فيديو: النموذج التجريبي الأول • الجبر والهندسة الفراغية • ٢٠١٩ • السؤال الثامن أ

النموذج التجريبي الأول • الجبر والهندسة الفراغية • ٢٠١٩ • السؤال الثامن أ

٠٧:٠٣

‏نسخة الفيديو النصية

اكتب العدد: ع يساوي تمنية على واحد زائد الجذر التربيعي لثلاثة في ت في الصورة المثلثية. ثم أوجد جذوره التربيعية في الصورة الأسية.

أول حاجة محتاجين نكتب العدد ع على الصورة الجبرية، ومنها نكتبه على الصورة المثلثية. الصورة العامة الجبرية هي: ع بيساوي س زائد، ص في ت. فهنضرب العدد المركَّب في مرافق المقام؛ للتخلُّص من العدد التخيُّلي. يعني هنضرب في واحد ناقص الجذر التربيعي لتلاتة في ت الكل على، واحد ناقص الجذر التربيعي لتلاتة في ت. ده هيساوي تمنية في، واحد ناقص الجذر التربيعي لتلاتة في ت، الكل على … حاصل ضرب المقدارين في المقام هيساوي خارج المربعين.

فمربع الحدّ الأول اللي هو واحد هيساوي واحد تربيع. اللي بيساوي واحد ناقص … مربع الحدّ التاني، اللي هو الجذر التربيعي لتلاتة في ت، هيساوي الجذر التربيعي لتلاتة تربيع مضروب في ت تربيع. يعني هيساوي تلاتة مضروبة في ت تربيع، اللي بتساوي سالب واحد. يعني المقام هيساوي واحد ناقص سالب تلاتة. واحد ناقص سالب تلاتة بيساوي واحد زائد تلاتة. يعني هيساوي أربعة. وباستخدام التبسيط هيبقى العدد المركَّب بيساوي اتنين في، واحد ناقص الجذر التربيعي لتلاتة في ت. اللي هيساوي اتنين ناقص اتنين في الجذر التربيعي لتلاتة في ت. وبكده نبقى وصلنا للعدد في الصورة الجبرية.

الصورة المثلثية أو القطبية العامة للعدد المركَّب هي: ع بيساوي ل في جتا 𝜃 زائد ت في جا 𝜃. حيث ل هو مقياس العدد، وبيساوي الجذر التربيعي لِـ س تربيع زائد ص تربيع. وفي الحالة دي س بتساوي اتنين، وَ ص بتساوي سالب اتنين في الجذر التربيعي لتلاتة. يبقى ل هيساوي الجذر التربيعي لاتنين تربيع زائد سالب اتنين في الجذر التربيعي لتلاتة تربيع. وده هيساوي الجذر التربيعي لاتنين تربيع، اللي بتساوي أربعة، زائد … سالب اتنين في الجذر التربيعي لتلاتة الكل تربيع هتساوي سالب اتنين تربيع اللي بيساوي أربعة، مضروب في الجذر التربيعي لتلاتة تربيع، اللي بيساوي تلاتة. وأربعة في تلاتة بيساوي اتناشر. يبقى الجذر التربيعي لأربعة زائد اتناشر. اللي هيساوي الجذر التربيعي لستاشر. اللي بيساوي أربعة.

أمَّا بالنسبة لِـ 𝜃، فعشان نحدّد قيمتها محتاجين نشوف قيم س وَ ص. بما إن س بتساوي اتنين، وَ ص بتساوي سالب اتنين في الجذر التربيعي لتلاتة. فده معناه إن س أكبر من الصفر وَ ص أصغر من الصفر. وبالتالي نقدر نقول: إن 𝜃 تقع في الربع الرابع. وفي الحالة دي 𝜃 هتساوي الدالة العكسية لِـ ظا ص على س. ده هيساوي الدالة العكسية لِـ ظا سالب اتنين في الجذر التربيعي لتلاتة على اتنين. وباستخدام التبسيط، ده هيساوي الدالة العكسية لِـ ظا سالب الجذر التربيعي لتلاتة، اللي بيساوي سالب 𝜋 على تلاتة.

وبالتعويض بقيم ل وَ 𝜃 في الصورة العامة المثلثية، هتبقى الصورة المثلثية للعدد المركَّب بتساوي أربعة في، جتا سالب 𝜋 على تلاتة زائد ت في جا سالب 𝜋 على تلاتة. وبكده نبقى حلّينا المطلوب الأول.

المطلوب التاني إننا نوجد الجذور التربيعية للعدد في الصورة الأُسية. وعشان نوجدها يبقى هنستخدم نظرية ديموافر. باستخدام نظرية ديموافر هيبقى الجذر التربيعي للعدد المركَّب بيساوي ع أُس واحد على اتنين. اللي بيساوي الجذر التربيعي لِـ ل مضروب في جتا 𝜃 زائد اتنين 𝜋 ر الكل على ك، زائد ت في جا 𝜃 زائد اتنين 𝜋 ر الكل على ك. حيث ك هو مقام الأُس النسبي، اللي في الحالة دي بيساوي اتنين، وَ ر بتساوي صفر ، 1، اتنين، وهكذا، وسالب واحد، سالب اتنين، وهكذا.

وبما إن ك بتساوي اتنين، فهناخد قيمتين متتاليتين لِـ ر، ولتكن صفر وواحد. لمَّا ر هتساوي صفر هيبقى الجذر التربيعي لِـ ع بيساوي الجذر التربيعي لِـ ل، اللي في الحالة دي بيساوي أربعة. يعني الجذر التربيعي لأربعة مضروب في جتا 𝜃، اللي في الحالة دي بتساوي سالب 𝜋 على تلاتة. يعني جتا سالب 𝜋 على تلاتة زائد اتنين 𝜋 مضروبة في صفر، اللي هي قيمة ر في الحالة دي، الكل على اتنين، زائد ت في جا سالب 𝜋 على تلاتة زائد اتنين 𝜋 في صفر الكل على اتنين. الجذر التربيعي لأربعة بيساوي اتنين. وسالب 𝜋 على تلاتة زائد اتنين 𝜋 في صفر الكل على اتنين بيساوي سالب 𝜋 على تلاتة الكل على اتنين. اللي بيساوي سالب 𝜋 على ستة. يبقى لمَّا ر بتساوي صفر، هيقبى الجذر التربيعي لِـ ع بيساوي اتنين في جتا سالب 𝜋 على ستة زائد ت في جا سالب 𝜋 على ستة.

حسب صيغة أويلر، فالصورة الأُسية للعدد المركَّب بتساوي ل في هـ أُس 𝜃 ت. ل في الحالة دي هتساوي اتنين. وَ 𝜃 هتساوي سالب 𝜋 على ستة. وبالتالي ممكن نقول: إن الصورة الأُسية للجذر التربيعي لِـ ع لمَّا ر بتساوي صفر هيساوي اتنين في هـ أُس سالب 𝜋 على ستة في ت. لمَّا ر هتساوي واحد هيبقى الجذر التربيعي لِـ ع بيساوي الجذر التربيعي لأربعة مضروبة في جتا سالب 𝜋 على تلاتة زائد اتنين 𝜋 في واحد الكل على اتنين. زائد ت في جا سالب 𝜋 على تلاتة زائد اتنين 𝜋 في واحد الكل على اتنين. وبإجراء العمليات، ده هيساوي اتنين في جتا خمسة 𝜋 على ستة، زائد ت في جا خمسة 𝜋 على ستة. وباستخدام صيغة أويلر، الصورة الأُسية ليه هتساوي اتنين في هـ أُس، خمسة 𝜋 على ستة في ت.

وبكده نبقى أوجدنا جذور العدد المركَّب التربيعية في الصورة الأُسية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.