فيديو: تمثيل الدوالّ النسبية بيانيًا

يوضح الفيديو كيفية تمثيل الدوالّ النسبية بيانيًّا باستخدام أصفار الدالة والخطوط التقاربية لها مع حل أمثلة توضيحية.

١٥:٣١

‏نسخة الفيديو النصية

تمثيل الدوالّ النسبية بيانيًّا.

في الفيديو ده هنتكلّم مع بعض عن تمثيل الدوالّ النسبية بيانيًّا، وعن الخطوط التقاربية اللي بتسهّل لنا تمثيل الدوالّ النسبية دي بيانيًّا. بس خلّينا الأول كده مع بعض نفتكر الصورة العامّة للدوالّ النسبية. الدوالّ النسبية بتكون على الصورة: د س تساوي أ س على ب س، حيث أ س وَ ب س كثيرتا حدود، وَ ب س لا تساوي صفر.

بعد ما راجعنا مع بعض الصورة العامّة للدوالّ النسبية، خلّونا نشوف إزاي هنقدر نمثّل الدوالّ النسبية تمثيلًا بيانيًّا. لتمثيل الدوالّ النسبية بيانيًّا، يجب تحديد أصفار الدالة وخطوط التقارب لها. يبقى إحنا محتاجين أصفار الدالة وخطوط التقارب. أول حاجة خلّينا نعرف إزاي نقدر نحدّد أصفار الدالة النسبية. أصفار الدالة النسبية هي قيم س التي عندها أ س تساوي صفر. يعني هي قيم س اللي عندها بسط الدالة النسبية يساوي صفر.

بعد كده، خلّينا نشوف في صفحة جديدة مع بعض إزاي نقدر نحدّد الخطوط التقاربية للدالة النسبية. خلّينا نشوف كده مع بعض في صفحة جديدة. لو جينا نشوف إزاي بنقدر نحدّد الخطوط التقاربية الأفقية والرأسية للدالة النسبية. بنقول: إذا كانت د س تساوي أ س على ب س، حيث ب س لا تساوي صفر، كانت دالة نسبية. وكان أ س وَ ب س كثيرتا حدود، لا يوجد بينهما عوامل مشتركة غير الموجب والسالب واحد. فإن للدالة: أول حاجة بنلاقي إن للدالة خطوط تقاربية رأسية عند أصفار ب س ب س. وهي مقام الدالة النسبية. وبالتالي بنشوف أصفار المقام، بنلاقي إن فيه خطوط تقاربية رأسية للدالة النسبية عندها.

تاني حاجة، لو جينا نشوف الخطوط التقاربية الأفقية للدالة النسبية، بنلاقي إن فيه خطّ تقاربي أفقي واحد على الأكثر. يبقى ما ينفعش يكون فيه أكتر من خطّ تقاربي أفقي واحد لأيّ دالة نسبية. بنلاقي عندنا لو كانت درجة أ س أقل من درجة ب س، يعني درجة البسط أقل من درجة المقام، فبيكون ص يساوي صفر خطّ تقاربي أفقي. يبقى لو درجة البسط أكبر من درجة المقام، معادلة الخطّ التقاربي الأفقي: ص تساوي صفر. أمّا لو كانت درجة أ س تساوي درجة ب س، فإن خطّ التقارب الأفقي هو المستقيم، معادلته هي: ص تساوي المعامل الرئيسي لـ أ س على المعامل الرئيسي لـ ب س. المعامل الرئيسي لـ أ س عندنا هو معامل أكبر قوى لدالة البسط. والمعامل الرئيسي لـ ب س هو معامل أكبر قوى لدالة المقام.

آخر حاجة هنقولها في الخطوط التقاربية: لو كانت درجة البسط أكبر من درجة المقام. خلّينا نشوفها مع بعض كده في صفحة جديدة. آخر حاجة عندنا في الخطوط التقاربية: إذا كانت درجة أ س أكبر من درجة ب س، فلا يوجد خطّ تقاربي أفقي للدالة النسبية.

لو جينا نجمّع اللي عرفناه لحدّ دلوقتي. عرفنا الصورة العامّة للدوالّ النسبية. عرفنا إننا محتاجين أصفار الدالة والخطوط التقاربية؛ عشان نقدر نمثّل الدالة النسبية تمثيلًا بيانيًّا. وشُفنا إزاي نقدر نجيب أصفار الدالة، وإزاي نقدر نحدّد الخطوط التقاربية.

خلّينا نشوف بعد كده مع بعض، خطوات التمثيل البياني للدوالّ النسبية. هنفتح مع بعض صفحة جديدة. لو جينا نشوف خطوات التمثيل البياني للدوالّ النسبية؛ أول حاجة تحديد المجال. بعد كده تحديد ورسم الخطوط التقاربية إن وُجدت. تالت حاجة تحديد تقاطعات الدالة مع المحاور، يعني مع محور السينات ومع محور الصادات. بعد كده تقسيم محور السينات إلى فترات باستخدام تقاطعات الدالة مع محور السينات والخطوط التقاربية الرأسية. ناخد بالنا إن الفترات اللي بيتمّ تقسيم ليها محور السينات دي هي الفترات اللي الدالة النسبية بتاعتنا بيتمّ تغيير إشارتها فيها. وبيحصل التغيير ده فين؟ بيحصل عند أصفار الدالة النسبية، وعند قيم س اللي عندها الدالة غير معرَّفة. يعني بيحصل عند أصفار البسط وأصفار المقام.

طب بعد ما قسّمنا محور السينات لفترات، هنستفيد إيه بموضوع الفترات ده؟ خلّينا نشوف خطوة رقم خمسة كده. خطوة رقم خمسة مع خطوة رقم أربعة مهمِّين جدًّا. خطوة رقم خمسة بتقول: نوجِد نقطة واحدة على الأقل داخل كل فترة، ثم تحديدها بيانيًّا ورسم الدالة. طب إزاي هنقدر نستفيد من خطوة رقم أربعة وخطوة رقم خمسة مع بعض؟ شُفنا في خطوة رقم أربعة إن إحنا هنقسّم محور السينات لفترات. وفي خطوة رقم خمسة، هنبدأ نختار قيمة للـ س من كل فترة، ونبدأ نعوّض بيها في الدالة، ونشوف الدالة هتطلع موجبة ولّا سالبة. الدالة لو طلعت موجبة يبقى الجزء اللي هنرسمه من الدالة خلال الفترة دي هيبقى فوق محور السينات؛ لأن الدالة موجبة. ولو قيمة الدالة طلعت سالبة، يبقى الجزء اللي هنرسمه خلال الفترة دي هيكون تحت محور السينات؛ عشان الدالة سالبة. طبعًا لمّا هنيجي نحلّ مثال، الخطّوات دي هتوضح أكتر.

بس خلّينا آخر حاجة نشوف إزاي نقدر نوجد تقاطعات الدالة مع المحاور في صفحة جديدة كده مع بعض. تقاطعات الدوالّ مع المحاور أيًّا كانت بقى، دوالّ نسبية، أو دوال كثيرة حدود، أو أيًّا كانت الدوالّ نوعها إيه. فبنقول: التقاطع مع محور السينات عبارة عن أصفار الدالة. والتقاطع مع محور الصادات قيمة الدالة د س عند س تساوي صفر. خلّونا مع بعض بقى نشوف مثال؛ عشان نقدر نطبَّق كل اللي قلناه ده عليه. ونقدر نرسم فعلًا دالة نسبية.

نفتح صفحة جديدة مع بعض. المثال بيقول: حدّد الخطوط التقاربية الأفقية والرأسية ونقاط تقاطع الدالة التالية، مع المحاور ومجالها، ثم ارسمها.

الدالة هي د س تساوي ستة على، س زائد تلاتة. زيّ ما إحنا شايفين هي دالة نسبية؛ لأن عندنا البسط والمقام عبارة عن كثيرتا حدود. أول حاجة هنعملها إن إحنا نوجد مجال الدالة النسبية اللي قدامنا. بس قبل ما نبدأ نشوف المجال، لازم نوجد أصفار المقام بتاعتنا؛ لأن هي دي القيم المستثناة من المجال. خلّينا نشوف كده أول حاجة أصفار المقام. أصفار المقام عندنا … بنساوي المقام بالصفر. يبقى س زائد تلاتة تساوي صفر. بنطرح من الطرفين تلاتة. وبكده بنلاقي إن أصفار المقام س تساوي سالب تلاتة. خلّينا نشوف مجال الدالة بعد كده. مجال الدالة هيكون جميع قيم س الحقيقية ما عدا س تساوي سالب تلاتة.

الخطوة اللي بعد كده، خلّينا نشوف الخطوط التقاربية للدالة. لو جينا نشوف الخطوط التقاربية للدالة اللي قدامنا، بنلاحظ إن فيه خطّ تقاربي رأسي عند س تساوي تلاتة، وهي أصفار المقام. وبكده بنقول: فيه خطّ تقاربي رأسي معادلته: س تساوي سالب تلاتة. لو جينا نشوف الخطّ التقاربي الأفقي للدالة اللي قدامنا، طبعًا قلنا: ما عندناش أكتر من خطّ تقاربي أفقي واحد. بنلاقي عندنا إن الخطّ التقاربي الأفقي معادلته ص تساوي صفر؛ حيث درجة البسط أقل من درجة المقام، زيّ ما إحنا شايفين كده. لو جينا نشوف درجة البسط عندنا، بنلاقي إن البسط عندنا عبارة عن ستة. وهو كده كثيرة حدود من الدرجة الصفرية. وبنلاقي عندنا إن المقام كثيرة حدود من الدرجة الأولى. فبنقول: إن درجة البسط أقلّ من درجة المقام. وبكده بنلاقي إن الخطّ التقاربي الأفقي عبارة عن ص تساوي صفر.

الخطوة اللي بعد كده، إن إحنا هنوجد نقاط التقاطع مع المحاور. خلّينا نشوف كده مع بعض في صفحة جديدة. الدالة عندنا د س تساوي ستة على، س زائد تلاتة. ودلوقتي هنشوف نقاط التقاطع مع المحاور ليها. بنلاقي عندنا أول حاجة التقاطع مع محور السينات: لا يوجد. حيث أن البسط لا يوجد له أصفار، زيّ ما إحنا شايفين كده. البسط عندنا عبارة عن ستة. وبالتالي ما فيش أصفار للبسط، فلا يوجد تقاطع مع محور السينات. لو جينا نشوف التقاطع مع محور الصادات، طبعًا بنعوّض عن س بصفر في الدالة بتاعتنا. يبقى د صفر تساوي ستة على، صفر زائد تلاتة. وبكده بنلاقي عندنا إن قيمة الدالة عند س تساوي صفر باتنين. وبكده بنلاقي إن نقطة التقاطع هي عبارة عن صفر واتنين. يبقى التقاطع مع محور السينات في النقطة صفر واتنين.

الخطوة اللي بعد كده، إن إحنا هنقسّم محور السينات لفترات. خلّينا نشوف مع بعض كده. هنقسّم محور السينات عندنا لفترات. وإحنا بنحتاج حاجتين، عشان نبدأ نقسمه؛ بنحتاج خطوط التقارب الرأسية، وبنحتاج تقاطع الدالة مع محور السينات. فبنلاقي عندنا إن فيه خطّ تقاربي رأسي عند س تساوي سالب تلاتة. فجينا كده على محور السينات، وحطّينا س تساوي سالب تلاتة. وبنلاقي إن ما فيش تقاطع مع محور السينات. يبقى عندنا سالب تلاتة بس. وبكده بنلاقي إن محور السينات اتقسّم إلى فترتين؛ فترة بعد السالب تلاتة، وفترة قبل السالب تلاتة.

الخطوة اللي بعد كده، إن إحنا بناخد قيمة على الأقل من كل فترة، ونبدأ نعوّض بيها في الدالة بتاعتنا. فإحنا هنختار من هنا سالب اتنين، وهنختار اتنين. والفترة اللي قبل السالب تلاتة، هنختار سالب ستة، وهنختار سالب تمنية. بعد كده هنبدأ نعوّض بالقيم دي داخل الدالة بتاعتنا. فهنفتح صفحة جديدة كده، ونعمل جدول، ونشوف لمّا نعوّض بقيم س دي قيم الدالة هتكون إيه. نفتح صفحة جديدة كده مع بعض. لو جينا نراجع الدالة مع بعض، الدالة د س تساوي ستة على، س زائد تلاتة، دالة نسبية. بنحاول نرسمها.

آخر خطوة وصلنا لها إن إحنا قسّمنا محور السينات إلى فترتين؛ فترة بعد السالب تلاتة، وفترة قبل السالب تلاتة. واخترنا قيم من محور السينات، زيّ ما إحنا شايفين كده. عملنا جدول، وشُفنا قيمة الدالة عند كل قيمة من القيم اللي إحنا اخترناها دي داخل كل فترة. فبنلاقي عندنا عند س بسالب تمنية قيمة الدالة بسالب واحد واتنين من عشرة. عند س بسالب ستة، قيمة الدالة بسالب اتنين. عند س بسالب اتنين، قيمة الدالة بستة. عند س باتنين، قيمة الدالة بواحد واتنين من عشرة.

خلّونا بعد كده نلخّص في الصفحة اللي إحنا شايفينها دي كل اللي إحنا حصلنا عليه من معلومات عن الدالة النسبية اللي إحنا شايفينها دي. اللي هي د س تساوي ستة على س زائد تلاتة. اللي عرفناه عن الدالة النسبية اللي قدامنا هو المجال، وطلع جميع قيم س الحقيقية ما عدا س تساوي سالب تلاتة. شُفنا التقاطع مع المحاور، ولقينا إن الدالة بتقطع محور الصادات عند النقطة صفر واتنين. وشُفنا برضو خطوط التقارب الرأسية والأفقية. ولقينا إن ما فيش غير خطّ تقاربي رأسي واحد، وهو عبارة عن س تساوي سالب تلاتة. وما فيش عندنا خطوط تقارب أفقية.

من خلال المعلومات دي، اللي عرفناها عن الدالة النسبية. ومن خلال الجدول اللي إحنا شايفينه، خلّينا نشوف التمثيل البياني هيكون إيه للدالة دي. زيّ ما إحنا شايفين، آدي التمثيل البياني للدالة بتاعتنا. بنلاحظ حاجة. بنلاحظ إن التمثيل البياني عندنا شكل التمثيل البياني للقطع الزائد. حيث أن الدالة اللي عندنا هي دالة مقلوب ستة على، س زائد تلاتة. هي دالة مقلوب. وتمثيلها بيكون هو تمثيل القطع الزائد بالظبط، زيّ ما إحنا شايفين كده.

بنلاحظ عندنا الخطّ التقاربي الرأسي، وهو عبارة عن س تساوي سالب تلاتة، زيّ ما إحنا شايفينه أهو. وبنلاحظ عندنا كمان نقطة تقاطع الدالة مع محور الصادات، زيّ ما إحنا شايفين أهي. وطبعًا دي باقي النقط اللي إحنا كاتبينها في الجدول بتاعنا. فمن خلال النقط دي، ومن خلال الخطّ التقاربي الرأسي، ومن خلال نقطة التقاطع مع محور الصادات، اللي هي صفر واتنين. قدرنا نمثّل الدالة النسبية بتاعتنا تمثيلًا بيانيًّا، زيّ ما إحنا شايفين كده.

طبعًا الخطوط التقاربية سهّلت علينا التمثيل البياني للدالة. لأن، زيّ ما إحنا شايفين، من خلال الخطّ التقاربي الرأسي، عرفنا إن هيبقى فيه جزئين مكوّنين منهم الدالة النسبية بتاعتنا. آدي أول جزء، وآدي تاني جزء، زيّ ما إحنا شايفين كده. وزيّ ما لاحظنا كده، خلال الفترة اللي هي بعد السالب تلاتة، لقينا إن إشارة الدالة موجبة. وبالتالي هتُرسم فوق محور السينات، زيّ ما إحنا ملاحظين كده. وخلال الفترة اللي هي قبل السالب تلاتة، لاحظنا إن قيمة الدالة سالبة. وبالتالي هتكون مرسومة تحت محور السينات.

يبقى في الفيديو ده، مع بعض، إحنا اتكلّمنا عن الدوالّ النسبية؛ الصورة العامّة ليها. بعد كده اتكلّمنا عن أصفار الدالة وخطوط التقارب للدالة. اللي بتخلّينا نقدر نمثّلها تمثيلًا بيانيًّا، وبتسهّل لنا التمثيل. بعد كده اتكلّمنا على خطوات تمثيل الدوالّ النسبية تمثيلًا بيانيًّا. وحلِّينا مثال، زيّ ما إحنا شايفين كده.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.