نسخة الفيديو النصية
أوجد المشتقة الثالثة للدالة ﺹ يساوي ٤٤ﺱ في جا اثنين ﺱ.
يطلب منا السؤال إيجاد المشتقة الثالثة لدالتنا. وبما أننا نريد إيجاد المشتقة الثالثة للدالة بالنسبة إلى ﺱ، فعلينا اشتقاق ذلك ثلاث مرات بالنسبة إلى ﺱ. لنبدأ بحساب المشتقة الأولى لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. وهي مشتقة ٤٤ﺱ في جا اثنين ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ويمكننا ملاحظة أن هذه مشتقة حاصل ضرب دالتين. فهي عبارة عن حاصل ضرب ٤٤ﺱ وجا اثنين ﺱ. لذا سنشتق هذا باستخدام قاعدة الضرب.
تنص قاعدة الضرب على أن مشتقة حاصل ضرب دالتين ﻕ وﻉ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ زائد ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ. إذن لإيجاد المشتقة، سنجعل ﻕ مساويًا لـ ٤٤ﺱ وﻉ مساويًا لـ جا اثنين ﺱ. لتطبيق قاعدة الضرب، علينا إيجاد ﺩﻕ على ﺩﺱ، وﺩﻉ على ﺩﺱ. لنبدأ بـ ﺩﻕ على ﺩﺱ. وهو مشتقة ٤٤ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. وهذه دالة خطية بدلالة ﺱ. وعليه، فمشتقتها هي ببساطة معامل ﺱ، وهو في هذه الحالة ٤٤.
دعونا الآن نوجد ﺩﻉ على ﺩﺱ. وهو مشتقة جا اثنين ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ونعلم كيف نشتق هذا باستخدام إحدى نتائج مشتقات الدوال المثلثية القياسية. لأي ثابت حقيقي ﺃ، فإن مشتقة جا ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﺃ في جتا ﺃﺱ. بتطبيق هذا، نحصل على ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي اثنين في جتا اثنين ﺱ. نحن الآن مستعدون لتطبيق قاعدة الضرب لإيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ. إنه يساوي ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ زائد ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ.
بالتعويض في الصيغة التي لدينا عن ﻕ وﻉ وﺩﻕ على ﺩﺱ وﺩﻉ على ﺩﺱ، نحصل على جا اثنين ﺱ في ٤٤ زائد ٤٤ﺱ في اثنين في جتا اثنين ﺱ. وبعد ذلك، نبسط هذا التعبير ونعيد ترتيبه. نحصل على ٤٤جا اثنين ﺱ زائد ٨٨ﺱجتا اثنين ﺱ. تذكر أننا نريد إيجاد المشتقة الثالثة لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ من خلال اشتقاق هذا التعبير ثلاث مرات. لنوجد إذن المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. هذه هي مشتقة المشتقة الأولى لـ ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. نحصل على التعبير التالي. نلاحظ أنه يمكننا اشتقاق الحد الأول باستخدام قاعدة المشتقة للدوال المثلثية.
لكن الحد الثاني الذي علينا اشتقاقه هو حاصل ضرب دالتين. لذا سيكون علينا استخدام قاعدة الضرب مرة أخرى. هذه المرة، نريد أن يكون ﻕ مساويًا لـ ٨٨ﺱ، ونريد أن يكون ﻉ مساويًا لـ جتا اثنين ﺱ. علينا الآن إيجاد ﺩﻕ على ﺩﺱ، وﺩﻉ على ﺩﺱ. لنبدأ بـ ﺩﻕ على ﺩﺱ. هذا هو مشتقة ٨٨ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. وأكرر، هذه دالة خطية. وعليه، فمشتقتها هي معامل ﺱ، وهو في هذه الحالة يساوي ٨٨.
دعونا الآن نوجد ﺩﻉ على ﺩﺱ. وهو مشتقة جتا اثنين ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. مرة أخرى، يمكننا إيجاد هذه المشتقة باستخدام إحدى نتائج مشتقات الدوال المثلثية القياسية. لأي ثابت ﺃ، مشتقة جتا ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي سالب ﺃ في جا ﺃﺱ. وبتطبيق ذلك، نحصل على ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي سالب اثنين في جا اثنين ﺱ. نحن الآن جاهزون لإيجاد تعبير للمشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ.
أولًا، نشتق الحد الأول، ٤٤ في جا اثنين ﺱ، لنحصل على ٨٨ في جتا اثنين ﺱ. بعد ذلك، نريد اشتقاق الحد الثاني باستخدام قاعدة الضرب. وهو يساوي ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ زائد ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ. نعوض في الصيغة التي لدينا عن ﻕ وﻉ وﺩﻕ على ﺩﺱ وﺩﻉ على ﺩﺱ. نجد أن المشتقة الثانية لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ٨٨ في جتا اثنين ﺱ زائد جتا اثنين ﺱ في ٨٨ زائد ٨٨ﺱ في سالب اثنين في جا اثنين ﺱ. ويمكننا بعد ذلك تبسيط هذا التعبير لنحصل على ١٧٦ في جتا اثنين ﺱ ناقص ١٧٦ﺱجا اثنين ﺱ.
الخطوة الأخيرة التي علينا فعلها هي اشتقاق هذا التعبير لإيجاد المشتقة الثالثة لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. دعونا إذن نفرغ بعض المساحة لنتمكن من إيجاد المشتقة الثالثة لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. وهي مشتقة ١٧٦جتا اثنين ﺱ ناقص ١٧٦ﺱجا اثنين ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
مرة أخرى، نريد إيجاد هذه المشتقة حدًّا فحدًّا. يمكننا إيجاد المشتقة الأولى باستخدام نتيجة مشتقة الدوال المثلثية لدينا. لإيجاد المشتقة الثانية، نلاحظ مرة أخرى أنها حاصل ضرب دالتين. إذن لإيجاد مشتقة الحد الثاني، سنستخدم قاعدة الضرب. سنجعل ﻕ يساوي ١٧٦ﺱ وﻉ يساوي جا اثنين ﺱ. ولكي نستخدم قاعدة الضرب، علينا إيجاد ﺩﻕ على ﺩﺱ وﺩﻉ على ﺩﺱ. لنبدأ بـ ﺩﻕ على ﺩﺱ. وهو مشتقة ١٧٦ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ومرة أخرى، هذه دالة خطية. وعليه، فمشتقتها هي ببساطة معامل ﺱ، وهو يساوي في هذه الحالة ١٧٦.
نريد الآن إيجاد ﺩﻉ على ﺩﺱ. وهو مشتقة جا اثنين ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ويمكننا فعل ذلك باستخدام نتيجة المشتقة الثانية للدوال المثلثية القياسية. وبتطبيق ذلك، نحصل على ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي اثنين في جتا اثنين ﺱ. نحن الآن جاهزون لإيجاد تعبير لـ ﺩ ثلاثة ﺹ على ﺩﺱ تكعيب. أولًا، دعونا نشتق الحد الأول. باشتقاق ذلك، نحصل على سالب اثنين في ١٧٦ في جا اثنين ﺱ، وهو ما يساوي سالب ٣٥٢جا اثنين ﺱ. نريد بعد ذلك طرح مشتقة الحد الثاني، التي تساوي وفقًا لقاعدة الضرب ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ زائد ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ.
بالتعويض في الصيغة التي لدينا عن ﻕ وﻉ وﺩﻕ على ﺩﺱ وﺩﻉ على ﺩﺱ، نحصل على المشتقة الثالثة لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي سالب ٣٥٢جا اثنين ﺱ ناقص جا اثنين ﺱ في ١٧٦ زائد ١٧٦ﺱ في اثنين في جتا اثنين ﺱ. وبعد ذلك، نبسط هذا التعبير ونعيد ترتيبه. وبذلك، نحصل على سالب ٥٢٨جا اثنين ﺱ ناقص ٣٥٢ﺱ في جتا اثنين ﺱ. وأخيرًا، نعيد ترتيب الحدود بحيث تكون قوى ﺱ تنازلية.
وبذلك، نكون قد أوضحنا أن المشتقة الثالثة للدالة ﺹ تساوي ٤٤ﺱ في جا اثنين ﺱ، تساوي سالب ٣٥٢ﺱجتا اثنين ﺱ ناقص ٥٢٨جا اثنين ﺱ.
