فيديو: اشتقاق الدوال الكسرية باستخدام قاعدة خارج القسمة

أوجد مشتقة الدالة ‪𝑓(𝑥) = (4𝑥² − 5𝑥 + 8)/(3𝑥 − 4)‬‏.

٠٤:٠٥

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد مشتقة الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 تساوي أربعة 𝑥 تربيع ناقص خمسة 𝑥 زائد ثمانية على ثلاثة 𝑥 ناقص أربعة.

حسنًا، لاشتقاق الدالة، فإننا سنستخدم ما يطلق عليه قاعدة خارج القسمة. ونعلم أننا سنستخدم قاعدة خارج القسمة؛ لأن الدالة تتخذ الصيغة 𝑢 على 𝑣؛ لأنها تظهر فعليًا في صورة كسر.

واستنادًا إلى قاعدة خارج القسمة، فإن d𝑦 d𝑥، أي المشتقة، يساوي 𝑣 d𝑢 d𝑥 ناقص 𝑢 d𝑣 d𝑥 على 𝑣 تربيع. وعمليًا، هذا معناه ضرب 𝑣 في مشتقة 𝑢، ثم طرح 𝑢 في مشتقة 𝑣، ثم قسمة ذلك كله على 𝑣 تربيع. مذهل! وهكذا فقد حصلنا على هذه الصيغة، ويتعين علينا الآن استخدامها لإيجاد مشتقة الدالة التي لدينا.

إذن، الخطوة الأولى هي تحديد 𝑢 و𝑣. ولذلك، فإن 𝑢 هو البسط، ويساوي أربعة 𝑥 تربيع ناقص خمسة 𝑥 زائد ثمانية. أما 𝑣، فهو ثلاثة 𝑥 ناقص أربعة، وهو المقام. إذن يتعين علينا أولًا اشتقاق 𝑢. أي نشتق أربعة 𝑥 تربيع ناقص خمسة 𝑥 زائد ثمانية.

وللتذكرة سريعًا بطريقة فعل ذلك، نقول: إنه إذا كان لدينا الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 في صورة 𝑎𝑥 مرفوعًا للقوة الأسية 𝑏، فإن مشتقة الدالة، أو ما يعرف بالصيغة d𝑦 d𝑥، تساوي 𝑎𝑏، أي المعامل في الأس، ثم 𝑥 مرفوعًا للقوة الأسية 𝑏 ناقص واحد. إذن نطرح واحدًا من الأس.

حسنًا، لنستخدم هذا الآن ونشتق 𝑢. وهكذا نحصل على ثمانية 𝑥 ناقص خمسة. وللتذكرة بطريقة فعل ذلك، نقول: إن أول ما نحصل عليه هو ثمانية 𝑥؛ إذ كان لدينا أربعة في اثنين، أي الأس في المعامل، وهو ما يساوي ثمانية، ثم 𝑥 مرفوعًا للقوة الأسية واحد؛ لأننا طرحنا واحدًا من الأس. فاثنان ناقص واحد يساوي واحدًا. فيتبقى لدينا ثمانية 𝑥.

رائع! لننتقل إلى d𝑣 d𝑥. حسنًا، إذا اشتققنا 𝑣، فسنحصل على d𝑣 d𝑥. وهو ما يساوي ثلاثة. وهذا لأننا إذا اشتققنا ثلاثة 𝑥، فإننا سنحصل على ثلاثة. وإذا اشتققنا عددًا صحيحًا فحسب، فإننا سنحصل على الصفر.

عظيم! فقد أوجدنا d𝑢 d𝑥 وd𝑣 d𝑥. ويمكننا الآن تطبيق قاعدة خارج القسمة لإيجاد d𝑦 d𝑥. حسنًا، في البداية، لدينا 𝑣 d𝑢 d𝑥. أي ثلاثة 𝑥 ناقص أربعة في ثمانية 𝑥 ناقص خمسة. ثم ناقص ثلاثة في أربعة 𝑥 تربيع ناقص خمسة 𝑥 زائد ثمانية. وهذا هو 𝑢 d𝑣 d𝑥. وضعنا ذلك في الجهة الأخرى؛ كي يسهل فك الأقواس في الخطوة التالية. ثم نقسم ذلك كله على ثلاثة 𝑥 ناقص أربعة الكل تربيع. فهذا هو 𝑣 تربيع.

حسنًا، لننتقل إلى الخطوة التالية، وهي، كما سبق وأشرنا، فك الأقواس في البسط. أولًا، لدينا ثلاثة 𝑥 في ثمانية 𝑥، وهو ما سيعطينا 24𝑥 تربيع. ثم ثلاثة 𝑥 في سالب خمسة، وهو ما يساوي سالب 15𝑥، ثم ناقص 32𝑥؛ لأن لدينا سالب أربعة في ثمانية 𝑥، وأخيرًا، زائد 20 حيث لدينا سالب أربعة في سالب خمسة. وسالب في سالب يعطينا موجبًا.

إذن حصلنا على ناقص 12𝑥 تربيع، وهو حاصل ضرب سالب ثلاثة في أربعة 𝑥 تربيع ثم زائد 15𝑥، وهو حاصل ضرب سالب ثلاثة في سالب خمسة 𝑥، أي حاصل ضرب سالب في سالب، وأخيرًا ناقص 24. بعد ذلك، نقسم الكل على ثلاثة 𝑥 ناقص أربعة الكل تربيع.

حسنًا، نصل الآن إلى الخطوة الأخيرة، وهي تبسيط البسط. فنتعامل مع الحد الأول. الذي سيكون 12𝑥 تربيع. وذلك لأن لدينا 24𝑥 تربيع ناقص 12𝑥 تربيع. ثم نحصل على ناقص 32𝑥. وذلك لأن لدينا سالب 15𝑥 ناقص 32𝑥 زائد 15𝑥. فيلغي الحدان 15𝑥 أحدهما الآخر. ويصبح لدينا ناقص 32𝑥.

وأخيرًا، نحصل على ناقص أربعة. وهذا لأنه كان لدينا موجب 20 ناقص 24. ثم نقسم ذلك كله على ثلاثة 𝑥 ناقص أربعة الكل تربيع. رائع! وعليه، يمكننا القول: إنه إذا اشتققنا الدالة أربعة 𝑥 تربيع ناقص خمسة 𝑥 زائد ثمانية على ثلاثة 𝑥 ناقص أربعة، فسنجد أن d𝑦 d𝑥 يساوي 12𝑥 تربيع ناقص 32𝑥 ناقص أربعة على ثلاثة 𝑥 ناقص أربعة الكل تربيع.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.