فيديو السؤال: تحويل الإحداثيات بين الصورتين الكارتيزية والقطبية الرياضيات

افترض أن النقطة ﺃ إحداثياتها الكارتيزية (−٤، ٧). احسب المسافة ﺭ بين هذه النقطة ونقطة الأصل. اكتب الإجابة بصورة دقيقة. أوجد قياس الزاوية 𝜃 التي تصنعها القطعة المستقيمة ﻭﺃ مع الجزء الموجب من المحور ﺱ، واكتب الإجابة بالراديان لأقرب منزلتين عشريتين. إذا أمكن التعبير عن النقطة ﺃ بالصورة القطبية (ﺭ، ‏𝜃)، فأي الخيارات التالية يعد أيضًا صورة قطبية منطقية للنقطة ﺃ؟ [أ] (ﺭ، 𝜃 − ٢‏𝜋‏) [ب] (ﺭ، 𝜃 − ‏𝜋‏) [ج] (−ﺭ، 𝜃 − ٢‏𝜋‏) [د] (ﺭ، 𝜃 + ٣‏𝜋‏) [هـ] (−ﺭ، 𝜃 +٢‏𝜋‏)

١٢:١٣

‏نسخة الفيديو النصية

افترض أن النقطة ﺃ إحداثياتها الكارتيزية سالب أربعة، سبعة. احسب المسافة ﺭ بين هذه النقطة ونقطة الأصل. اكتب الإجابة بصورة دقيقة. أوجد قياس الزاوية 𝜃 التي تصنعها القطعة المستقيمة ﻭﺃ مع الجزء الموجب من المحور ﺱ، واكتب الإجابة بالراديان لأقرب منزلتين عشريتين. إذا أمكن التعبير عن النقطة ﺃ بالصورة القطبية ﺭ، 𝜃؛ فأي الخيارات التالية يعد أيضًا صورة قطبية منطقية للنقطة ﺃ؟ الخيار (أ) ﺭ، 𝜃 ناقص اثنين ‏𝜋‏؛ أم الخيار (ب) ﺭ، 𝜃 ناقص ‏𝜋‏؛ أم الخيار (ج) سالب ﺭ، 𝜃 ناقص اثنين ‏𝜋‏؛ أم الخيار (د) ﺭ، 𝜃 زائد ثلاثة ‏𝜋‏؛ أم الخيار (هـ) سالب ﺭ، 𝜃 زائد اثنين ‏𝜋‏.

نعلم أن النقطة ﺃ إحداثياتها الكارتيزية هي سالب أربعة، سبعة. وهذا موضح في الشكل. علينا حساب المسافة بين النقطة ﺃ ونقطة الأصل. سنسمي هذه المسافة ﺭ. وعلينا كتابة الإجابة بصورة دقيقة. بعبارة أخرى، ﺭ هو طول القطعة المستقيمة ﻭﺃ. هناك عدة طرق مختلفة يمكننا استخدامها لإيجاد هذه القيمة. على سبيل المثال، يمكننا استخدام صيغة حساب المسافة بين نقطتين. لكن بما أن لدينا هذه النقاط في الشكل، فيمكننا إيجاد هذه القيمة أيضًا باستخدام نظرية فيثاغورس.

تذكر أن النقطة ﺃ تقع عند الإحداثيين سالب أربعة، سبعة. لذا، إذا أسقطنا مستقيمًا رأسيًا من النقطة ﺃ على المحور ﺱ، فسنحصل على هذا المثلث القائم الزاوية. نلاحظ أن ارتفاع هذا المثلث القائم الزاوية سيمثل الإحداثي ﺹ للنقطة ﺃ، وهو سبعة. ولإيجاد عرض هذا المثلث القائم الزاوية، نلاحظ أننا ننتقل من ﺱ يساوي صفرًا إلى ﺱ يساوي سالب أربعة. إذن، عرض هذا المثلث القائم الزاوية يساوي أربعة. أصبح لدينا الآن مثلث قائم الزاوية ارتفاعه يساوي سبعة وطول قاعدته يساوي أربعة. وعلينا إيجاد طول الوتر ﺭ.

يمكننا بالطبع فعل ذلك باستخدام نظرية فيثاغورس. تنص نظرية فيثاغورس على أن ﺭ تربيع يساوي أربعة تربيع زائد سبعة تربيع. ويمكننا حساب أربعة تربيع زائد سبعة تربيع لنحصل على ٦٥. يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة ﺭ من خلال حساب الجذر التربيعي لكل من طرفي هذه المعادلة. تذكر أن ﺭ يمثل الطول؛ ومن ثم لن يكون سالبًا. إذن، نحسب الجذر التربيعي الموجب. وبحساب الجذر التربيعي الموجب لطرفي هذه المعادلة، نحصل على ﺭ يساوي الجذر التربيعي لـ ٦٥. تذكر أن السؤال يطلب منا كتابة هذا الطول بصورة دقيقة. لذا، يمكننا ترك هذه الإجابة كما هي.

الجزء التالي من السؤال يطلب منا إيجاد قياس الزاوية 𝜃. علمنا من المعطيات أن هذه الزاوية هي الزاوية التي تصنعها القطعة المستقيمة ﻭﺃ مع الجزء الموجب من المحور ﺱ. وعلينا كتابة الإجابة بالراديان لأقرب منزلتين عشريتين. مرة أخرى، نلاحظ أن الزاوية 𝜃 موضحة في الشكل. هناك عدة طرق مختلفة لحساب قيمة 𝜃. في هذا الفيديو، سنتناول إحداها فقط.

انظر إلى الزاوية التالية. نلاحظ أن مجموع قياسي الزاوية التي حددناها للتو والزاوية 𝜃 معًا يساوي نصف دورة. وبالطبع، نعرف أن نصف دورة يساوي ‏𝜋‏ راديان. ومن ثم، نجمع قياسي هاتين الزاويتين معًا لنحصل على ‏𝜋‏. وإذا جمعنا قياسي هاتين الزاويتين معًا لنحصل على ‏𝜋‏، فلا بد أن قياس هذه الزاوية سيساوي ‏𝜋‏ ناقص 𝜃. لذا، بدلًا من إيجاد قياس الزاوية 𝜃 مباشرة، سنوجد قيمة هذه الزاوية، أي ‏𝜋‏ ناقص 𝜃. وللقيام بذلك، نلاحظ أنها زاوية في مثلث قائم الزاوية، ونحن نعرف طولي الضلعين المقابل والمجاور في هذا المثلث. إذن، يمكننا إيجاد قياس هذه الزاوية باستخدام حساب المثلثات.

علينا أن نتذكر أن ظل أي زاوية في مثلث قائم الزاوية يساوي طول الضلع المقابل لها مقسومًا على طول الضلع المجاور لها. إذن، باستخدام هذا المثلث القائم الزاوية والزاوية ‏𝜋‏ ناقص 𝜃، نحصل على ظا ‏𝜋‏ ناقص 𝜃 يساوي سبعة مقسومًا على أربعة. تذكر أننا نريد إيجاد قيمة 𝜃. إذن، علينا أن نأخذ الدالة العكسية للظل لطرفي هذه المعادلة. وبإجراء ذلك، نحصل على ‏𝜋‏ ناقص 𝜃 يساوي الدالة العكسية لـ ظا سبعة مقسومًا على أربعة.

وأخيرًا، كل ما علينا فعله هو إعادة ترتيب هذه المعادلة لكي نجعل 𝜃 متغيرًا تابعًا. سنضيف 𝜃 إلى طرفي هذه المعادلة، ثم نطرح الدالة العكسية للظل لسبعة على أربعة من طرفي المعادلة. وبذلك، نحصل على 𝜃 يساوي ‏𝜋‏ ناقص الدالة العكسية للظل لسبعة على أربعة. تذكر أنه علينا ضبط الآلة الحاسبة على وضع الراديان. وبتقريب الناتج لأقرب منزلتين عشريتين، نجد أن ‏𝜋‏ ناقص الدالة العكسية للظل لسبعة على أربعة يساوي ٢٫٠٩ تقريبًا. بذلك نكون قد توصلنا إلى أن قياس الزاوية 𝜃 التي تصنعها القطعة المستقيمة ﻭﺃ مع الجزء الموجب من المحور ﺱ يساوي ٢٫٠٩ لأقرب منزلتين عشريتين.

أصبح لدينا الآن بعض المعلومات عن النقطة ﺃ. علمنا أنه يمكن التعبير عن النقطة ﺃ بالصورة القطبية ﺭ، 𝜃. ولقد أوجدنا للتو قيمتي ﺭ و𝜃. وبالطبع، نعرف أن الصور القطبية لنقطة ما ليست وحيدة. علينا أن نحدد أي مما يلي يعد أيضًا صورة قطبية منطقية للنقطة ﺃ. أول ما نلاحظه هو أن الخيارات (أ) و(ب) و(د) جميعها تتضمن موجب ﺭ، بينما يتضمن الخياران (ج) و(هـ) سالب ﺭ. فلنبدأ إذن بتذكر ما يجعل إحداثيين قطبيين متساويين.

إحدى طرق جعل مجموعتين من الإحداثيات القطبية تمثلان النقطة نفسها هي أن تكون لهما قيمة ﺭ نفسها. ولكن، يكون لهما قيمتان مختلفتان لـ 𝜃 تمثلان الزاوية نفسها. ونحن نعرف كيف نفعل ذلك. على سبيل المثال، بدلًا من استخدام الزاوية 𝜃، يمكننا إجراء دورة كاملة حول المحور ﺱ، ثم دورة أخرى عند 𝜃. كما نعلم أن الدورة الكاملة الواحدة في عكس اتجاه عقارب الساعة من الجزء الموجب من المحور ﺱ تساوي اثنين ‏𝜋‏. إذن، هذه الزاوية ستساوي 𝜃 زائد اثنين ‏𝜋‏. وفي الواقع، يمكننا إجراء أي عدد من الدورات الكاملة حول هذا المحور، ثم نضيف الزاوية 𝜃. أو بدلًا من ذلك، يمكننا إجراء دورات كاملة في اتجاه عقارب الساعة.

نحن نعرف أن هذه الدورات ستمثلها زوايا سالبة. وهذا يعطينا العلاقة الأولى بين الإحداثيات القطبية. نعلم أن النقطة ﺭ واحد، 𝜃 واحد هي نفسها النقطة ﺭ واحد، 𝜃 واحد زائد اثنين ‏𝜋‏ﻥ لأي عدد صحيح ﻥ. يخبرنا هذا أنه يمكننا إجراء ﻥ من الدورات الكاملة في اتجاه عقارب الساعة أو عكس اتجاه عقارب الساعة قبل قياس الزاوية. ولن يغير ذلك قيمة الإحداثي القطبي. في هذا السؤال، الإحداثيات القطبية للنقطة ﺃ هي ﺭ، 𝜃. إذن، تغيير ﺭ واحد إلى ﺭ، و𝜃 واحد إلى 𝜃 يعطينا التعبير الرياضي الآتي.

نعلم أن ﺭ، 𝜃 يساوي ﺭ، 𝜃 زائد اثنين ‏𝜋‏ﻥ لأي عدد صحيح ﻥ. بعبارة أخرى، يمكننا جمع أي مضاعف صحيح زوجي من مضاعفات ‏𝜋‏ أو طرحه من الزاوية. وهذا لن يغير النقطة. يمكننا ملاحظة أن الخيار (أ) ينطبق عليه ذلك. حيث نطرح اثنين ‏𝜋‏ من الزاوية 𝜃. بعبارة أخرى، قيمة ﻥ تساوي سالب واحد، أو نجري دورة واحدة كاملة إضافية في اتجاه عقارب الساعة حول هذا المحور. نلاحظ أن الخيار (ب) لا ينطبق عليه ذلك. حيث علينا أن نجعل ﻥ يساوي سالب نصف. أو بدلًا من ذلك، نجري نصف دورة إضافية في اتجاه عقارب الساعة.

يمكننا أيضًا ملاحظة أن الخيار (د) لا يمكن أن يكون صحيحًا. ذلك لأن قيمة ﻥ لا بد أن تكون ثلاثة على اثنين. بعبارة أخرى، نجري دورة ونصف دورة إضافية في عكس اتجاه عقارب الساعة. وبالطبع، لا يمكننا استخدام هذه العلاقة لتحديد ما إذا كان الخيار (ج) أو الخيار (هـ) صحيحًا لأنهما يتضمنان سالب ﺭ باعتباره الإحداثي الأول.

ولتحديد ما إذا كان الخياران (ج) و(هـ) يمثلان النقطة ﺃ أم لا، هناك علاقة قطبية أخرى علينا استرجاعها. علينا أن نتذكر أن النقطة ﺭ، 𝜃 ستساوي النقطة سالب ﺭ، 𝜃 زائد اثنين ﻥ زائد واحد في ‏𝜋‏ لأي عدد صحيح ﻥ. وفي الحقيقة، يمكننا أن نفكر في ذلك بالطريقة نفسها التي استخدمناها من قبل. الإحداثي الأول هنا يساوي سالب ﺭ. وعندما تكون هذه القيمة سالبة، نستنتج أنه علينا توجيه القطعة المستقيمة ﻭﺃ إلى الاتجاه المعاكس. لكن نلاحظ أننا إذا أدرنا هذا المتجه بمقدار ‏𝜋‏ راديان في اتجاه عقارب الساعة أو عكس اتجاه عقارب الساعة، فسننتهي عند النقطة التي بدأنا منها. وكما فعلنا من قبل، فإن إجراء دورات كاملة في اتجاه عقارب الساعة أو عكس اتجاه عقارب الساعة لن يغير قيمة الإحداثي القطبي.

هذه المرة، عندما تكون قيمة ﺭ سالبة، أوضحنا أنه يمكنك جمع مضاعفات صحيحة فردية من مضاعفات ‏𝜋‏ مع قيمة 𝜃 أو طرحها منها. يمكننا الآن استخدام هذه العلاقة لتحديد ما إذا كان الخياران (ج) و(هـ) يمثلان النقطة ﺃ أم لا. في الخيار (ج)، نلاحظ أن قيمة ﺭ سالبة. لكننا نطرح مضاعفًا زوجيًا صحيحًا من مضاعفات ‏𝜋‏. إذن، الخيار (ج) لا يمثل النقطة نفسها. وبالمثل، نلاحظ في الخيار (هـ) أن قيمة ﺭ سالبة، ولكننا نضيف مضاعفًا زوجيًا صحيحًا من مضاعفات ‏𝜋‏. إذن، لا يمكن أن يكون الخيار (هـ) صحيحًا أيضًا. وفي الواقع، من بين هذه الخيارات الخمسة كلها، فإن الخيار (أ) فقط هو ما يماثل النقطة ﺃ.

وبذلك، إذا كانت الإحداثيات الكارتيزية للنقطة ﺃ هي سالب أربعة، سبعة، فقد تمكنا من توضيح أن المسافة بين النقطة ﺃ ونقطة الأصل، التي سميناها ﺭ، تساوي الجذر التربيعي لـ ٦٥. وقياس الزاوية التي تصنعها القطعة المستقيمة ﻭﺃ مع الجزء الموجب من المحور ﺱ، والتي سميناها 𝜃، يساوي ٢٫٠٩ راديان لأقرب منزلتين عشريتين. ومن بين الخيارات الخمسة الموضحة، وجدنا أن الخيار (أ) فقط، الذي يتضمن ﺭ، 𝜃 ناقص اثنين ‏𝜋‏، هو الذي له التمثيل نفسه بالإحداثيات القطبية للنقطة ﺃ.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.