية. وبنيجي نلاقي لمّا س بتقرَّب من سالب ما لا نهاية، بنلاحظ برضو إن قيمة الدالة بتقرَّب من سالب ما لا نهاية.

يبقى إحنا كده درسنا خصائص دالة الجذر الرئيسية في حالة إن ن يكون زوجي، وفي حالة إن ن يكون فردي. وشُفنا شكل الرسم البياني في الحالتين. وشُفنا الخصائص بتاعة كل حالة من الحالتين اللي إحنا اتكلّمنا عنهم دول. خلّينا مع بعض كده نشوف مثال على الدوالّ الجذرية. نفتح صفحة جديدة. ونشوف إزاي هنقدر نرسم الدالة، وإزاي هنقدر نوجد خصائصها من خلال الرسم البياني ده. نفتح مع بعض صفحة جديدة كده.

المثال بيقول: ارسم الدالة التالية، واوجد خصائصها: د س تساوي اتنين الجذر الرباعي لخمسة س أُس تلاتة.

طبعًا عشان نبدأ نرسم دالة زيّ دي، لازم نعمل جدول، ونبدأ نعوّض بقيم س المختلفة. ونوجد قيم الدالة عند قيم س المختلفة دي. بس ناخد بالنا من حاجة وإحنا بنعمل الجدول. لو جينا نشوف، بنلاحظ إنها دالة جذرية. وبنلاقي إن الدليل عندنا دليل الجذر، اللي هو ن، بأربعة، يعني زوجي. وبالتالي لازم ما تحت الجذر يكون موجب. بنلاقي عندنا إن ما تحت الجذر عبارة عن خمسة س أُس تلاتة. وبالتالي س أُس تلاتة، لو عوَّضنا عن س بقيم سالبة بنلاحظ إن القوى الثالثة لـ س دي هتفضل برضو محافظة على السالب، والسالب هيتواجد. وبالتالي ما ينفعش يكون فيه سالب تحت جذر زوجي. وإحنا عندنا الجذر بتاعنا عبارة عن جذر زوجي الدليل بتاعه بأربعة، يعني الجذر الرباعي. وبالتالي هنتجنّب أيّ قيمة سالبة لـ س؛ عشان ما تخلّيش تحت الجذر عدد سالب.

خلّينا نشوف الجدول هيكون شكله عبارة عن إيه كده. زيّ ما إحنا شايفين كده، عملنا جدول. قلنا: س عبارة عن صفر، واحد، واتنين، وتلاتة، وأربعة. عوَّضنا عن قيم س بالقيم دي. وشُفنا قيمة الدالة عند كل قيمة لـ س، زيّ ما إحنا شايفين كده. عوّضنا عن س بصفر، لقينا قيمة الدالة بصفر، وهكذا. لو جينا لاحظنا، عوّضنا بقيم س الموجبة فقط، زيّ ما قلنا؛ لأن الجذر عندنا جذر زوجي.

من خلال الجدول اللي قدامنا ده، دلوقتي نقدر نمثّل الدالة تمثيلًا بيانيًّا. خلّينا نشوف كده مع بعض. زيّ ما إحنا شايفين كده، بدأنا نعوّض عن س بصفر، لقينا إن قيمة د س بصفر. بدأنا نعوّض عن س بواحد، لقينا إن قيمة د س أو قيمة الدالة باتنين وتسعة وتسعين من مية. وبالتالي قدرنا نمثِّل الدالة تمثيلًا بيانيًّا، زيّ اللي إحنا شايفينه قدامنا ده.

بعد كده خلّينا نشوف خصائص الدالة اللي قدامنا؛ من مجال، ومدى، واتصال، ونقاط التقاطع مع المحاور، وسلوك طرفَي الدالة. خلّينا واحدة واحدة كده نبدأ نشوف الخصائص دي هتكون إيه. أول حاجة هنشوفها مع بعض هي المجال والمدى. لو جينا نشوف عندنا، هنلاقي إن قيم س الموجبة بس هي اللي ينفع نعوّض بيها، زيّ ما اتكلّمنا قبل كده وقلنا ليه. وبالتالي هنلاقي إن المجال عندنا، الفترة من صفر إلى ما لا نهاية مغلقة عند الصفر، مفتوحة عند المالانهاية. لو جينا نشوف من خلال الرسمة، هنلاقي إن فعلًا بنلاقي إن الـ س بتاخد القيم الموجبة فقط. وبالتالي المجال هيكون القيم الموجبة فقط، زيّ ما اتفقنا.

برضو لو جينا نشوف الدالة، بنلاحظ إن الدالة بتاخد القيم الموجبة فقط. وبالتالي المدى عندنا هيكون القيم الموجبة فقط برضو. زيّ ما إحنا شايفين كده، هنلاقي إن برضو المدى عبارة عن الفترة من صفر إلى ما لا نهاية، مغلقة عند الصفر، مفتوحة عند المالانهاية.

خلّينا نشوف الخاصية اللي بعد كده، وهي نقاط التقاطع مع المحاور. بنلاقي عندنا إن نقاط التقاطع مع المحاور هي النقطة صفر وصفر. وده اللي هنلاحظه على الرسم. بنلاحظ إن الدالة بتاعتنا بتتقاطع مع المحاور؛ محور س ومحور ص، في نقطة الأصل، وهي النقطة صفر وصفر. خلّينا نتكلّم بعد كده عن فترات التزايد والتناقص لهذه الدالة. لو جينا نشوف من خلال الرسم، بنلاحظ إن الدالة دائمًا وأبدًا تزايُدية؛ فبالتالي بنكتب كده: التزايد هيكون خلال الفترة المفتوحة من صفر إلى ما لا نهاية.

الخاصية اللي بعد كده اللي هنتكلّم عنها هي الاتصال. لو جينا نشوف خاصية الاتصال للدالة اللي قدامنا، فبنلاحظ إنها متصلة خلال الفترة من صفر إلى ما لا نهاية. مغلقة عند الصفر، مفتوحة عند المالانهاية، زيّ ما إحنا شايفين. وواضح كده في الرسمة اللي قدامنا.

آخر خاصية هنتكلّم عنها هي سلوك طرفَي الدالة. لو جينا نشوف سلوك طرفَي الدالة اللي قدامنا دي. فبنلاحظ عندنا إن كل ما س بتقرَّب من المالانهاية، بنلاحظ إن قيمة الدالة بتقرَّب من المالانهاية. وبالتالي بنلاقي إن سلوك طرفَي الدالة بيكون عبارة عن نهاية د س لمّا س تئول إلى ما لا نهاية، يساوي ما لا نهاية.

يبقى إحنا مع بعض في الفيديو ده، اتكلّمنا عن الدالة الرئيسية للدوالّ الجذرية. وهي إن د س تساوي الجذر النوني لـ س. وَ ن ده بيكون عدد صحيح موجب. وبنسمّيه دليل الجذر. وبيكون ليه حالتين؛ يا زوجي، يا فردي. وشُفنا الفرق بين الاتنين. شُفنا الفرق من خلال الرسم البياني، ومن خلال خصائص الدالة؛ لو كان ن زوجي، أو كان ن فردي. اتكلّمنا عن الفرق من خلال عدة خصائص. اتكلّمنا عن الفرق من خلال المجال والمدى. من خلال الاتصال. من خلال التزايُد والتناقُص. من خلال سلوك طرفَي الدالة.

بعد كده شُفنا المثال اللي قدامنا ده. وقدرنا نرسم الدالة باستخدام الجدول. بعد كده رسمنا الدالة بتاعتنا. وقدرنا نتعرَّف على خصائصها المختلفة من خلال الرسم.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.