فيديو الدرس: العمليات على الدوال الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نجمع أو نطرح أو نضرب أو نقسم دالتين معطاتين لتكوين دالة جديدة، وكيف نوجد مجال الدالة الجديدة. لن نتناول هنا تركيب الدوال؛ فهذا مفهوم مختلف قليلًا.

حسنًا، إن إجراء عمليات على دالتين بهذه الطريقة أمر سهل جدًا. لنفترض أن لدينا دالتين؛ ﺩﺱ وﺭﺱ. ولدينا العمليات التالية والرموز المرتبطة بها. الدالة ﺩ زائد ﺭﺱ تساوي مجموع الدالتين؛ ﺩﺱ زائد ﺭﺱ. والشيء نفسه ينطبق على الطرح؛ حيث ﺩ ناقص ﺭﺱ تساوي الفرق بين الدالتين ﺩﺱ ناقص ﺭﺱ. بالتالي، الدالة ﺩﺭﺱ تساوي ﺩﺱ في ﺭﺱ. وﺩ على ﺭﺱ تساوي ﺩﺱ على ﺭﺱ. حسنًا، تلك العمليات جميعها مباشرة إلى حد ما.

لكن علينا أن ننتبه عند إجراء عمليات على دالتين والتفكير في مجال الدالة الجديدة. مجال الدالة الجديدة هو تقاطع أو تداخل مجال ﺩ مع مجال ﺭ. بعبارة أخرى، لا بد أن تكون كلتا الدالتين معرفتين عند نقطة معينة حتى يكون مجال الدالة الجديدة معرفًا أيضًا. وبالطبع، إذا كنا نتعامل مع قسمة دالتين، فسيكون هناك شرط آخر وهو أن المقام، ﺭﺱ هنا، لا يمكن أن يساوي صفرًا. والآن بما أن لدينا بعض هذه التعريفات، دعونا نر كيف يمكننا الإجابة عن هذا السؤال.

إذا كانت ﺩ وﺭ دالتين حقيقيتين، حيث ﺩﺱ تساوي ﺱ زائد تسعة على ﺱ تربيع زائد ١٥ﺱ زائد ٥٤، وﺭﺱ تساوي ﺱ زائد ثمانية، فأوجد قيمة ﺩ ناقص ﺭ لسالب ستة إن أمكن.

لنبدأ بالتفكير فيما نعنيه بالدالة الجديدة ﺩ ناقص ﺭ. ‏‏ﺩ ناقص ﺭﺱ تساوي الفرق بين الدالتين ﺩﺱ وﺭﺱ؛ أي ﺩﺱ ناقص ﺭﺱ. إذا كانت الدالتان لدينا معرفتين بأنهما ﺩﺱ تساوي ﺱ زائد تسعة على ﺱ تربيع زائد ١٥ﺱ زائد ٥٤، وﺭﺱ تساوي ﺱ زائد ثمانية، فسنلاحظ أن ﺩ ناقص ﺭﺱ هنا تساوي ﺱ زائد تسعة على ﺱ تربيع زائد ١٥ﺱ زائد ٥٤ ناقص ﺱ زائد ثمانية. ويمكننا البدء في تبسيط هذا المقدار، لكن هذا ليس ضروريًا على الإطلاق لأننا نريد معرفة ما إذا كان بإمكاننا إيجاد قيمة الدالة عند ﺱ يساوي سالب ستة.

علينا هنا تعيين مجال الدالة ﺩ ناقص ﺭﺱ. حسنًا، مجال الدالة الجديدة يساوي تقاطع مجالي الدالتين لدينا. إذن، علينا إيجاد مجالي ﺩﺱ وﺭﺱ. أولًا، ﺭﺱ هي الدالة ﺱ زائد ثمانية، وهي دالة كثيرة الحدود. ونحن نعلم أن مجال كثيرة الحدود هو ببساطة مجموعة الأعداد الحقيقية. إذن، يمكننا القول إن مجال ﺭﺱ هو مجموعة الأعداد الحقيقية؛ حيث ﺱ يمكن أن يكون أيًا من هذه الأعداد. لكن ماذا عن الدالة ﺩﺱ؟ حسنًا، ﺩﺱ هي خارج قسمة دالتين كثيرتي الحدود. وعندما نفكر في خارج القسمة هذا، يجب أن نتأكد من أن المقام لا يساوي صفرًا.

إذن ما سنفعله هو جعل مقام الدالة ﺩﺱ يساوي صفرًا والحل لإيجاد قيم ﺱ. وهذا سيعطينا قيم ﺱ التي علينا استبعادها من الدالة؛ لأن الناتج لدينا سيكون صفرًا. إذن ﺱ تربيع زائد ١٥ﺱ زائد ٥٤ يساوي صفرًا. سوف نحلل المقدار في الطرف الأيمن. إنه دالة تربيعية، لذا سيكون لدينا قوسان حيث يكون ﺱ في بداية كل مقدار ذي حدين. بعد ذلك، نجد أننا نريد عددين يمكن ضربهما للحصول على ٥٤، أي حاصل ضربهما ٥٤، ومجموعهما يساوي ١٥. هذان العددان هما ستة وتسعة، إذن يمكننا تحليل هذا المقدار إلى ﺱ زائد ستة في ﺱ زائد تسعة.

والآن نحن نعلم أنه بما أن حاصل ضرب هذين المقدارين ذوي الحدين يساوي صفرًا، فلا بد أن أحدهما أو كليهما يساوي صفرًا. أي إن ﺱ زائد ستة يساوي صفرًا، أو ﺱ زائد تسعة يساوي صفرًا. إذا قمنا بحل هذه المعادلة الأولى بطرح ستة من كلا الطرفين، فسنحصل على ﺱ يساوي سالب ستة. وعند حل المعادلة الثانية، نحصل على ﺱ يساوي سالب تسعة. وبالتالي، فإن قيم ﺱ التي تجعل مقام الدالة ﺩﺱ يساوي صفرًا هي سالب ستة وسالب تسعة. والآن، بما أن ﺩﺱ هي نفسها خارج قسمة دالتين من كثيرات الحدود، فإننا نعلم أن مجالها هو مجموعة الأعداد الحقيقية التي لا تشمل المجموعة التي تحتوي على عناصر تجعل المقام يساوي صفرًا.

إذن، مجال الدالة ﺩﺱ هو مجموعة الأعداد الحقيقية ناقص المجموعة التي تحتوي على العنصرين سالب ستة وسالب تسعة. مجال الدالة الجديدة ﺩ ناقص ﺭﺱ هو تقاطع المجالين لدينا؛ مجال ﺩﺱ ومجال ﺭﺱ. وتداخل مجال الدالة ﺩﺱ مع مجال الدالة ﺭﺱ هو مجموعة الأعداد الحقيقية ناقص المجموعة التي تحتوي على سالب ستة وسالب تسعة. بالتالي، إذا عدنا إلى المطلوب منا في السؤال، وهو إيجاد قيمة ﺩ ناقص ﺭ لسالب ستة، يمكننا أن نلاحظ أن سالب ستة لا يقع ضمن مجال هذه الدالة. وعليه، لا يمكننا إيجاد قيمة ذلك. فالدالة ﺩ ناقص ﺭﺱ غير معرفة عند هذه النقطة. إذن، يمكننا القول إن قيمة ﺩ ناقص ﺭ لسالب ستة غير معرفة.

في المثال التالي، سنلقي نظرة على كيفية تأثير دالة جذرية على مجال مجموع دالتين.

إذا كانت ﺩ وﺭ دالتين حقيقيتين، وكانت ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع ناقص خمسة ﺱ، وﺭﺱ تساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ زائد واحد، فأوجد مجال الدالة ﺩ زائد ﺭ.

أولًا، نحن نتذكر أن الدالة الجديدة ﺩ زائد ﺭ هي ببساطة مجموع الدالتين ﺩ وﺭ. إننا نريد الآن إيجاد مجال هذه الدالة الجديدة. نحن نتذكر أن مجال ﺩ زائد ﺭ، وهو مجموعة المدخلات التي سينتج عنها مخرجات حقيقية، هو تقاطع مجالي ﺩ وﺭ. هيا إذن نوجد مجالي ﺩ وﺭ. سنبدأ بالدالة ﺩﺱ. وهى ﺱ تربيع ناقص خمسة ﺱ. إنها ببساطة دالة كثيرة الحدود، ونحن نعرف أن مجال الدالة كثيرة الحدود هو مجموعة الأعداد الحقيقية. إذن، مجال الدالة ﺩﺱ هو مجموعة الأعداد الحقيقية.

لكن ماذا عن الدالة ﺭﺱ؟ حسنًا، في حالة الدالة الجذرية، نحن نعلم أنه للحصول على قيمة مخرجة حقيقية، يجب أن يكون العدد الموجود داخل الجذر التربيعي أكبر من أو يساوي صفرًا. وفي حالة الدالة ﺭﺱ، سنجد أن لدينا دالة داخل الجذر التربيعي، إذن ﺱ زائد واحد يجب أن يكون أكبر من أو يساوي صفرًا. وهذا يعني أنه لإيجاد مجال الدالة ﺭﺱ، علينا حل المتباينة ﺱ زائد واحد أكبر من أو يساوي صفرًا. وسنفعل ذلك بطرح واحد من كلا الطرفين. وهذا يخبرنا أن ﺱ يجب أن يكون أكبر من أو يساوي سالب واحد. يمكننا استخدام رمز الفترة لتمثيل مجال الدالة ﺭﺱ. يجب أن يكون ﺱ أكبر من أو يساوي سالب واحد، لذا نقول إن مجال الدالة ﺭﺱ هو الفترة المغلقة من اليمين والمفتوحة من اليسار من سالب واحد إلى ∞.

لاحظ أنه لا يمكننا بالفعل تحديد ∞، ولذلك لا يمكننا استخدام قوس مربع على يمين هذه الفترة. وبذلك، نعرف أن مجال الدالة ﺩ زائد ﺭ هو التقاطع، أو التداخل، بين هذين المجالين. إذا اعتبرنا أن مجال الدالة ﺭﺱ يمثل مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقية، فسنجد أن مجال ﺩ زائد ﺭ، أي التداخل، هو في الحقيقة الفترة المغلقة من اليمين والمفتوحة من اليسار من سالب واحد إلى ∞. ومن ثم، فإن هذه الفترة، أي مجموعة قيم ﺱ هذه، هي مجال الدالة ﺩ زائد ﺭ.

لنتناول الآن ضرب كثيرتي الحدود.

إذا كانت ﺩ واحد تحول الأعداد المنتمية لمجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة إلى مجموعة الأعداد الحقيقية؛ حيث ﺩ واحد لـ ﺱ تساوي ﺱ ناقص أربعة، وﺩ اثنان تحول الأعداد المنتمية للفترة المفتوحة يمينًا والمغلقة يسارًا من سالب تسعة إلى واحد إلى مجموعة الأعداد الحقيقية؛ حيث ﺩ اثنان لـ ﺱ تساوي خمسة ﺱ ناقص اثنين، فأوجد قيمة ﺩ واحد في ﺩ اثنين لـ ﺱ وحدد مجالها.

أولًا، نحن نتذكر أن حاصل ضرب ﺩ واحد وﺩ اثنين لـ ﺱ يساوي بالفعل حاصل ضرب الدالتين. وهو ﺩ واحد لـ ﺱ في ﺩ اثنين لـ ﺱ. ونعلم أنه عند إجراء عمليات على دالتين، يكون مجال الدالة الناتجة هو تقاطع مجالي هاتين الدالتين. الحالة الوحيدة التي سنحتاج فيها إلى التفكير في معلومة أخرى هي إذا كنا نوجد خارج القسمة، وكان علينا التأكد من أن المقام لا يساوي صفرًا. لكن هذا لا ينطبق هنا بالطبع، لذا دعونا نبدأ بإيجاد ﺩ واحد في ﺩ اثنين لـ ﺱ. ‏‏ﺩ واحد تساوي ﺱ ناقص أربعة، وﺩ اثنان تساوي خمسة ﺱ ناقص اثنين، ومن ثم فإن حاصل الضرب يساوي ﺱ ناقص أربعة في خمسة ﺱ ناقص اثنين.

هيا نفك هذه الأقواس بتوزيع حدي القوس الأول على حدي القوس الثاني. سنضرب الحدين الأولين في كل مقدار ذي حدين. ‏‏ﺱ في خمسة ﺱ يساوي خمسة ﺱ تربيع. بعد ذلك، نضرب الحدين الخارجيين، فنحصل على سالب اثنين ﺱ. ونضرب الحدين الداخليين، فنحصل على سالب ٢٠ﺱ. وأخيرًا، نضرب الحدين الأخيرين في كل مقدار ذي حدين. سالب أربعة في سالب اثنين يساوي ثمانية. بذلك نجد أن ﺩ واحد في ﺩ اثنين لـ ﺱ يساوي خمسة ﺱ تربيع ناقص ٢٢ﺱ زائد ثمانية. لكن ما مجال هذه الدالة؟

حسنًا، إن ﺩ واحد لـ ﺱ وﺩ اثنين لـ ﺱ، هما في الحقيقة كثيرتا الحدود، وعادة ما يكون مجال كثيرة الحدود هو مجموعة الأعداد الحقيقية. لكننا نعلم بالفعل أن ﺩ واحد تحول الأعداد المنتمية لمجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة. إذن، هذا هو مجال ﺩ واحد. إنه الأعداد الحقيقية الموجبة. ثم تخبرنا المسألة أن ﺩ اثنين تحول الأعداد المنتمية للفترة المفتوحة من اليمين والمغلقة من اليسار من سالب تسعة إلى واحد. بعبارة أخرى، قد يكون ﺱ أكبر من سالب تسعة وأصغر من أو يساوي واحدًا. إذن، هذا هو مجال ﺩ اثنين. ومجال حاصل ضرب الدالتين هو تقاطع هذين المجالين أو التداخل بينهما. دعونا إذن نستخدم خط الأعداد لتحديد موضع هذا التداخل.

مجال ﺩ واحد هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة. هذا يعني أنه أي عدد أكبر من صفر كما هو موضح. ومجال ﺩ اثنين هو قيم ﺱ الأكبر من سالب تسعة والأصغر من أو تساوي واحدًا. إذن، التداخل يقع هنا. إنه قيم ﺱ الأكبر من صفر والأصغر من أو تساوي واحدًا. يمكننا تمثيل هذا المجال باستخدام رمز الفترة كما هو موضح. وسنلاحظ هنا أن ﺩ واحد في ﺩ اثنين لـ ﺱ يساوي خمسة ﺱ تربيع ناقص ٢٢ﺱ زائد ثمانية، والمجال هو ﺱ الذي ينتمي للفترة المفتوحة من اليمين والمغلقة من اليسار من صفر إلى واحد.

سنتعرف الآن على كيفية تعديل هذه العملية بعض الشيء عند إيجاد خارج قسمة دالتين.

إذا كانت ﺩ وﺭ دالتين حقيقيتين؛ حيث ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع ناقص واحد، وﺭﺱ تساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ زائد خمسة، فأوجد قيمة ﺭ على ﺩ لسالب اثنين إن أمكن.

أولًا، نحن نتذكر أن ﺭ على ﺩﺱ تساوي ببساطة خارج قسمة الدالتين. وهو ﺭﺱ على ﺩﺱ. والسبب في أن السؤال يطلب إيجاد قيمة ﺭ على ﺩ لسالب اثنين «إن أمكن» هو أنه عندما نفكر في مجال الدالة الناتجة، أي ﺭ على ﺩﺱ، فإننا نفكر في تقاطع مجالي الدالتين ﺩ وﺭ. لكننا نريد أن نتأكد من أن المقام، ﺩﺱ هنا، لا يساوي صفرًا. لنبدأ إذن بالبحث عن مجالي الدالتين لدينا. ‏‏ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع ناقص واحد. حسنًا، إنها مجرد دالة كثيرة الحدود، ومجال كثيرة الحدود هو ببساطة مجموعة الأعداد الحقيقية كلها. إذن، مجال ﺩﺱ هو بالفعل مجموعة الأعداد الحقيقية كلها.

لكن الدالة ﺭﺱ أكثر تعقيدًا. لدينا هنا الجذر التربيعي لـ ﺱ زائد خمسة. ونحن نعلم أنه لكي يكون الجذر التربيعي لعدد ما حقيقيًا، لا بد أن يكون هذا العدد أكبر من أو يساوي صفرًا. إذن، نحن نعلم أن ﺱ زائد خمسة يجب أن يكون أكبر من أو يساوي صفرًا. دعونا نحل هذه المتباينة بطرح خمسة من كلا الطرفين. وعندما نفعل ذلك، نجد أن ﺱ يجب أن يكون أكبر من أو يساوي سالب خمسة. إذن، مجال الدالة ﺭﺱ يساوي ﺱ الذي ينتمي للفترة المغلقة من اليمين والمفتوحة من اليسار من سالب خمسة إلى ∞. وبذلك، سننتقل لإيجاد مجال ﺭ على ﺩﺱ. وهو تقاطع مجالي ﺩﺱ وﺭﺱ، وهو الفترة المغلقة من اليمين والمفتوحة من اليسار من سالب خمسة إلى ∞.

لكن علينا استبعاد قيم ﺱ التي تجعل المقام يساوي صفرًا. بعبارة أخرى، علينا استبعاد قيم ﺱ التي تجعل التعبير ﺱ تربيع ناقص واحد، أي الدالة ﺩﺱ، يساوي صفرًا. هذه المرة سنحل هذه المعادلة بإضافة واحد إلى كلا الطرفين، ما يعطينا ﺱ تربيع يساوي واحدًا. بعد ذلك، نأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين، ولا ننس بالطبع أخذ موجب وسالب الجذر التربيعي لواحد. وعندما نفعل ذلك، نجد أن ﺱ يساوي موجب أو سالب واحد. وهذا يعني أن مجال ﺭ على ﺩﺱ هو الفترة المغلقة من اليمين والمفتوحة من اليسار من سالب خمسة إلى ∞ ناقص المجموعة التي تتضمن العنصرين سالب واحد وواحد.

حسنًا، ماذا يعني ذلك بالنسبة إلى قيمة ﺭ على ﺩ لسالب اثنين؟ ‏‏ﺱ يساوي سالب اثنين يقع ضمن مجال الدالة، ومن ثم يمكننا إيجاد قيمته. وبهذا، سننتقل لإيجاد الدالة ﺭ على ﺩﺱ. سنأخذ الدالة ﺭﺱ، ونقسمها على الدالة ﺩﺱ؛ أي الجذر التربيعي لـ ﺱ زائد خمسة على ﺱ تربيع ناقص واحد. بعد ذلك، نوجد ﺭ على ﺩ لسالب اثنين بالتعويض عن ﺱ بسالب اثنين، فنحصل على الجذر التربيعي لسالب اثنين زائد خمسة على سالب اثنين تربيع ناقص واحد، وهو ما يمكن تبسيطه إلى الجذر التربيعي لثلاثة على ثلاثة. إذن، بمعلومية الدالتين ﺩ وﺭ، أوضحنا أن قيمة ﺭ على ﺩ لسالب اثنين هي الجذر التربيعي لثلاثة على ثلاثة.

سنستعرض الآن النقاط الرئيسية التي وردت بهذا الدرس. في هذا الفيديو، عرفنا أنه إذا كانت لدينا دالتان ﺩﺱ وﺭﺱ، فإن الدالة الناتجة ﺩ زائد ﺭﺱ هي مجموع الدالتين. وهما ﺩﺱ زائد ﺭﺱ. ورأينا أن ﺩ ناقص ﺭﺱ تساوي ﺩﺱ ناقص ﺭﺱ. كما رأينا أن ﺩ في ﺭﺱ تساوي ببساطة ﺩﺱ في ﺭﺱ. وتعلمنا أن ﺩ على ﺭﺱ تساوي ﺩﺱ على ﺭﺱ. وأخيرًا، عرفنا أن مجال الدالة الناتجة هو تقاطع مجالي ﺩ وﺭﺱ. بعبارة أخرى، لا بد أن تكون كلتا الدالتين معرفتين عند نقطة ما لكي تكون الدالة الناتجة معرفة.

رأينا أيضًا أن الشرط الإضافي الذي ينطبق فقط على قسمة دالتين هو أن المقام لا يمكن أن يساوي صفرًا. إذن، مجال ﺩ على ﺭﺱ هو تقاطع مجالي ﺩ وﺭ ناقص قيم ﺱ التي تجعل المقام يساوي صفرًا.