نسخة الفيديو النصية
أوجد معادلة المماس للمنحنى ﺹ تربيع يساوي ﺱ أس أربعة عند النقطة سالب واحد، واحد.
في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد معادلة مماس المنحنى. لذا، سوف نبدأ بتذكر معادلة الخط المستقيم. بالنسبة إلى المستقيم الذي يمر بالنقطة ﺱ واحد، ﺹ واحد وميله ﻡ، فإن معادلته هي ﺹ ناقص ﺹ واحد يساوي ﻡ مضروبًا في ﺱ ناقص ﺱ واحد. نحن نعرف أن النقطة التي يمر بها المماس هي سالب واحد، واحد. لكن ما ميله؟ حسنًا، يمكننا إيجاد ميل المماس للمنحنى باشتقاق الدالة ثم إيجاد قيمتها عند النقطة سالب واحد، واحد.
لكن يجب أن نكون حذرين بشأن كيفية اشتقاق الدالة. فقد يكون من المغري أخذ الجذر التربيعي لطرفي هذه المعادلة، ليصبح لدينا ﺹ يساوي ﺱ تربيع. تكمن المشكلة في أننا إذا فعلنا ذلك، فسيكون علينا أخذ كل من الجذر التربيعي الموجب والسالب لـ ﺱ أس أربعة. لذا، بدلًا من ذلك، سنستخدم عملية تعرف باسم «الاشتقاق الضمني». عند إجراء الاشتقاق الضمني، فإننا نستخدم قاعدة السلسلة. ونقول هنا إن مشتقة دالة في ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي مشتقة هذه الدالة بالنسبة إلى ﺹ في ﺩﺹ على ﺩﺱ.
حسنًا، دعونا الآن نتناول المعادلة ﺹ تربيع يساوي ﺱ أس أربعة. إننا نريد اشتقاق طرفي هذه المعادلة بالنسبة إلى ﺱ. تنص قاعدة الاشتقاق الضمني على أن مشتقة ﺹ تربيع بالنسبة إلى ﺱ هي مشتقة ﺹ تربيع بالنسبة إلى ﺹ في ﺩﺹ على ﺩﺱ. وعند اشتقاق ﺹ تربيع، فإننا نضرب الحد بأكمله في اثنين ثم نطرح واحدًا من الأس. وبذلك، نحصل على اثنين ﺹ. نلاحظ هنا أن الطرف الأيمن به اثنين ﺹ في ﺩﺹ على ﺩﺱ.
ومشتقة ﺱ أس أربعة بالنسبة إلى ﺱ هي أربعة ﺱ تكعيب. مرة أخرى، نضرب الحد بأكمله في أربعة ثم نطرح واحدًا من هذا الأس للحصول على ثلاثة. إذا جعلنا بعد ذلك ﺩﺹ على ﺩﺱ هو المتغير التابع بقسمة الطرفين على اثنين ﺹ، فسنجد أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي أربعة ﺱ تكعيب على اثنين ﺹ. لقد أصبح لدينا الآن تعبير للمشتقة بدلالة ﺱ وﺹ.
لقد ذكرنا بالطبع أنه لإيجاد معادلة المماس، علينا أن نعرف ميل المماس. ويمكننا إيجاد الميل عن طريق إيجاد قيمة المشتقة عند النقطة التي تعنينا. هذه النقطة هي سالب واحد، واحد. وبالطبع سالب واحد، واحد هي النقطة التي الإحداثي ﺱ لها يساوي سالب واحد، والإحداثي ﺹ لها يساوي واحدًا. وبذلك، نجد أن قيمة المشتقة عند النقطة سالب واحد، واحد تساوي أربعة في سالب واحد تكعيب على اثنين في واحد. ونلاحظ أن الميل ﻡ يساوي سالب اثنين.
نحن نعلم الآن ميل المماس للمنحنى والنقطة التي يمر بها. دعونا إذن نعوض بالمعلومات الموجودة لدينا في معادلة الخط المستقيم. عندما نفعل ذلك، نحصل على ﺹ ناقص واحد يساوي سالب اثنين مضروبًا في ﺱ ناقص سالب واحد. ﺱ ناقص سالب واحد يساوي ﺱ زائد واحد. وبعد ذلك، نفك القوس في الطرف الأيسر بضرب كل حد في سالب اثنين. ومن ثم، نجد أن ﺹ ناقص واحد يساوي سالب اثنين ﺱ ناقص اثنين.
خطوتنا الأخيرة هي إعادة الترتيب بإضافة واحد إلى كلا الطرفين. وعندما نفعل ذلك، نجد أننا أوجدنا معادلة المماس للمنحنى عند النقطة سالب واحد، واحد. وهي ﺹ يساوي سالب اثنين ﺱ ناقص واحد.
