فيديو: امتحان التفاضل والتكامل للعام السابق • ٢٠١٨/٢٠١٧ • السؤال الثاني

امتحان التفاضل والتكامل للعام السابق • ٢٠١٨/٢٠١٧ • السؤال الثاني

٠٦:٢٩

‏نسخة الفيديو النصية

اوجد الفترة التي يكون فيها منحنى الدالة د س بتساوي س ناقص اتنين الكل مضروب في هـ أُس س محدبًا لأعلى.

في البداية لو عندنا أي دالة، ولتكن الدالة ر س. فمن خلال المشتقة الأولى للدالة ر س، نقدر ندرس تزايد وتناقص الدالة، والنقاط القصوى المحلية، والنقاط القصوي المطلقة. ومن خلال المشتقة التانية للدالة ر س، نقدر ندرس تحدُّب منحنى الدالة ونقاط الانقلاب. وبما إن مطلوب نوجد الفترة اللي بيكون فيها منحنى الدالة د س محدَّبًا؛ لأعلى يعني محتاجين ندرس تحدُّب منحنى الدالة. وبالتالي هنستخدم المشتقة التانية للدالة.

وعشان نقدر ندرس تحدُّب منحنى الدالة، محتاجين ننفذ بعض الخطوات. أول خطوة محتاجين نوجد المشتقة التانية للدالة د س. تاني خطوة محتاجين نوجد قيم س عندما تكون المشتقَّة التانية للدالة د س بتساوي صفر. تالت خطوة محتاجين ندرس إشارة المشتقة التانية للدالة د س، في الفترة اللي هتكون فيها المشتقّة التانية للدالة د س إشارتها موجبة، هيكون عندنا تحدُّب لأسفل في منحنى الدالة. وفي الفترة اللي هتكون فيها المشتقة التانية للدالة د س إشارتها سالبة، هيكون عندنا تحدُّب لأعلى في منحنى الدالة.

وبتنفيذ الخطوات. أول خطوة محتاجين نوجد المشتقة التانية للدالة د س. مُعطى إن د س بتساوي س ناقص اتنين الكل مضروب في هـ أُس س. فهنلاحظ إن د س عبارة عن حاصل ضرب دالتين. أول دالة هي س ناقص اتنين، وتاني دالة هي هـ أُس س. وعشان نوجد مشتقة حاصل ضرب دالتين، فلو مثلًا عندنا دالتين الدالة أ س والدالة ب س، وعايزين نوجد د على د س لحاصل ضرب الدالتين أ س وَ ب س. فهيساوي أ س مضروبة في مشتقَّة الدالة ب س، زائد مشتقة الدالة أ س مضروبة في الدالة ب س. وبالتالي مشتقة الدالة د س هتساوي الدالة الأولى اللي هي س ناقص اتنين، مضروبة في مشتقة الدالة التانية. مشتقَّة هـ أُس س هتساوي هـ أُس س. زائد مشتقة الدالة الأولى؛ يعني مشتقَّة س ناقص اتنين. مشتقَّة س ناقص اتنين هتساوي واحد مضروبة في الدالة التانية. والدالة التانية هي هـ أُس س.

بأخذ هـ أُس س عامل مشترك، هيكون عندنا المشتقَّة الأولى للدالة د س هتساوي هـ أُس س مضروبة في س ناقص اتنين زائد واحد. س ناقص اتنين زائد واحد هتساوي س ناقص واحد. يعني كده قدرنا نوجد إن المشتقة الأولى للدالة د س، هتساوي هـ أُس س مضروبة في س ناقص واحد.

عشان نقدر نوجد المشتقَّة التانية للدالة د س، فهتساوي … هنلاحظ إن عندنا حاصل ضرب دالتين. أول دالة اللي هي هـ أُس س، وتاني دالة هي س ناقص واحد. وبالتالي المشتقة التانية للدالة د س هتساوي الدالة الأولى اللي هي هـ أُس س، مضروبة في مشتقة الدالة التانية. الدالة التانية هي س ناقص واحد. ومشتقة س ناقص واحد هتساوي واحد. زائد مشتقة الدالة الأولى؛ يعني مشتقة هـ أُس س. مشتقَّة هـ أُس س هتساوي هـ أُس س. مضروبة في الدالة التانية اللي هي س ناقص واحد. هناخد هـ أُس س عامل مشترك، فهيكون عندنا المشتقة التانية للدالة د س هتساوي هـ أُس س مضروبة في س ناقص واحد زائد واحد. وَ س ناقص واحد زائد واحد هتساوي س. يعني المشتقَّة التانية للدالة د س هتساوي هـ أُس س مضروبة في س.

يبقى كده قدرنا نوجد المشتقَّة التانية للدالة د س.

بالنسبة تاني خطوة، محتاجين نوجد قيم س اللي بتكون عندها المشتقَّة التانية للدالة د س بتساوي صفر. فهنساوي المشتقَّة التانية للدالة د س بصفر. وبما إن المشتقة التانية للدالة د س بتساوي هـ أُس س مضروبة في س. يعني ممكن نكتبها في صورة س مضروبة في هـ أُس س. وبما إنها هتساوي صفر، فهنساوي س في هـ أُس س بصفر. عشان س في هـ أُس س تكون بتساوي صفر، هيكون عندنا حالتين. أول حالة إن س تكون بتساوي صفر، أو هـ أُس س تكون بتساوي صفر. وهنلاحظ إن هـ أُس س لا يمكن أن تساوي صفر لجميع قيم س اللي بتنتمي لمجموعة الأعداد الحقيقية. وبالتالي الحالة الوحيدة اللي هتكون عندنا إن س تكون بتساوي صفر. ويبقى قدرنا نوجد قيم س اللي بتجعل المشتقة التانية للدالة د س بتساوي صفر.

بالنسبة لتالت خطوة، محتاجين ندرس إشارة المشتقة التانية للدالة د س. فهنرسم جدول وهيكون بالشكل ده. فأول صف هيكون عندنا قيم س. تاني صف إشارة المشتقّة التانية للدالة د س. وتالت صف تحدُّب منحنى الدالة د س. بالنسبة لقيم س، قدرنا نوجد إن عند س بتساوي صفر، المشتقة التانية للدالة د س هتكون بتساوي صفر. وهيكون عندنا ما لا نهاية وسالب ما لا نهاية. وهنلاحظ إن عندنا فترتين. أول فترة من صفر لما لا نهاية. وتاني فترة من سالب ما لا نهاية إلى صفر.

أول حاجة بالنسبة للفترة من صفر إلى ما لا نهاية. محتاجين ندرس إشارة المشتقَّة التانية للدالة د س في الفترة. هنختار أي قيمة لِـ س بداخل الفترة. مثلًا عند س بتساوي واحد. فمحتاجين نوجد قيمة المشتقة التانية للدالة د س، لما س تكون بتساوي واحد. فهتساوي … هنعوّض عن س بواحد؛ يعني هيكون عندنا هـ أُس واحد مضروبة في واحد. يعني هتساوي هـ. فهنلاحظ إن إشارة المشتقَّة التانية للدالة د س في الفترة من صفر لما لا نهاية، هتكون إشارتها موجبة.

وبالنسبة لإشارة المشتقة التانية للدالة د س في الفترة من سالب ما لا نهاية إلى صفر، هنختار أي قيمة لِـ س بداخل الفترة. مثلًا عند س بتساوي سالب واحد. فهنوجد قيمة المشتقة التانية للدالة د س عند س بتساوي سالب واحد. فهنعوّض عن س بسالب واحد. فهيكون عندنا هـ أُس سالب واحد مضروبة في سالب واحد. يعني هتساوي سالب هـ أُس سالب واحد. فهنلاحظ إن إشارة المشتقة التانية للدالة د س هتكون سالبة.

يبقى كده قدرنا ندرس إشارة المشتقَّة التانية للدالة د س. وبما إن إشارة المشتقَّة التانية للدالة د س هتكون موجبة في الفترة من صفر لما لا نهاية. فهيكون عندنا تحدُّب لأسفل في منحنى الدالة د س؛ يعني هيكون بالشكل ده. وبما إن إشارة المشتقة التانية للدالة د س هتكون سالبة في الفترة من سالب ما لا نهاية إلى صفر. فهيكون عندنا تحدُّب لأعلى في منحنى الدالة د س، وهيكون بالشكل ده. وبالتالي يكون قدرنا ندرس تحدُّب منحنى الدالة د س.

مطلوب نوجد الفترة اللي بيكون فيها منحنى الدالة د س محدَّبًا لأعلى. فهنلاحظ إن الفترة اللي بيكون فيها منحنى الدالة د س محدَّبًا لأعلى، هتكون هي الفترة من سالب ما لا نهاية إلى صفر. يبقى منحنى الدالة د س هيكون محدَّبًا لأعلى في الفترة المفتوحة من سالب ما لا نهاية إلى صفر.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.