نسخة الفيديو النصية
أوجد مساحة الشكل السداسي المنتظم الذي طول ضلعه ٣٥ سنتيمترًا لأقرب منزلتين عشريتين.
هيا نلق نظرة على الشكل السداسي لدينا. لقد رسمنا هنا شكلًا سداسيًّا منتظمًا. وطول كل ضلع من أضلاعه يساوي ٣٥ سنتيمترًا. ونحن نعرف ذلك لأن الشكل السداسي المنتظم هو شكل سداسي تتساوى فيه أطوال جميع أضلاعه. وتتساوى أيضًا جميع قياسات زواياه الداخلية. ما فعلناه الآن هو أننا قسمنا الشكل السداسي إلى ستة مثلثات متساوية. وكل الزوايا التي صنعتها تلك المثلثات عند مركز الدائرة ستكون متساوية في القياس، لأنه كما نعرف، كل هذه المثلثات متطابقة؛ وذلك لأن لدينا شكلًا سداسيًّا منتظمًا.
حسنًا، بما أننا نحاول إيجاد القياس 𝜃 لكل زاوية من هذه الزوايا، فسنقسم ٣٦٠ على ستة. وذلك لأن هذه الزوايا تصنع دائرة كاملة عند المركز. ونحصل من ذلك على ٦٠ درجة. إذن، نحن نعرف أن قياس كل زاوية من هذه الزوايا يساوي ٦٠ درجة. لكن ما نعرفه أيضًا عن كل مثلث من هذه المثلثات هو أن الخطين اللذين يمثلان ضلعين من أضلاع المثلث، أي الخطين الممتدين من الحافة إلى المركز، متساويان في الطول. ولأن هذه الأضلاع جميعها متساوية في الطول، فإن زوايا القاعدة في المثلثات لدينا يجب أن تكون أيضًا متساوية في القياس.
ولحساب قياس كل زاوية من هذه الزوايا، سنكتب ١٨٠، لأن هذا هو مجموع قياسات زوايا المثلث؛ ناقص ٦٠، لأن هذا هو قياس الزاوية العليا؛ ثم نقسم على اثنين، وذلك لأن هناك زاويتي قاعدة. هذا يساوي ١٢٠ على اثنين. و١٢٠ على اثنين يساوي ٦٠ درجة. ومن ثم، يمكننا قول إن كل مثلث من المثلثات التي يتكون منها الشكل السداسي المنتظم سيكون مثلثًا متساوي الأضلاع لأن قياسات زواياه الداخلية هي ٦٠ و٦٠ و٦٠. وعليه، إذا أردنا إيجاد مساحة الشكل السداسي المنتظم، فكل ما علينا فعله هو إيجاد مساحة أحد المثلثات ثم الضرب في ستة؛ لأن جميع المثلثات لدينا متطابقة.
حسنًا، إذا ألقينا نظرة على المثلث الذي لدينا وأردنا إيجاد مساحته، فكل ما علينا فعله هو ضرب نصف في طول القاعدة في الارتفاع العمودي. إذن، إذا أردنا إيجاد مساحة المثلث الذي لدينا، فسنجد أنها تساوي نصفًا في طول القاعدة في الارتفاع. والمقصود بالارتفاع هو الارتفاع العمودي، وحددنا ذلك بخط متقطع برتقالي هنا. ويمكننا معرفة هذا الارتفاع العمودي؛ لأن لدينا زاوية قائمة في الأسفل.
كيف يمكننا إذن إيجاد قيمة ﻉ؟ حسنًا، إذا ألقينا نظرة على المثلث الذي تم تقسيمه إلى اثنين، فسنجد أن لدينا مثلثين قائمي الزاوية. سنتناول المثلث الموجود بالجانب الأيمن. وهو عبارة عن مثلث ارتفاعه، أو ارتفاعه العمودي، هو ﻉ. لدينا الوتر، وطوله يساوي ٣٥ سنتيمترًا. ولدينا القاعدة، وطولها يساوي ١٧٫٥ سنتيمترًا؛ لأن طولها يساوي نصفًا في ٣٥ سنتيمترًا.
حسنًا، بما أن هذا المثلث قائم الزاوية، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس التي توضح أن ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع يساوي ﺟ تربيع. وعليه، فإن مجموع مربعي طولي الضلعين القصيرين يساوي مربع طول الضلع الأطول؛ أي مربع طول الوتر. إذا أعدنا ترتيب ذلك لإيجاد طول أحد الضلعين القصيرين، فيمكننا قول إن مربع طول الضلع القصير يساوي مربع طول الوتر ناقص مربع طول الضلع القصير الآخر.
وبذلك، يصبح لدينا ﻉ تربيع يساوي ٣٥ تربيع ناقص ١٧٫٥ تربيع. إذن ﻉ تربيع يساوي ٩١٨٫٧٥. وإذا أخذنا الجذر التربيعي لكلا طرفي المعادلة، فسنحصل على ﻉ يساوي ٣٠٫٣١، وهكذا مع توالي الأرقام. وهذا هو ﻉ، أي الارتفاع العمودي. في هذه المرحلة، لن نقوم بالتقريب لأننا نريد الحل بدقة.
حسنًا، ما يمكننا فعله الآن هو إيجاد مساحة المثلث. يمكننا إيجادها لأننا نعرف أنها تساوي نصفًا في طول القاعدة في الارتفاع. ومن ثم، يكون لدينا نصف في ٣٥ في ٣٠٫٣١ وهكذا مع توالي الأرقام، ما يعطينا ٥٣٠٫٤٤٠ وهكذا مع توالي الأرقام. مرة أخرى، لن نقوم بالتقريب في هذه المرحلة لأننا نريد الحل بدقة.
من الجدير بالذكر أن الارتفاع يكون بالسنتيمتر، وهذه المساحة ستكون بالسنتيمتر المربع، لكننا سنضع هذه الوحدة في النهاية عندما نحسب القيمة النهائية للمساحة. إذن لإيجاد مساحة الشكل السداسي، سنضرب مساحة المثلث لدينا، والتي تساوي ٥٣٠٫٤٤٠، في ستة. وذلك لأن لدينا ستة مثلثات متطابقة تكون الشكل السداسي.
وعندما نحسب ذلك، نحصل على ٣١٨٢٫٦٤ سنتيمترًا مربعًا، وهذا لأقرب منزلتين عشريتين. إذن، هذه هي مساحة الشكل السداسي المنتظم. حسنًا، ما يمكننا فعله الآن هو التحقق من الإجابة. ويمكننا فعل ذلك لأن هناك صيغة قد نصادفها لحساب مساحة الشكل السداسي المنتظم. وهي أن المساحة تساوي ثلاثة جذر ثلاثة على اثنين في ﺃ تربيع؛ حيث ﺃ هو طول أحد الأضلاع.
وبذلك، يمكننا قول إن مساحة الشكل السداسي تساوي ثلاثة جذر ثلاثة على اثنين في ٣٥ تربيع، حيث ﺃ يساوي ٣٥، وهذا يعطينا ٣١٨٢٫٦٤. إذن، يمكننا بكل تأكيد قول إن هذه هي المساحة الصحيحة للشكل السداسي.
