نسخة الفيديو النصية
إذا كان ﻝ وﻡ جذرين للمعادلة ﺱ تربيع ناقص ١٩ﺱ زائد تسعة يساوي صفرًا، فأوجد المعادلة التربيعية التي جذراها ﻝ ناقص اثنين وﻡ ناقص اثنين في أبسط صورة.
في البداية دعونا نأخذ نفسًا عميقًا استعدادًا لحل هذه المسألة. لا شك في أنها مسألة بالغة الدقة، لكن دعونا نبدأ في حلها على أي حال! المعادلة هي ﺱ تربيع ناقص ١٩ﺱ زائد تسعة يساوي صفرًا ونحتاج إلى إيجاد جذورها. فعندما ننظر إلى القيمتين تسعة وسالب ١٩، نجد أنه ليس لهما حل بسيط يمكن تحليله. سنحتاج إلى استخدام صيغة لإيجاد الجذرين هنا: سالب ﺏ زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ الكل مقسومًا على اثنين ﺃ.
ﺃ هو معامل ﺱ تربيع؛ وهو بالنسبة لنا، يساوي واحدًا. وﺏ هو معامل ﺱ وهو يساوي سالب ١٩ بالنسبة لنا. أما ﺟ فهي القيمة الثابتة ويساوي تسعة. سنعوض بهذه القيم في الصيغة. سالب ﺏ سيساوي سالب سالب ١٩ أي موجب ١٩ زائد أو ناقص الجذر التربيعي لسالب ١٩ تربيع، ويصبح أربعة ﺃﺟ أربعة في واحد في تسعة والكل مقسومًا على اثنين في واحد. سالب ١٩ تربيع هو ٣٦١ ناقص ٣٦. ثم سنقسم الحدين على اثنين كلًّا على حدة.
وبعد مزيد من التبسيط، نجد أن لدينا ١٩ على اثنين زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ ٣٢٥ على اثنين. ويمكننا تبسيط الجذر التربيعي لـ ٣٢٥، لكن ليس علينا فعل ذلك. دعونا الآن نتركه كما هو؛ الجذر التربيعي لـ ٣٢٥ على اثنين. تذكر أننا سنشير إلى جذري هذه المعادلة بـ ﻝ وﻡ. سنجعل ﻝ يساوي ١٩ على اثنين زائد الجذر التربيعي لـ ٣٢٥ على اثنين. وهذا يجعل ﻡ يساوي ١٩ على اثنين ناقص الجذر التربيعي لـ ٣٢٥ على اثنين.
والآن انتهينا بشكل أساسي من هذه المعادلة الأولى. لكننا نريد استخدام هذه المعطيات، أي استخدام الجذرين ﻝ وﻡ لمساعدتنا في كتابة معادلة جديدة: ﻝ ناقص اثنين يساوي ١٩ على اثنين زائد الجذر التربيعي لـ ٣٢٥ على اثنين ناقص اثنين. لحل هذه المعادلة، دعونا نكتب العدد الكلي اثنين على صورة كسر. العدد الكلي اثنان يساوي أربعة على اثنين على صورة كسر. سننقل فقط المعادلة لأسفل لتجميع الحدود المتشابهة. ١٩ ناقص أربعة يساوي ١٥، وهذا يجعل ﻝ ناقص اثنين يساوي ١٥ على اثنين زائد الجذر التربيعي لـ ٣٢٥ على اثنين.
علينا أن نفعل الشيء نفسه مع ﻡ. ١٩ على اثنين ناقص الجذر التربيعي لـ ٣٢٥ على اثنين ناقص أربعة على اثنين. بعد إعادة تجميع الحدود المتشابهة تصبح ١٩ على اثنين ناقص أربعة على اثنين ناقص الجذر التربيعي لـ ٣٢٥ على اثنين. وهذا يجعل ﻡ ناقص اثنين يساوي ١٥ على اثنين ناقص الجذر التربيعي لـ ٣٢٥ على اثنين. وهكذا، سيبدو الجذران الجديدان، أي قيم ﺱ الجديدة. لكن تذكر، عندما نعمل على إيجاد المعادلة، علينا مساواة هذين الجذرين بالصفر.
والآن لنستكمل الحل هنا مع الجذر ﻝ ناقص اثنين. سنطرح ١٥ على اثنين والجذر التربيعي لـ ٣٢٥ على اثنين من طرفي المعادلة. ففي الطرف الأيسر، نحذف كل شيء، ويتبقى لدينا صفر. وفي الطرف الأيمن، لدينا ﺱ ناقص ١٥ على اثنين ناقص الجذر التربيعي لـ ٣٢٥ على اثنين. سنحتفظ بهذا الحد هنا قليلًا حتى ننتهي من الحد الأيسر. سنطرح ١٥ على اثنين من طرفي المعادلة. بعد القيام بذلك، ستصبح المعادلة ﺱ ناقص ١٥ على اثنين يساوي سالب الجذر التربيعي لـ ٣٢٥ على اثنين.
تذكر أننا نحاول جعل هذه المعادلة تساوي صفرًا. وإذا أضفنا الجذر التربيعي لـ ٣٢٥ على اثنين إلى الطرف الأيمن وإلى الطرف الأيسر، فسيساوي الطرف الأيسر صفرًا، وسيساوي الطرف الأيمن ﺱ ناقص ١٥ على اثنين زائد الجذر التربيعي لـ ٣٢٥ على اثنين. وإذا أخذنا هذين القوسين وكتبناهما أحدهما بجوار الآخر، فستكون هذه هي المعادلة التربيعية التي جذراها ﻝ اثنان وﻡ اثنان. لكنها لن تكون في أبسط صورة. وهذا يعني أنه ما زال لدينا بعض العمل الذي يتعين علينا فعله.
علينا مسح بعض من الخطوات المكتوبة لإفساح مساحة أكبر لاستكمال الحل. حسنًا هذا هو الوقت المناسب لإيقاف الفيديو مؤقتًا ونسخ الخطوات المكتوبة إن كنت تريد أن تطلع عليه لاحقًا. ما سنفعله الآن هو أننا سنأخذ هذين القوسين ونضربهما معًا. فنحن نريد ضرب ﺱ ناقص ١٥ على اثنين ناقص الجذر التربيعي لـ ٣٢٥ على اثنين في ﺱ ناقص ١٥ على اثنين زائد الجذر التربيعي لـ ٣٢٥ على اثنين. وهذه صورة غير مبسطة. لكننا سنتبع العملية نفسها التي نتبعها دائمًا؛ أي ضرب حدود القوس الأول في حدود القوس الثاني.
أولًا، ﺱ في ﺱ يساوي ﺱ تربيع. ﺱ في سالب ١٥ على اثنين يساوي سالب ١٥ على اثنين ﺱ. ﺱ في الجذر التربيعي لـ ٣٢٥ على اثنين يساوي الجذر التربيعي لـ ٣٢٥ على اثنين ﺱ. والآن لننتقل إلى الحد سالب ١٥ على اثنين، سالب ١٥ على اثنين ﺱ، ثم سالب ١٥ على اثنين في سالب ١٥ على اثنين، وسنكتبه الآن على صورة سالب ١٥ على اثنين تربيع. سالب ١٥ على اثنين في الجذر التربيعي لـ ٣٢٥ على اثنين. قبل أن نواصل، سنمسح أجزاء من الحل الموجود على اليسار لإفساح مساحة.
حسنًا، لهذا الحد، لن نضرب كل هذا في الواقع. وستعرف السبب بعد لحظات. سأدعه كما هو في صورة سالب ١٥ في الجذر التربيعي لـ ٣٢٥ على اثنين في اثنين. ننتقل الآن إلى هذا الحد الأخير، وهو سالب الجذر التربيعي لـ ٣٢٥ على اثنين ﺱ. هذه المرة سيكون سالب ١٥ على اثنين في سالب الجذر التربيعي لـ ٣٢٥ على اثنين. وأخيرًا، سالب الجذر التربيعي لـ ٣٢٥ على اثنين في موجب الجذر التربيعي لـ ٣٢٥ على اثنين. والآن، دعونا نجر بعض عمليات التبسيط.
من الجيد أن نبدأ بـ ﺱ تربيع. يمكن إضافة سالب ١٥ على اثنين ﺱ إلى سالب ١٥ على اثنين ﺱ. هذا سيساوي سالب ٣٠ على اثنين ﺱ. سنضع علامة صح تحت تلك القيم. لدينا بعد ذلك الجذر التربيعي لـ ٣٢٥ على اثنين ﺱ، أي حد موجب، ثم الحد السالب، سالب الجذر التربيعي لـ ٣٢٥ على اثنين ﺱ. فيلغي كل منهما الآخر. ثم بعد ذلك لدينا سالب ١٥ على اثنين تربيع. سالب ١٥ تربيع يساوي ٢٢٥. اثنان تربيع يساوي أربعة. لقد انتهينا من هذا الحد. الحد التالي هو سالب ١٥ على اثنين في الجذر التربيعي لـ ٣٢٥ على اثنين، وسالب ١٥ على اثنين في سالب الجذر التربيعي لـ ٣٢٥ على اثنين.
كل منهما المعكوس الجمعي للآخر. الحد الموجود على اليسار موجب والحد الموجود على اليمين سالب. إذن، يلغي أحدهما الآخر. والحد الأخير هو سالب الجذر التربيعي لـ ٣٢٥ على اثنين في الجذر التربيعي الموجب لـ ٣٢٥ على اثنين. حاصل ضرب موجب في سالب يساوي سالب. الجذر التربيعي لـ ٣٢٥ في الجذر التربيعي لـ ٣٢٥ يساوي ٣٢٥، واثنان في اثنين يساوي أربعة. هل يمكننا تبسيط هذا أكثر؟ حسنًا، يمكننا تبسيط سالب ٣٠ على اثنين. سالب ٣٠ على اثنين يساوي سالب ١٥ﺱ. ٢٢٥ على أربعة ناقص ٣٢٥ على أربعة يساوي سالب ١٠٠ على أربعة. ١٠٠ على أربعة يساوي ٢٥.
ومعادلتنا الجديدة التي حصلنا عليها هي ﺱ تربيع ناقص ١٥ﺱ ناقص ٢٥. إذن، المعادلة التي جذراها ﻝ ناقص اثنين وﻡ ناقص اثنين في أبسط صورة، هي ﺱ تربيع ناقص ١٥ﺱ ناقص ٢٥. لكن إذا كنت تتساءل عما فعلناه، دعني أشجعك. شاهد الفيديو مرة أخرى، ثم حاول حل المعادلة بنفسك. اكتب كل خطوة من هذه الخطوات. فما فعلناه هو إجراء عمليات جبرية أساسية فقط، لكننا تناولنا حدودًا صعبة جدًّا بسبب هذه الجذور التربيعية. تظل الخطوات كما هي، حتى عند التعامل مع الأعداد غير النسبية. يمكنك أنت أيضًا فعل ذلك!
