فيديو الدرس: الانتقال في المستوى الإحداثي الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نطبق مفهوم الانتقال على نقطة أو شكل هندسي ونحدد إحداثيات الصورة بعد الانتقال على مستوى ﺱﺹ.

١٧:٠٤

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نطبق مفهوم الانتقال على نقطة أو شكل هندسي ونحدد إحداثيات الصورة بعد الانتقال على مستوى ﺱﺹ.

الانتقال هو نوع معين من التحويل الذي يحرك أو ينقل عنصرًا ما إلى موضع مختلف. يظل العنصر بالحجم نفسه وبالاتجاه نفسه. أي إنه يكون بالوضع نفسه. فالصورة تبدو مماثلة تمامًا للعنصر الأصلي، ولكنها في مكان مختلف فحسب.

نصف عمليات الانتقال عن طريق وصف المسافات الأفقية والرأسية التي يحتاج العنصر إلى أن يتحركها. على سبيل المثال، قد نصف الانتقال على أنه ١١ وحدة لليمين وخمس وحدات لأسفل. والمتعارف عليه هو أن نصف دائمًا الحركة الأفقية أولًا ثم الحركة الرأسية، بالطريقة نفسها التي نعطي فيها دائمًا قيمة ﺱ أولًا ثم قيمة ﺹ عند كتابة زوج من الإحداثيات.

في المثال الأول، سنرى كيف نصف بالكلمات انتقال نقطة وحيدة على شبكة إحداثيات.

يوضح التمثيل البياني التالي إحداثيات النقطة ﺃ وصورتها ﺃ شرطة بعد الانتقال. صف هذا الانتقال بالكلمات.

أول ما علينا أن نوضحه هو أي منهما النقطة الأصلية وأي منهما صورة النقطة بعد الانتقال. تخبرنا المعطيات الموجودة في السؤال أن النقطة ﺃ هي العنصر الأصلي، والنقطة ﺃ شرطة هي الصورة. وهذا هو المعتاد. نستخدم عادة رمز الشرطة لوصف صورة نقطة بعد انتقالها.

نعرف من ذلك أن النقطة ﺃ قد انتقلت. إذن، لوصف هذا الانتقال بالكلمات، كل ما علينا فعله هو إيجاد عدد الوحدات التي انتقلتها النقطة ﺃ في كل اتجاه. يمكننا ملاحظة أن النقطة ﺃ قد انتقلت إلى اليمين أولًا، ثم لأعلى. وبما أن المقياس المستخدم في كل محور هو مربع واحد لكل وحدة، فيمكننا ببساطة عد المربعات لتحديد عدد الوحدات التي انتقلها العنصر في كل اتجاه.

انتقلت النقطة ﺃ بمقدار ١٢ وحدة إلى اليمين وأربع وحدات لأعلى. تذكر أننا دائمًا نعبر عن الحركة الأفقية أولًا ثم الحركة الرأسية. إذن، يمكننا وصف هذا الانتقال بالكلمات على أنه انتقال بمقدار ١٢ وحدة لليمين وأربع وحدات لأعلى.

والآن، تجنبًا لوقوع أخطاء عند عد العديد من المربعات على تمثيل بياني مثل هذا، يمكننا أيضًا إيجاد الحل عن طريق طرح إحداثيات ﺃ من إحداثيات ﺃ شرطة. على سبيل المثال، لإيجاد عدد الوحدات التي تحركتها النقطة أفقيًا إلى اليمين، يمكننا طرح الإحداثي ﺱ للنقطة ﺃ من الإحداثي ﺱ للنقطة ﺃ شرطة، أي سبعة ناقص سالب خمسة، وهو ما يماثل سبعة زائد خمسة، وهذا يعطينا ١٢.

وبالطريقة نفسها، لحساب الحركة الرأسية، يمكننا طرح الإحداثي ﺹ للنقطة ﺃ من الإحداثي ﺹ للنقطة ﺃ شرطة، أي واحد ناقص سالب ثلاثة، وهو ما يساوي أربعة. إذن، إجابتنا على المسألة هي ١٢ وحدة لليمين وأربع وحدات لأعلى.

في المثال التالي، سنرى كيف يمكننا إيجاد صورة نقطة وحيدة بعد الانتقال.

انتقلت النقطة ثلاثة، خمسة بمقدار ثلاث وحدات لليمين وثلاث وحدات للأسفل. ما إحداثيات صورة النقطة؟

لا داعي الآن لرسم تمثيل بياني مفصل يتضمن شبكة إحداثيات لهذا السؤال، لكن يمكننا على الأقل أن نرسم مخططًا لما يحدث. نبدأ بالنقطة: ثلاثة، خمسة. وننقلها ثلاث وحدات إلى اليمين، ثم ثلاث وحدات إلى الأسفل، لنحصل على نقطة الصورة التي علينا إيجاد إحداثياتها. حسنًا، الانتقال بمقدار ثلاث وحدات إلى اليمين أولًا يعني أن الإحداثي ﺱ للنقطة سيزيد بمقدار ثلاثة. إذن، الإحداثي ﺱ الجديد لصورة النقطة سيكون الإحداثي ﺱ الأصلي؛ وهو ثلاثة، زائد ثلاثة.

الانتقال بمقدار ثلاث وحدات إلى الأسفل يعني أن الإحداثي ﺹ للنقطة، وهو خمسة في الأصل، سيقل بمقدار ثلاثة. إذن، الإحداثي ﺹ لصورة النقطة سيكون خمسة ناقص ثلاثة. هذا يعطينا إحداثيات صورة النقطة بعد هذا الانتقال على أنها: ستة، اثنان.

وبذلك، نكون قد رأينا كيف ننقل نقطة وحيدة. في المثال التالي، سنرى كيف نجري انتقالًا لشكل مرسوم على شبكة إحداثيات.

صف الانتقال من الشكل (أ) إلى الشكل (ب).

أولًا، دعونا نوضح أي شكل يمثل العنصر وأي منهما يمثل صورته. يحدث الانتقال من الشكل (أ) إلى الشكل (ب). إذن، الشكل (أ) هو العنصر، والشكل (ب) هو الصورة. يمكننا أن نرى بعد ذلك أن هذه الحركة ستكون في اتجاه اليسار أفقيًا ولأعلى رأسيًا. ولإيجاد عدد الوحدات التي انتقلها الشكل (أ) في كل اتجاه، يمكننا اختيار زاويتين أو رأسين متناظرين في الشكلين ثم عد عدد الوحدات التي تحركها.

إذا نظرنا أفقيًا، حيث تذكر أننا نصف دائمًا الحركة الأفقية أولًا، نرى أن الشكل (أ) قد انتقل بمقدار سبع وحدات إلى اليسار. الحركة الرأسية مقدارها وحدة واحدة لأعلى. إذن، يمكننا وصف الانتقال من الشكل (أ) إلى الشكل (ب) بالكلمات بأنه سبع وحدات إلى اليسار ووحدة واحدة إلى أعلى. ويمكننا أيضًا اختيار رأسين آخرين متناظرين في الشكلين للتحقق من إجابتنا إن أردنا.

في كل الأمثلة التي رأيناها حتى الآن، وصفنا كل عملية انتقال باستخدام الكلمات، على سبيل المثال: ثلاث وحدات إلى اليمين ووحدتين إلى الأعلى. وتوجد بالفعل طريقة رياضية مختصرة يمكننا استخدامها لوصف عمليات الانتقال. وتعرف في الرياضيات بمتجه العمود.

متجه العمود يشبه الإحداثي نوعًا ما، لكن بدلًا من أن تكون القيمتان متجاورتين، تكون إحداهما أعلى الأخرى. يصف العدد الأول الحركة الأفقية، أي عدد الوحدات التي انتقلها العنصر إلى اليمين. ويصف العدد الثاني الحركة الرأسية، أي عدد الوحدات التي انتقلها العنصر لأعلى.

إذن، في حالة المثال الذي لدينا، وهو: ثلاث وحدات لليمين، ووحدتين لأعلى، يمكننا وصف ذلك ببساطة باستخدام متجه العمود: ثلاثة، اثنين؛ للإشارة إلى انتقال بمقدار ثلاث وحدات إلى اليمين، ووحدتين لأعلى. إذا كان الأمر كذلك، فكيف سنصف انتقالًا بمقدار وحدتين إلى اليسار وست وحدات لأعلى؟ حسنًا، الجزء الرأسي يمكن إيجاده بطريقة مباشرة. لكن ماذا عن وحدتين إلى اليسار؟

قلنا في التعريف إن العدد الأول في متجه العمود يجب أن يكون عدد الوحدات إلى اليمين. حسنًا، يمكننا التفكير في الأمر هكذا. نقل وحدتين إلى اليسار هو نفسه نقل سالب وحدتين إلى اليمين. والمتعارف عليه هو أننا ننتقل إلى اليمين ليكون الانتقال في الاتجاه الموجب؛ لأن هذا هو الاتجاه الذي تزيد فيه القيم. أما إذا تحرك العنصر إلى اليسار، فيمكننا التعبير عن ذلك باستخدام قيمة سالبة. إذن، يمكن كتابة الانتقال بمقدار وحدتين إلى اليسار وست وحدات إلى أعلى باستخدام متجه العمود: سالب اثنين، ستة.

وبالطريقة نفسها، يمكننا أن نرى كيفية التعامل مع انتقال به الحركة الرأسية لأسفل، مثل الانتقال بمقدار خمس وحدات لليمين و١٠ وحدات لأسفل. الجزء الأفقي، وهو العدد الأول في متجه العمود، سيكون خمسة. ويمكننا أيضًا اعتبار أن الانتقال بمقدار ١٠ وحدات لأسفل هو انتقال بمقدار ١٠ وحدات سالبة لأعلى. إذن يمكننا كتابة العدد الثاني في متجه العمود باعتباره سالب ١٠. ومرة أخرى، من المهم أن نتذكر أن الانتقال إلى اليمين وإلى أعلى يعد انتقالًا موجبًا؛ لأن هذين هما الاتجاهان اللذان تزيد فيهما الأعداد.

أما إذا تحرك عنصر إلى اليسار أو إلى أسفل، فسنكتب هذا الجزء من متجه العمود باستخدام قيمة سالبة. قد نرى أيضًا متجهات العمود مكتوبة باستخدام أقواس مربعة. والمعنى هو نفسه تمامًا. في المثال الأخير، سنرى كيف يمكننا وصف انتقالات باستخدام رموز المتجهات.

انتقل الشكل (أ) إلى الشكل (ب) ثم إلى الشكل (ج). اكتب متجهًا لتمثيل الانتقال من الشكل (أ) إلى الشكل (ب). اكتب متجهًا لتمثيل الانتقال من الشكل (ب) إلى الشكل (ج). اكتب متجهًا لتمثيل الانتقال من الشكل (ج) إلى الشكل (أ).

نعلم أن الانتقال هو إزاحة عنصر ما أو تحركه من موضع إلى آخر. مطلوب منا في كل جزء من هذا السؤال وصف هذه الانتقالات باستخدام المتجهات. نتذكر أن الطريقة المعتادة عند كتابة هذا المتجه هي أن نكتب عدد الوحدات إلى اليمين أولًا، ثم عدد الوحدات لأعلى. فلننظر إلى الانتقال من الشكل (أ) إلى الشكل (ب) أولًا. وسنستخدم زاويتين أو رأسين متناظرين في الشكلين.

بالنظر إلى الحركة الأفقية أولًا وعد المربعات، يمكننا ملاحظة أن الشكل (أ) قد تحرك بمقدار خمس وحدات إلى اليسار. التحرك بمقدار خمس وحدات إلى اليسار هو نفسه التحرك بمقدار سالب خمس وحدات إلى اليمين. إذن، العدد الأول في متجه العمود الذي يصف الانتقال الأفقي هو سالب خمسة. أما رأسيًا، نرى أن الشكل (أ) قد انتقل بمقدار وحدتين لأسفل. والانتقال بمقدار وحدتين لأسفل يعادل الانتقال بمقدار سالب وحدتين لأعلى. إذن، يمكننا أن نكتب العدد الثاني في متجه العمود. المتجه الذي يمثل الانتقال من الشكل (أ) إلى الشكل (ب) هو متجه العمود: سالب خمسة، سالب اثنين. وتشير الإشارتان السالبتان إلى أن اتجاه الانتقال هو إلى اليسار وإلى أسفل.

والآن، لننظر إلى المتجه الذي يمثل الانتقال من الشكل (ب) إلى الشكل (ج). يمكننا استخدام رأسين متناظرين مختلفين هذه المرة إن أردنا. نلاحظ أن الاتجاه العام للحركة أو الانتقال من الشكل (ب) إلى الشكل (ج) هو إلى اليمين ثم إلى الأسفل. هذا يعني أننا نتوقع عددًا موجبًا بالنسبة للعدد الأول في متجه العمود، وعددًا سالبًا بالنسبة للعدد الثاني.

بالنظر إلى الحركة الأفقية أولًا، يمكننا أن نرى أن هذا الرأس يتحرك بمقدار ثلاث وحدات إلى اليمين. ولذا، يمكننا التعبير عن ذلك باستخدام موجب ثلاثة. وإذا نظرنا رأسيًا، فيمكننا أن نرى أن الشكل ينتقل بمقدار أربع وحدات لأسفل. إذن نعبر عن ذلك بسالب أربعة. تذكر أن الانتقال بمقدار سالب أربع وحدات إلى أعلى يعادل الانتقال بمقدار أربع وحدات إلى أسفل. إذن، المتجه الذي يمثل الانتقال من الشكل (ب) إلى الشكل (ج) هو متجه العمود: ثلاثة، سالب أربعة.

وأخيرًا، علينا كتابة المتجه الذي يمثل الانتقال من الشكل (ج) إلى الشكل (أ). وسنختار رأسين متناظرين آخرين لنستخدمهما هذه المرة. اتجاه الحركة هنا إلى اليمين ولأعلى. إذن، القيمتان في متجه العمود ستكونان موجبتين. إذا نظرنا إلى الوضع الأفقي أولًا، فسنرى أن الشكل (ج) ينتقل بمقدار وحدتين إلى اليمين. إذن، القيمة الأولى في متجه العمود هي اثنان. ثم بالنظر رأسيًا، نرى أن الشكل (ج) ينتقل بمقدار ست وحدات لأعلى. إذن المتجه الذي يمثل الانتقال من الشكل (ج) إلى الشكل (أ) هو متجه العمود: اثنان، ستة.

والآن، يمكننا ملاحظة شيء ما مثير للاهتمام هنا. وهي أنه يمكننا إيجاد المتجه الذي يصف الانتقال من الشكل (أ) إلى الشكل (ج) بجمع المتجه الذي يصف الانتقال من الشكل (أ) إلى الشكل (ب) مع المتجه الذي يصف الانتقال من الشكل (ب) إلى الشكل (ج). إذا فعلنا ذلك وجمعنا مركبتي المتجهين معًا، فسنجد أن المتجه الذي يمثل الانتقال من (أ) إلى (ج) هو: سالب اثنان، سالب ستة. وما يمكننا ملاحظته هو أنه يمثل سالب المتجه الذي يمثل الانتقال من (ج) إلى (أ).

والسبب وراء ذلك هو أن هذين الانتقالين على مسافتين متماثلتين تمامًا ولكن في اتجاه معاكس. للانتقال من الشكل (أ) إلى الشكل (ج)، ننقل العنصر إلى اليسار ثم لأسفل. بينما للانتقال من الشكل (ج) إلى الشكل (أ)، ننتقل إلى اليمين ثم لأعلى. وبذلك، يصبح لدينا الإجابات الثلاث لهذه المسألة. فالمتجهات الثلاثة هي: سالب خمسة، سالب اثنين؛ وثلاثة، سالب أربعة؛ واثنان، ستة.

لنراجع بعض النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. أولًا، الانتقال يمثل حركة عنصر أو نقله إلى موضع مختلف. ودائمًا ما يكون العنصر وصورته بنفس الحجم والشكل. فيمكننا القول إن كلًا منهما مطابق للآخر. ويكونان دائمًا بالاتجاه نفسه، وهو ما يعني أنهما بالوضع نفسه.

إحدى طرق وصف الانتقال هي استخدام الكلمات. على سبيل المثال، يمكننا وصف الانتقال الذي يمثل حركة عنصر إلى صورته على أنه انتقال بمقدار ثلاث وحدات إلى اليمين، ووحدتين إلى الأسفل. يمكننا أيضًا وصف الانتقال باستخدام متجهات العمود. نكتب عدد الوحدات التي تحركها العنصر أفقيًا إلى اليمين أولًا، ثم عدد الوحدات التي تحركها رأسيًا لأعلى ثانيًا. إذن، يمكن التعبير عن الانتقال بمقدار ثلاث وحدات إلى اليمين ووحدتين إلى الأسفل على أنه: ثلاثة، سالب اثنين.

من المهم أن نتذكر هنا أن الاتجاهين إلى اليمين وإلى أعلى يعتبران قيمتين موجبتين. ولذا، إذا كان الانتقال في اتجاه اليسار أو إلى الأسفل، فيمكن تمثيل ذلك في متجه عمود باستخدام قيمتين سالبتين.

باستخدام هذه المبادئ، يمكننا الآن إجراء انتقال للنقاط الوحيدة أو الأشكال الهندسية المرسومة على شبكات الإحداثيات. ويمكننا وصف الانتقال باستخدام إما الكلمات أو متجهات العمود.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.