نسخة الفيديو النصية
أي دالتين من الدوال الآتية متساويتان؟
لدينا في هذا السؤال خمسة أزواج من الدوال الكسرية. وفي كل خيار، الدالة ﻥ واحد تساوي واحدًا على ﺱ. في البداية دعونا نسترجع الشروط اللازمة لتساوي دالتين كسريتين.
الشرط الأول لكي تكون الدالتان ﻥ واحد وﻥ اثنان متساويتين هو أن يكون مجالاهما متساويين. ومجال الدالة الكسرية بوجه عام هو مجموعة جميع الأعداد الحقيقية ناقص المجموعة التي تحتوي على أصفار المقام. هذا يعني أنه لكي يكون مجالا الدالتين ﻥ واحد وﻥ اثنين متساويين، لا بد أن يكون لهما أصفار المقام نفسها. الشرط الثاني هو أن الدالة ﻥ واحد لا بد أن تكافئ الدالة ﻥ اثنين على المجال المشترك بينهما. والدوال المتكافئة هي دوال يمكن تبسيطها لتعطينا المقدار نفسه.
باختصار، لكي نقول إن هناك دالتين متساويتين، لا بد أن يكون لهما المجال نفسه وأن تعطيا المقدار نفسه عند التبسيط.
دعونا نفرغ الآن بعض المساحة لحل هذه المسألة. سنبدأ بإيجاد مجال الدالة ﻥ واحد. مجال الدالة الكسرية هو مجموعة جميع الأعداد الحقيقية ناقص المجموعة التي تحتوي على أصفار المقام. ويمكننا إيجاد أصفار أو حلول المقام بمساواة المقام بالصفر وإيجاد قيمة ﺱ. في هذه الحالة، ﺱ يساوي صفرًا حقيقيًّا. ومن ثم يمكننا القول إن مجال الدالة ﻥ واحد هو مجموعة جميع الأعداد الحقيقية ناقص المجموعة التي تحتوي على الصفر.
سننظر الآن إلى الدالة ﻥ اثنين في الخيار الأول، والتي تساوي ﺱ ناقص ٥٣ على ﺱ تربيع ناقص ٥٣ﺱ. سنجعل المقام يساوي صفرًا لإيجاد مجموعة الأعداد الحقيقية اللازم استبعادها من المجال. لإيجاد قيمة ﺱ، سنحلل المقدار التربيعي ﺱ تربيع ناقص ٥٣ﺱ. وبذلك، نجد أن لدينا العاملين ﺱ وﺱ ناقص ٥٣. بعد ذلك، سنساوي كل عامل بالصفر لنحصل على الحلين صفر و ٥٣. هاتان هما القيمتان اللتان علينا استبعادهما من مجال هذه الدالة. إذن، مجال الدالة ﻥ اثنين المعطاة في الخيار أ هو مجموعة جميع الأعداد الحقيقية ناقص المجموعة التي تحتوي على الصفر و ٥٣. ومجال الدالة ﻥ واحد يشمل العدد ٥٣ ؛ لذا سنستبعد الخيار أ؛ لأن المجالين غير متساويين.
مع ذلك، إذا كنا قد بدأنا بتبسيط الدالة ﻥ اثنين، فقد كنا سنظن أنها تساوي الدالة ﻥ واحدًا. وعلى الرغم من أن الدالة ﻥ اثنين تبسط إلى واحد على ﺱ، فإن هذه الحقيقة وحدها لا تجعلها تساوي الدالة ﻥ واحدًا؛ لأن مجاليهما ليسا متساويين.
سننتقل الآن إلى الخيار ب، ومرة أخرى سنجعل المقام يساوي صفرًا. بعد ذلك، نحلل المقدار التكعيبي ﺱ تكعيب ناقص ٥٣ﺱ. سنجعل كلًّا من العاملين ﺱ وﺱ تربيع ناقص ٥٣ يساوي صفرًا. وبذلك، يصبح لدينا ثلاثة حلول حقيقية، وهي الصفر والجذر التربيعي لـ ٥٣ وسالب الجذر التربيعي لـ ٥٣. هذه هي الأعداد الحقيقية المستبعدة من مجال هذه الدالة. وهذا لا يساوي مجال الدالة ﻥ واحدًا؛ لذا سنستبعد الخيار ب. وعلى الرغم من أنه يمكننا توضيح أن الدالة ﻥ اثنين في الخيار ب تبسط لتعطينا واحدًا على ﺱ؛ فإن هذا لن يغير النتيجة التي توصلنا إليها.
سنوجد الآن مجال الدالة ﻥ اثنين المعطاة في الخيار ج. سنحلل المقام ونساوي كل عامل من هذين العاملين بالصفر. لدينا ﺱ يساوي صفرًا، وﺱ تربيع زائد ٥٣ يساوي صفرًا. وعندما نحل المعادلة الثانية، نجد أنها تساوي موجب وسالب الجذر التربيعي لسالب ٥٣، وهذا لا يعطينا أعدادًا حقيقية. لذا يمكننا القول إن العدد الحقيقي الوحيد المستبعد من مجال هذه الدالة هو الصفر. هذا يعني أن الدالة ﻥ اثنين هذه لها نفس مجال الدالة ﻥ واحد. ومع ذلك ما زال علينا التأكد من تحقق الشرط الثاني لتساوي الدالتين.
سنعيد كتابة مقام الدالة ﻥ اثنين في صورته التحليلية. ويمكننا ملاحظة أن ﺱ تربيع زائد ٥٣ عاملًا مشتركًا في البسط والمقام؛ لذا سنحذفه. ومن ثم يتبقى لدينا المقدار المبسط واحد على ﺱ. وبذلك نكون قد أوضحنا أن هاتين الدالتين متساويتان؛ لأن مجاليهما متساويان، وكل من الدالتين ﻥ اثنين وﻥ واحد يبسط إلى المقدار نفسه.
دعونا نتحقق من الخيارين المتبقيين لدينا.
في الخيار د، سنجعل مقام الدالة ﻥ اثنين يساوي صفرًا. قيمة ﺱ الوحيدة التي تحقق المعادلة ﺱ تربيع يساوي صفرًا هي العدد الحقيقي صفر. هذا يعني أن مجال الدالة ﻥ اثنين هنا هو نفس مجال الدالة ﻥ واحد، أي مجموعة جميع الأعداد الحقيقية ناقص المجموعة التي تحتوي على الصفر.
المشكلة التي ستواجهنا في الخيار د هي المقدار الذي سنحصل عليه عند تبسيط الدالة ﻥ اثنين. عندما نحلل البسط، نحصل على ﺱ في ﺱ زائد ٥٣. وعندما نحلل المقام، نحصل على ﺱ في ﺱ. يحذف العامل المشترك ﺱ في كل من البسط والمقام معًا ليتبقى لدينا المقدار المبسط ﺱ زائد ٥٣ على ﺱ. لكن، هذا المقدار المبسط لا يكافئ المقدار الممثل للدالة ﻥ واحد. لذا، على الرغم من أن مجالي الدالتين متساويان، فعلينا استبعاد الخيار د أيضًا.
وأخيرًا، سننتقل إلى الخيار هـ. يمكننا ملاحظة أن المقام ﺱ تربيع زائد ٥٣ﺱ يحتوي على صفرين حقيقيين، وهما سالب ٥٣ وصفر. هاتان هما القيمتان المستبعدتان من مجال هذه الدالة، وهذا يجعله أكثر تقييدًا مقارنة بمجال الدالة ﻥ واحد. وإذا أردنا تبسيط هذا المقدار، فسنجد أنه يساوي واحدًا على ﺱ. لكن بما أن المجالين غير متساويين هنا، فسنستبعد أيضًا هذا الخيار على أي حال.
إذن، يمكننا استنتاج أن الدالتين المعطاتين في الخيار ج متساويتان، وذلك يرجع إلى حقيقة أن لهما المجال نفسه ولهما المقدار نفسه بعد التبسيط.
