فيديو: اشتقاق الدوال الكسرية باستخدام قاعدة خارج القسمة

أوجد مشتقة ‪𝑓(𝑥) = (4𝑥² − 5𝑥 + 8)/(3𝑥 − 4)‬‏.

٠٤:٠٥

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد مشتقة الدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ تساوي أربعة ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص خمسة ‪𝑥‬‏ زائد ثمانية على ثلاثة ‪𝑥‬‏ ناقص أربعة.

حسنًا، لاشتقاق الدالة، فإننا سنستخدم ما يطلق عليه قاعدة خارج القسمة. ونعلم أننا سنستخدم قاعدة خارج القسمة؛ لأن الدالة على الصورة ‪𝑢‬‏ على ‪𝑣‬‏؛ لأنها تظهر فعليًا في صورة كسر.

واستنادًا إلى قاعدة خارج القسمة، فإن ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏، أي المشتقة، يساوي ‪𝑣 d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ ناقص ‪𝑢 d𝑣‬‏ على ‪d𝑥‬‏ على ‪𝑣‬‏ تربيع. وعمليًا، هذا معناه ضرب ‪𝑣‬‏ في مشتقة ‪𝑢‬‏، ثم طرح ‪𝑢‬‏ في مشتقة ‪𝑣‬‏، ثم قسمة ذلك كله على ‪𝑣‬‏ تربيع. مذهل! وهكذا لدينا هذه الصيغة، ويتعين علينا الآن استخدامها لإيجاد مشتقة الدالة التي لدينا.

إذن، الخطوة الأولى هي تحديد ‪𝑢‬‏ و‪𝑣‬‏. ولذلك، فإن ‪𝑢‬‏ هو البسط، ويساوي أربعة ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص خمسة ‪𝑥‬‏ زائد ثمانية. أما ‪𝑣‬‏، فهو ثلاثة ‪𝑥‬‏ ناقص أربعة، وهو المقام. إذن يتعين علينا أولًا اشتقاق ‪𝑢‬‏. أي نشتق أربعة ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص خمسة ‪𝑥‬‏ زائد ثمانية.

وللتذكرة سريعًا بطريقة فعل ذلك، نقول: إنه إذا كان لدينا الدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏ في صورة ‪𝑎𝑥‬‏ أس ‪𝑏‬‏، فإن مشتقة الدالة، أو ما يعرف بالصيغة ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏، تساوي ‪𝑎𝑏‬‏، أي المعامل في الأس، ثم ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑏‬‏ ناقص واحد. إذن نطرح واحدًا من الأس.

حسنًا، لنستخدم هذا الآن ونشتق ‪𝑢‬‏. وهكذا نحصل على ثمانية ‪𝑥‬‏ ناقص خمسة. وللتذكرة بطريقة فعل ذلك، نقول: إن أول ما نحصل عليه هو ثمانية ‪𝑥‬‏؛ إذ كان لدينا أربعة في اثنين، أي الأس في المعامل، وهو ما يساوي ثمانية، ثم ‪𝑥‬‏ أس واحد؛ لأننا طرحنا واحدًا من الأس. فاثنان ناقص واحد يساوي واحدًا. فيتبقى لدينا ثمانية ‪𝑥‬‏.

رائع! لننتقل إلى ‪d𝑣‬‏ على ‪d𝑥‬‏. حسنًا، إذا اشتققنا ‪𝑣‬‏، فسنحصل على ‪d𝑣‬‏ على ‪d𝑥‬‏. وهو ما يساوي ثلاثة. وهذا لأننا إذا اشتققنا ثلاثة ‪𝑥‬‏، فإننا سنحصل على ثلاثة. وإذا اشتققنا عددًا صحيحًا فحسب، فإننا سنحصل على الصفر.

عظيم! فقد أوجدنا ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ و‪d𝑣‬‏ على ‪d𝑥‬‏. ويمكننا الآن تطبيق قاعدة خارج القسمة لإيجاد ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏. حسنًا، في البداية، لدينا ‪𝑣 d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏. أي ثلاثة ‪𝑥‬‏ ناقص أربعة في ثمانية ‪𝑥‬‏ ناقص خمسة. ثم ناقص ثلاثة في أربعة ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص خمسة ‪𝑥‬‏ زائد ثمانية. وهذا هو ‪𝑢 d𝑣‬‏ على ‪d𝑥‬‏. وضعنا ذلك في الجهة الأخرى؛ كي يسهل فك الأقواس في الخطوة التالية. ثم نقسم ذلك كله على ثلاثة ‪𝑥‬‏ ناقص أربعة الكل تربيع. فهذا هو ‪𝑣‬‏ تربيع.

حسنًا، لننتقل إلى الخطوة التالية، وهي، كما سبق وأشرنا، فك الأقواس في البسط. أولًا، لدينا ثلاثة ‪𝑥‬‏ في ثمانية ‪𝑥‬‏، وهو ما سيعطينا ‪24𝑥‬‏ تربيع. ثم ثلاثة ‪𝑥‬‏ في سالب خمسة، وهو ما يساوي سالب ‪15𝑥‬‏، ثم ناقص ‪32𝑥‬‏؛ لأن لدينا سالب أربعة في ثمانية ‪𝑥‬‏، وأخيرًا، زائد ‪20‬‏ حيث لدينا سالب أربعة في سالب خمسة. وسالب في سالب يعطينا موجبًا.

إذن حصلنا على ناقص ‪12𝑥‬‏ تربيع، وهو حاصل ضرب سالب ثلاثة في أربعة ‪𝑥‬‏ تربيع ثم زائد ‪15𝑥‬‏، وهو حاصل ضرب سالب ثلاثة في سالب خمسة ‪𝑥‬‏، أي حاصل ضرب سالب في سالب، وأخيرًا ناقص ‪24‬‏. بعد ذلك، نقسم الكل على ثلاثة ‪𝑥‬‏ ناقص أربعة الكل تربيع.

حسنًا، نصل الآن إلى الخطوة الأخيرة، وهي تبسيط البسط. فنتعامل مع الحد الأول. الذي سيكون ‪12𝑥‬‏ تربيع. وذلك لأن لدينا ‪24𝑥‬‏ تربيع ناقص ‪12𝑥‬‏ تربيع. ثم نحصل على ناقص ‪32𝑥‬‏. وذلك لأن لدينا سالب ‪15𝑥‬‏ ناقص ‪32𝑥‬‏ زائد ‪15𝑥‬‏. فيلغي الحدان ‪15𝑥‬‏ أحدهما الآخر. ثم لدينا ناقص ‪32𝑥‬‏.

وأخيرًا، نحصل على ناقص أربعة. وهذا لأنه كان لدينا موجب ‪20‬‏ ناقص ‪24‬‏. ثم نقسم ذلك كله على ثلاثة ‪𝑥‬‏ ناقص أربعة الكل تربيع. رائع! وعليه، يمكننا القول: إنه إذا اشتققنا الدالة أربعة ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص خمسة ‪𝑥‬‏ زائد ثمانية على ثلاثة ‪𝑥‬‏ ناقص أربعة، فسنجد أن ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي ‪12𝑥‬‏ تربيع ناقص ‪32𝑥‬‏ ناقص أربعة على ثلاثة ‪𝑥‬‏ ناقص أربعة الكل تربيع.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.