فيديو: النموذج التجريبي الثاني • الإحصاء • ٢٠١٩ • السؤال الرابع

النموذج التجريبي الثاني • الإحصاء • ٢٠١٩ • السؤال الرابع

٠٧:٤٩

‏نسخة الفيديو النصية

افترض أن س متغيّر عشوائي متصل له دالة كثافة الاحتمال الآتية: د س تساوي س على تمنية؛ حيث س أكبر من أو تساوي صفر وأقل من أو تساوي أربعة. وَ د س تساوي صفر فيما عدا ذلك. أوجد … أ: ل س أكبر من اتنين. ب: ل س أكبر من واحد وأقل من تلاتة.

يعني معطى عندنا إن س هو متغيّر عشوائي متصل. والمتغير العشوائي المتصل هو المتغيّر العشوائي اللي بيكون مداه فترة مفتوحة أو فترة مغلقة. ومُعطى أيضًا إن المتغيّر العشوائي س له دالة كثافة احتمال. وهي الدالة الحقيقية د اللي بيكون مداها غير سالب، وبنقدر من خلالها نوجد احتمالات الأحداث المعبرة عنها.

بعد كده هنبدأ نشوف الدالة اللي عندنا، فهنلاحظ إن عندنا د س بتساوي س على تمنية؛ حيث س أكبر من أو تساوي صفر وأقل من أو تساوي أربعة. فهنبدأ نمثّل الدالة دي بيانيًّا، وهنلاحظ إن الدالة اللي عندنا هي دالة خطية، فهنحتاج على الأقل نقطتين عشان نقدر نرسم الدالة. فممكن نوجد نقطة عند بداية الفترة، ونقطة عند نهاية الفترة.

وهنبدأ في الأول نوجد قيمة د س عند س بتساوي صفر. يعني عايزين نوجد د صفر. فبالتالي هنعوّض في قاعدة الدالة هنا عن س بصفر. فهتبقى د س بتساوي صفر على تمنية واللي بتساوي صفر. وبنفس الطريقة هنعوّض عن س بأربعة؛ عشان نوجد د أربعة. فبالتالي هنعوّض في قاعدة الدالة هنا عن س بأربعة، فهتبقى د أربعة بتساوي أربعة على تمنية. فبالتالي هيبقى النقطتين اللي عندنا صفر وصفر، وأربعة وأربعة على تمنية. فهنبدأ نمثّل النقطتين دول بيانيًّا. فهنلاحظ إن أول نقطة عندنا اللي هي صفر وصفر، فهتبقى النقطة بتقع هنا. وأما النقطة التانية اللي هي أربعة وأربعة على تمنية، فعند س بتساوي أربعة هتبقى د س بتساوي أربعة على تمنية. فبالتالي هتبقى النقطة بتقع هنا.

بعد كده هنوصَّل النقطتين ببعض، فهيبقى هو ده شكل الدالة اللي عندنا في الفترة المغلقة من صفر إلى أربعة. وهنلاحظ إن هي على شكل قطعة مستقيمة؛ لأن الدالة اللي عندنا هي دالة خطية. بعد كده معطى عندنا إن د س بتساوي صفر فيما عدا ذلك. فمعنى كده إن د س بتساوي صفر عند أي نقطة، ما عدا النقط اللي بتقع في الفترة دي.

وبكده يبقى إحنا مثّلنا دالة كثافة الاحتمال بيانيًّا. بعد كده هنبدأ نشوف المطاليب اللي عندنا في السؤال، وهنبدأ بالمطلوب أ اللي هو أوجد ل س أكبر من اتنين.

لكن في الأول خلينا نعرف إن الدالة علشان تسمى دالة كثافة احتمالية، لازم تحقق شرطين. وأول شرط هو إن منحنى الدالة د يقع فوق محور السينات. يعني لازم تكون د س أكبر من أو تساوي صفر لجميع قيم س اللي بتنتمي لمجال الدالة. وأما الشرط التاني فهو إن مساحة المنطقة أسفل منحنى الدالة د وفوق محور السينات، لازم تكون بتساوي واحد. فمعنى كده إننا نقدر نستخدم الدالة عشان نوجد قيمة الاحتمالات اللي عندنا هنا؛ وده لأن بتكون قيمة الاحتمال بتساوي مساحة المنطقة الواقعة تحت المنحنى وفوق محور السينات في الفترة المعطاة عندنا في السؤال.

فلما نيجي نشوف المطلوب أ اللي هو أوجد ل س أكبر من اتنين. فأول حاجة هنحتاج نعملها إننا نوجد قيمة د س عند س بتساوي اتنين. يعني عايزين نوجد د اتنين. وبما إن اتنين بتقع في الفترة المغلقة من صفر إلى أربعة. فبالتالي هنستخدم قاعدة الدالة دي. يعني هنعوّض عن س باتنين، فهتبقى د اتنين بتساوي اتنين على تمنية. فمعنى كده إن عند س بتساوي اتنين هتبقى د س بتساوي اتنين على تمنية، اللي هي النقطة دي. فبالتالي عشان نقدر نوجد ل س أكبر من اتنين، يبقى عايزين نوجد مساحة المنطقة المظللة دي؛ وده لأن د س بتساوي صفر عند أي نقطة ما عدا النقط اللي بتقع في الفترة دي.

فبالتالي هتبقى قيمة ل س أكبر من اتنين، هي نفس قيمة ل س أكبر من اتنين وأقل من أربعة؛ وده لأن قيمة د س عند أي نقطة بعد س تساوي أربعة، هتبقى قيمتها صفر. يبقى عشان نوجد قيمة الاحتمال ده، عايزين نوجد مساحة المنطقة المظللة. فهنلاحظ إن المنطقة المظلَّلة عندنا هنا على شكل شبه منحرف. فبالتالي عشان نوجد مساحة شبه المنحرف، محتاجين في الأول نعرف إن مساحة شبه المنحرف بتساوي نص في مجموع طولي القاعدتين المتوازيتين في الارتفاع. فلما نشوف شكل شبه المنحرف اللي عندنا، هنلاحظ إن همّ دول القاعدتين المتوازيتين. وهنلاحظ إن هو ده ارتفاع شبه المنحرف. فبالتالي هتبقى مساحة المنطقة المظلَّلة بتساوي نص في مجموع طولي القاعدتين اللي عندنا. فهنبدأ الأول نوجد طول القاعدة دي، واللي هنلاحظ إن هيبقى طولها هنا هو قيمة د أربعة؛ يعني هيبقى طولها هو أربعة على تمنية. زائد طول القاعدة الموازية ليها اللي هي القاعدة دي، واللي هنلاحظ إن طولها هو عبارة عن قيمة د اتنين؛ يعني طولها اتنين على تمنية. فهيبقى عندنا نص في أربعة على تمنية زائد اتنين على تمنية، في الارتفاع. واللي هنلاحظ إن الارتفاع عندنا من س تساوي اتنين إلى س تساوي أربعة؛ يعني هيبقى الارتفاع هو اتنين.

بعد كده لما نحسب قيمة المقدار ده هيبقى بيساوي ستة على تمنية. ونقدر نبسط الكسر، فهيبقى بيساوي تلاتة على أربعة. وبالتالي هتبقى ل س أكبر من اتنين بتساوي تلاتة على أربعة. وهتبقى هي دي إجابة المطلوب أ في السؤال.

بعد كده هنبدأ نشوف المطلوب ب، واللي هو أوجد ل س أكبر من واحد وأقل من تلاتة. فبنفس الطريقة هيبقى أول حاجة عايزين نعملها إننا نوجد قيمة د واحد وَ د تلاتة. بما إن واحد وتلاتة بيقعوا في الفترة المغلقة من صفر إلى أربعة. فبالتالي عشان نوجد قيمتهم، يبقى هنعوّض في قاعدة الدالة اللي عندنا اللي هي س على تمنية. فهنبدأ نوجد د واحد؛ يعني هنعوّض عن س بواحد، فهتبقى د واحد بتساوي واحد على تمنية. وبنفس الطريقة هنوجد د تلاتة؛ يعني هنعوّض هنا عن س بتلاتة. فهتبقى د تلاتة بتساوي تلاتة على تمنية.

بعد كده زي ما عرفنا إن قيمة الاحتمال بتساوي مساحة المنطقة الواقعة تحت المنحنى وفوق محور السينات، في الفترة المعطاة عندنا في السؤال. يعني في الحالة دي هتبقى الفترة المفتوحة من واحد إلى تلاتة. يعني معنى كده إن هتبقى ل س أكبر من واحد وأقل من تلاتة، بتساوي مساحة المنطقة المظللة دي. واللي هنلاحظ برضو إن المنطقة دي على شكل شبه منحرف. وزي ما عرفنا إن مساحة شبه المنحرف بتساوي نص في مجموع طولي القاعدتين المتوازيتين في الارتفاع. فهنلاحظ إن همّ دول القاعدتين المتوازيتين. وهيبقى هو ده الارتفاع. يعني هتبقى المساحة بتساوي نص في … وهنبدأ نوجد طول القاعدة دي واللي هيبقى عبارة عن قيمة د تلاتة، اللي هو تلاتة على تمنية. وأما القاعدة الأخرى اللي هي دي، فهيبقى طول القاعدة هو عبارة عن قيمة د واحد، اللي هو واحد على تمنية. فهتبقى مساحة شبه المنحرف بتساوي نص في تلاتة على تمنية زائد واحد على تمنية، في الارتفاع. والارتفاع عندنا هنلاحظ إن هو من س بتساوي واحد إلى س بتساوي تلاتة. يعني هيبقى الارتفاع بيساوي اتنين.

بعد كده هنحسب قيمة المقدار ده. فهيبقى بيساوي أربعة على تمنية، ونقدر نبسط الكسر فهيبقى بيساوي واحد على اتنين. وبالتالي هتبقى ل س أكبر من واحد وأقل من تلاتة بتساوي واحد على اتنين. وهتبقى هي دي إجابة المطلوب ب في السؤال. وبكده يبقى إحنا جاوبنا على جميع مطاليب السؤال.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.