فيديو السؤال: اشتقاق الدوال الكسرية باستخدام قاعدة خارج القسمة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد مشتقة الدالة ﺩﺱ تساوي أربعة ﺱ تربيع ناقص خمسة ﺱ زائد ثمانية على ثلاثة ﺱ ناقص أربعة.

حسنًا، لاشتقاق الدالة، فإننا سنستخدم ما يطلق عليه قاعدة خارج القسمة. ونعلم أننا سنستخدم قاعدة خارج القسمة؛ لأن الدالة على الصورة ﻉ على ﻕ؛ لأنها تظهر فعليًّا في صورة كسر.

واستنادًا إلى قاعدة خارج القسمة، فإن ﺩﺹ على ﺩﺱ، أي المشتقة، يساوي ﻕ ﺩﻉ على ﺩﺱ ناقص ﻉ ﺩﻕ على ﺩﺱ على ﻕ تربيع. وعمليًّا، هذا معناه ضرب ﻕ في مشتقة ﻉ، ثم طرح ﻉ في مشتقة ﻕ، ثم قسمة ذلك كله على ﻕ تربيع. مذهل! وهكذا لدينا هذه الصيغة، ويتعين علينا الآن استخدامها لإيجاد مشتقة الدالة التي لدينا.

إذن، الخطوة الأولى هي تحديد ﻉ وﻕ. ولذلك، فإن ﻉ هو البسط، ويساوي أربعة ﺱ تربيع ناقص خمسة ﺱ زائد ثمانية. أما ﻕ، فهو ثلاثة ﺱ ناقص أربعة، وهو المقام. إذن يتعين علينا أولًا اشتقاق ﻉ. أي نشتق أربعة ﺱ تربيع ناقص خمسة ﺱ زائد ثمانية.

وللتذكرة سريعًا بطريقة فعل ذلك، نقول: إنه إذا كان لدينا الدالة ﺩﺱ في صورة ﺃﺱ أس ﺏ، فإن مشتقة الدالة، أو ما يعرف بالصيغة ﺩﺹ على ﺩﺱ، تساوي ﺃﺏ، أي المعامل في الأس، ثم ﺱ أس ﺏ ناقص واحد. إذن نطرح واحدًا من الأس.

حسنًا، لنستخدم هذا الآن ونشتق ﻉ. وهكذا نحصل على ثمانية ﺱ ناقص خمسة. وللتذكرة بطريقة فعل ذلك، نقول: إن أول ما نحصل عليه هو ثمانية ﺱ؛ إذ كان لدينا أربعة في اثنين، أي الأس في المعامل، وهو ما يساوي ثمانية، ثم ﺱ أس واحد؛ لأننا طرحنا واحدًا من الأس. فاثنان ناقص واحد يساوي واحدًا. فيتبقى لدينا ثمانية ﺱ.

رائع! لننتقل إلى ﺩﻕ على ﺩﺱ. حسنًا، إذا اشتققنا ﻕ، فسنحصل على ﺩﻕ على ﺩﺱ. وهو ما يساوي ثلاثة. وهذا لأننا إذا اشتققنا ثلاثة ﺱ، فإننا سنحصل على ثلاثة. وإذا اشتققنا عددًا صحيحًا فحسب، فإننا سنحصل على الصفر.

عظيم! فقد أوجدنا ﺩﻉ على ﺩﺱ وﺩﻕ على ﺩﺱ. ويمكننا الآن تطبيق قاعدة خارج القسمة لإيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ. حسنًا، في البداية، لدينا ﻕ ﺩﻉ على ﺩﺱ. أي ثلاثة ﺱ ناقص أربعة في ثمانية ﺱ ناقص خمسة. ثم ناقص ثلاثة في أربعة ﺱ تربيع ناقص خمسة ﺱ زائد ثمانية. وهذا هو ﻉ ﺩﻕ على ﺩﺱ. وضعنا ذلك في الجهة الأخرى؛ كي يسهل فك الأقواس في الخطوة التالية. ثم نقسم ذلك كله على ثلاثة ﺱ ناقص أربعة الكل تربيع. فهذا هو ﻕ تربيع.

حسنًا، لننتقل إلى الخطوة التالية، وهي، كما سبق وأشرنا، فك الأقواس في البسط. أولًا، لدينا ثلاثة ﺱ في ثمانية ﺱ، وهو ما سيعطينا ٢٤ﺱ تربيع. ثم ثلاثة ﺱ في سالب خمسة، وهو ما يساوي سالب ١٥ﺱ، ثم ناقص ٣٢ﺱ؛ لأن لدينا سالب أربعة في ثمانية ﺱ، وأخيرًا، زائد ٢٠ حيث لدينا سالب أربعة في سالب خمسة. وسالب في سالب يعطينا موجبًا.

إذن حصلنا على ناقص ١٢ﺱ تربيع، وهو حاصل ضرب سالب ثلاثة في أربعة ﺱ تربيع ثم زائد ١٥ﺱ، وهو حاصل ضرب سالب ثلاثة في سالب خمسة ﺱ، أي حاصل ضرب سالب في سالب، وأخيرًا ناقص ٢٤. بعد ذلك، نقسم الكل على ثلاثة ﺱ ناقص أربعة الكل تربيع.

حسنًا، نصل الآن إلى الخطوة الأخيرة، وهي تبسيط البسط. فنتعامل مع الحد الأول. الذي سيكون ١٢ﺱ تربيع. وذلك لأن لدينا ٢٤ﺱ تربيع ناقص ١٢ﺱ تربيع. ثم نحصل على ناقص ٣٢ﺱ. وذلك لأن لدينا سالب ١٥ﺱ ناقص ٣٢ﺱ زائد ١٥ﺱ. فيلغي الحدان ١٥ﺱ أحدهما الآخر. ثم لدينا ناقص ٣٢ﺱ.

وأخيرًا، نحصل على ناقص أربعة. وهذا لأنه كان لدينا موجب ٢٠ ناقص ٢٤. ثم نقسم ذلك كله على ثلاثة ﺱ ناقص أربعة الكل تربيع. رائع! وعليه، يمكننا القول: إنه إذا اشتققنا الدالة أربعة ﺱ تربيع ناقص خمسة ﺱ زائد ثمانية على ثلاثة ﺱ ناقص أربعة، فسنجد أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ١٢ﺱ تربيع ناقص ٣٢ﺱ ناقص أربعة على ثلاثة ﺱ ناقص أربعة الكل تربيع.