فيديو الدرس: النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل: إيجاد قيمة التكامل المحدد الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل: إيجاد قيمة التكاملات المحددة. في هذا الفيديو، سنتعلم كيفية إيجاد قيمة التكاملات المحددة باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل. يتكون نص النظرية عادة من جزأين. من أجل غرض هذا الفيديو، سنركز على الجزء الثاني. يتعلق هذا الجزء بالحالة التي تكون فيها ﺩ دالة متصلة على الفترة المغلقة بين ﺃ وﺏ، وتكون ﻕ أي مشتقة عكسية للدالة ﺩ. ويرمز لها هنا بـ ﻕ شرطة (ﺱ) تساوي ﺩ(ﺱ). في هذه الحالة، يكون التكامل بين ﺃ وﺏ للدالة ﺩ(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﻕ(ﺏ) ناقص ﻕ(ﺃ).

والجدير بالذكر هنا أننا ذكرنا أن ﻕ هي أي مشتقة عكسية لـ ﺩ. هذا يعني أنه إذا كان هناك عدة مشتقات عكسية، فلا يهم أي مشتقة نختارها لتطبيق هذه النظرية. ولكي نفهم ذلك، دعونا نتذكر ما نعنيه بالمشتقة العكسية. لا بد من أنك تعلم الآن أن الجزء الأول من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل ينص بشكل أساسي على أن التفاضل والتكامل عمليتان عكسيتان. هذا يعني أنه يمكننا إيجاد الصورة العامة للمشتقة العكسية لأي دالة، ﺩ(ﺱ)، عن طريق إيجاد قيمة التكامل غير المحدد لهذه الدالة. فلنتناول مثالًا لدالة. ‏ﺩ واحد (ﺱ) تساوي اثنين ﺱ. المشتقة العكسية لهذه الدالة، ﻕ واحد (ﺱ)، ستساوي التكامل غير المحدد لاثنين ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

لحل ذلك، نستخدم قاعدة القوى للتكامل، بزيادة قوة ﺱ بمقدار واحد، والقسمة على القوة الجديدة. وبالطبع، يجب ألا ننسى هنا إضافة ثابت التكامل، ﺙ. بشكل أبسط، نكتب إجابتنا بالصورة: ﺱ تربيع زائد ﺙ. ثابت التكامل ﺙ هذا يمكن أن يأخذ أي قيمة نريدها. وسيبقى التعبير مشتقة عكسية من عدد لا نهائي من المشتقات العكسية للدالة الأصلية ﻕ واحد (ﺱ). إذا اعتبرنا أن ﺙ يساوي صفرًا، فالدالة ﻕ واحد (ﺱ) ستساوي ﺱ تربيع. وعند ﺙ يساوي خمسة نحصل على المشتقة العكسية ﺱ تربيع زائد خمسة. ويمكن أن يساوي ﺙ أيضًا سالب 𝜋، وهو ما يعني أن هذه المشتقة العكسية ستساوي ﺱ تربيع ناقص 𝜋. كل هذه مشتقات عكسية لاثنين ﺱ.

بالنظر إلى أن النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل تسمح لنا باستخدام أي من هذه المشتقات العكسية لإيجاد قيمة تكامل محدد، ماذا نفعل؟ دعونا نستكمل استخدام مثال الدالة ﺩ واحد (ﺱ) تساوي اثنين ﺱ. الآن نريد إيجاد التكامل المحدد بين ﺃ وﺏ لهذه الدالة. تخبرنا النظرية أن هذا التكامل يساوي المشتقة العكسية ﻕ واحد (ﺏ) ناقص ﻕ واحد (ﺃ). ويمكننا اختيار إحدى المشتقات العكسية التي لدينا عشوائيًّا، مثل: ﺱ تربيع زائد خمسة. إذا كانت ﻕ واحد (ﺱ) تساوي ﺱ تربيع زائد خمسة، فإن ﻕ واحد (ﺏ) تساوي ﺏ تربيع زائد خمسة. ونتبع المنطق نفسه مع الدالة ﻕ واحد (ﺃ). وبالتبسيط، نلاحظ أن لدينا الحدين موجب خمسة، وسالب خمسة؛ اللذين يلغي كل منهما الآخر. وبذلك يتبقى لدينا ﺏ تربيع ناقص ﺃ تربيع.

وفي الحقيقة، إذا استخدمنا الصورة العامة التي تتضمن أي ثابت ﺙ، فسيحدث الشيء نفسه. إذن، بغض النظر عن الثابت الذي نستخدمه، نحصل على النتيجة نفسها. في ضوء ذلك، يمكننا ببساطة تجاهل ثابت التكامل تمامًا عند إيجاد قيمة أي تكامل محدد. وهذا يشبه بشكل أساسي الحالة التي يساوي فيها ﺙ صفرًا. إذا كنا قد بدأنا بهذه الحالة، فكنا سنتوصل إلى الإجابة نفسها، لكن بخطوات حل أقل.

لنتناول الآن مثالًا على هذه النظرية بشكل عملي.

بفرض أن الدالة ﺩ(ﺱ) تساوي ستة ﺱ تربيع زائد واحد. أوجد قيمة التكامل المحدد لـ ﺩ من ﺱ يساوي اثنين إلى ﺱ يساوي ثلاثة.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد قيمة تكامل محدد، والذي سيبدو بهذا الشكل عند استخدام الصيغة القياسية. نلاحظ أن الدالة التي سيتم تكاملها هي الدالة ﺩ(ﺱ). وحدا التكامل هما: اثنان، وثلاثة؛ كما هو موضح في السؤال. لإيجاد قيمة هذا التكامل المحدد، سنستخدم الجزء الثاني من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل. يتعلق ذلك الجزء بالحالة التي تكون فيها ﺩ دالة متصلة على الفترة المغلقة بين ﺃ وﺏ، وﻕ شرطة لـ ﺱ تساوي ﺩ(ﺱ). بعبارة أخرى، تكون ﻕ مشتقة عكسية للدالة ﺩ. في هذه الحالة، يكون التكامل بين ﺃ وﺏ لـ ﺩ(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﻕ(ﺏ) ناقص ﻕ(ﺃ).

لنطبق الآن هذه النظرية لحل المسألة. الدالة ﺩ(ﺱ) تساوي ستة ﺱ تربيع زائد واحد. لإيجاد هذه المشتقة العكسية، ﻕ(ﺱ)، يمكننا إيجاد تكامل ﺩ(ﺱ). إذا طبقنا قاعدة القوى للتكامل، بزيادة قوة ﺱ بمقدار واحد في كل حد من الحدود الموجودة لدينا ثم القسمة على القوة الجديدة، نحصل على الإجابة ستة ﺱ تكعيب على ثلاثة زائد ﺱ. ونضيف أيضًا ثابت التكامل ﺙ. في هذه المرحلة، علينا تذكر أن النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل تسمح لنا باستخدام أي مشتقة عكسية، وهو ما يعني أن ﺙ يمكن أن يأخذ أي قيمة. من المنطقي أن نختار أبسط حالة ممكنة، وهي عندما يساوي ﺙ صفرًا. وفي الأساس هذا يعني أنه يمكننا تجاهل هذا الثابت. وبالتبسيط، تساوي المشتقة العكسية التي سنستخدمها اثنين ﺱ تكعيب زائد ﺱ. رائع. فلنضع هذه المشتقة العكسية جانبًا، ونرجع إلى العملية الحسابية الأصلية.

المطلوب في السؤال هو إيجاد قيمة هذا التكامل المحدد. الحد العلوي للتكامل هو ثلاثة. والحد السفلي اثنان. وتخبرنا النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل أن هذا التكامل يساوي ﻕ(ثلاثة) ناقص ﻕ(اثنين). والآن، بما أننا أوجدنا قيمة ﻕ(ﺱ)، وهي المشتقة العكسية، يمكننا التعويض بالقيمتين ثلاثة واثنين في هذه الدالة. بعد التعويض بالقيمتين، يمكننا إجراء بعض عمليات التبسيط على المقدار الجديد. وبعد إجراء عمليات التبسيط، نتوصل إلى الإجابة ٣٩. بهذه الخطوة نكون قد انتهينا من السؤال. قيمة التكامل المحدد المعطى في السؤال هي ٣٩. أوجدنا قيمة هذا التكامل باستخدام المشتقة العكسية للدالة ﻕ(ﺱ) المعطاة. وكانت الوسيلة التي استخدمناها لمساعدتنا هي الجزء الثاني من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل.

قبل الانتقال إلى ما بعد، سنضيف معلومة سريعة حول الصيغة. بمعلومية التكامل المحدد بين ﺃ وﺏ للدالة ﺩ(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ، سترى عادة الخطوة التالية مكتوبة بالصورة الآتية. تكون المشتقة العكسية للدالة المعطاة مكتوبة داخل أقواس بهذا الشكل، وحدا التكامل موجودين على جانب القوس الأيسر. وهذا اختصار. فهو طريقة للتعبير عن المشتقة العكسية في صورة دالة قبل التعويض بحدود التكامل وإيجاد القيمة. وهي طريقة مشابهة للطريقة التي أصبحنا على دراية بها الآن، وهي ﻕ(ﺏ) ناقص ﻕ(ﺃ). سترى هذه الخطوة في أغلب الأحيان؛ إذ إنها اختصار مفيد للغاية وتساعدنا على تنظيم الحل.

نعود إلى مثال الدالة السابق، ﺩ واحد (ﺱ) يساوي اثنين ﺱ. إذا حسبنا التكامل المحدد بين واحد وثلاثة لهذه الدالة بالنسبة إلى ﺱ، فستبدو الخطوة التالية هكذا؛ حيث تكون المشتقة العكسية لـ ﺩ واحد (ﺱ) بين قوسين، كما هو موضح. نتابع الحل بعد ذلك لإيجاد القيمة عن طريق التعويض بثلاثة وواحد، وهما حدا التكامل. ونتوصل في النهاية إلى الناتج ثمانية.

لنتناول مثالًا باستخدام هذه الصيغة.

أوجد قيمة التكامل بين صفر واثنين لاثنين جا ﺱ ناقص ثلاثة ﻫ أس ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

للإجابة عن هذا السؤال، سنستخدم الجزء الثاني من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل. يتعلق هذا الجزء بالحالة التي تكون فيها ﺩ دالة متصلة على الفترة المغلقة بين ﺃ وﺏ، وﻕ أي مشتقة عكسية لـ ﺩ. في هذه الحالة، يكون التكامل بين ﺃ وﺏ للدالة ﺩ(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﻕ(ﺏ) ناقص ﻕ(ﺃ). بالنظر مرة أخرى إلى السؤال، أول شيء قد نلاحظه هو أن الدالة ﺩ، وهي الدالة التي سيتم تكاملها، تتكون من حدين مختلفين. يتضمن الحد الأول دالة الجيب المثلثية. والحد الثاني يتضمن الدالة الأسية ﻫ. يجب أن نكون على دراية الآن بحقيقة أن الدوال المثلثية والأسية على هذه الصورة تكون متصلة على مجموعة الأعداد الحقيقية بالكامل. وبذلك نكون قد حققنا الشرط الذي يفيد أن الدالة ﺩ يجب أن تكون متصلة على الفترة المغلقة بين ﺃ وﺏ، والتي تكون في هذه الحالة الفترة المغلقة بين صفر واثنين.

والآن، بما أن لدينا حدين، فقد يكون الحل أوضح إذا قسمنا هذين الحدين إلى تكاملين منفصلين. سنقوم بذلك بهذه الصورة، مع الاحتفاظ بحدي التكامل كما هما في الحدين. يمكننا الآن إيجاد قيمة كل تكامل من هذين التكاملين بشكل منفصل. المشتقة العكسية لاثنين جا ﺱ تساوي سالب اثنين جتا ﺱ. والمشتقة العكسية لسالب ثلاثة ﻫ أس ﺱ تساوي سالب ثلاثة ﻫ أس ﺱ. تذكر أنه يمكننا تجاهل ثابت التكامل في الحالتين نظرًا لأننا نتعامل مع تكاملات محددة.

نلاحظ هنا أننا عبرنا عن المشتقة العكسية داخل أقواس، مع وجود حدي التكامل بجانب القوس الأيسر في كلتا الحالتين. وبما أن كلًّا من هذين القوسين له نفس حدي التكامل، يمكننا تجميعهما بسهولة. قد نلاحظ هنا أنه كان بإمكاننا الانتقال مباشرة من التكامل الأصلي إلى هذه الخطوة، بالتعامل مع كل حد بشكل منفرد. فبدلًا من تقسيم التكامل إلى تكاملين ثم تجميعهما، نوجد ببساطة المشتقة العكسية لكل حد. لكن إذا لم تكن متأكدًا، فلا ضرر من استخدام الطريقة بجميع خطواتها.

لمتابعة حل السؤال، نعوض الآن بحدي التكامل، وهما: صفر، واثنان. ونتوصل إلى المقدار التالي. فيما يخص القوس الأول، لا حاجة لأي عمليات تبسيط. ومن ثم، يمكننا تركه كما هو. وفيما يتعلق بالقوس الثاني، يمكننا تذكر أن جتا صفر يساوي واحدًا. إذن، سالب اثنين جتا صفر يساوي سالب اثنين. بجانب ذلك، ﻫ أس صفر يساوي واحدًا أيضًا. وبالتالي، سالب ثلاثة ﻫ أس صفر يساوي سالب ثلاثة. فيصبح القوس الثاني سالب اثنين ناقص ثلاثة، وهو ما يساوي سالب خمسة. لكننا في الحل النهائي، نطرح ذلك. فيتبقى لدينا موجب خمسة. والآن نكون قد توصلنا إلى الحل النهائي. فقيمة التكامل المحدد المعطى في السؤال تساوي سالب اثنين جتا اثنين ناقص ثلاثة ﻫ تربيع زائد خمسة.

إذا عاودنا النظر إلى النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، نجد أن ثمة شرطًا آخر مهمًّا علينا وضعه في الاعتبار وهو اتصال الدالة ﺩ التي سيتم تكاملها. تذكر أن النظرية تنص على أن الدالة يجب أن تكون متصلة على الفترة المغلقة بين ﺃ وﺏ. وﺃ وﺏ هما حدا التكامل. إذا كانت ﺩ غير متصلة على هذه الفترة، فلا يمكننا القول بثقة إن هذه العلاقة صحيحة. لتوضيح ذلك، دعونا ننظر إلى الدالة واحد على الجذر التربيعي لـ ﺱ. إذا رسمنا التمثيل البياني لهذه الدالة، فقد يبدو بهذا الشكل. والآن فلنحسب التكامل المحدد لهذه الدالة بين واحد واثنين بالنسبة إلى ﺱ. يمكن تفسير ذلك بأنه المساحة أسفل المنحنى بين واحد واثنين، كما هو موضح على هذا التمثيل البياني.

لإيجاد قيمة ذلك، يمكننا إعادة كتابة واحد على الجذر التربيعي ﺱ؛ بحيث تصبح قوة ﺱ في صورة يسهل التعامل معها. فنستخدم قاعدة القوى المعروفة للتكامل. ثم نبسط. وإذا واصلنا الحل، فلن نواجه أي مشاكل. وسنتوصل إلى حل عددي. لكن ما الذي كان سيحدث إذا طلب منا إيجاد قيمة التكامل المحدد بين سالب واحد وواحد؟ في هذه الحالة، قد نبدأ في مواجهة بعض المشاكل. من المفترض أن يكون واضحًا من التمثيل البياني أن ﺩ(ﺱ) دالة غير معرفة عندما يكون ﺱ أقل من أو يساوي صفرًا. ومحاولة تخيل المساحة أسفل المنحنى بين هذين الحدين ستكون بلا معنى. بما أن هذه الدالة غير معرفة على جزء من الفترة المغلقة بين سالب واحد وواحد، فلا يمكن اعتبارها دالة متصلة. ومن ثم، يكون من غير المنطقي مواصلة الحل؛ إذ لا يمكننا استخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل لإيجاد قيمة هذا التكامل.

لنلق نظرة على مثال لتوضيح ذلك.

أوجد قيمة التكامل بين أربعة وتسعة لسالب اثنين في الجذر التربيعي لـ ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

في هذا السؤال، المطلوب منا هو إيجاد قيمة تكامل محدد. في هذا النوع من الأسئلة، قد يكون نقل العوامل الثابتة مفيدًا أحيانًا، مثل نقل سالب اثنين من داخل الدالة التي سيتم تكاملها إلى خارج علامة التكامل. وقد نجد من المفيد أيضًا إعادة كتابة الجذر التربيعي لـ ﺱ في صورة: ﺱ أس نصف أو ﺱ أس ٠٫٥. وسنعرف السبب بعد لحظات. لمواصلة حل هذا السؤال، سنستخدم الجزء الثاني من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل. فيمنحنا ذلك طريقة لإيجاد قيمة التكاملات المحددة باستخدام المشتقة العكسية للدالة التي تتكون منها الدالة التي سيتم تكاملها.

نلاحظ هنا أن النظرية تنص على أن الدالة ﺩ يجب أن تكون متصلة على الفترة المغلقة بين ﺃ وﺏ. ويمثل ﺃ وﺏ حدي التكامل، وهما في هذه الحالة: أربعة، وتسعة. والدالة التي نتعامل معها، وهي ﺩ، تساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ، الذي عبرنا عنه في صورة: ﺱ أس نصف. هذه الدالة ليست متصلة على كل مجموعة الأعداد الحقيقة، لكنها تكون متصلة فقط عندما يكون ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا. ولحسن الحظ، كلا حدي التكامل المحدد، أربعة وتسعة، أكبر من صفر. ومن ثم، يمكننا القول إن الجذر التربيعي لـ ﺱ دالة متصلة على الفترة المغلقة بين أربعة وتسعة. هذا يعني أنه لا بأس على الإطلاق من استخدام النظرية.

لمواصلة إيجاد القيمة، نستخدم قاعدة القوى للتكامل من خلال زيادة قوة ﺱ بمقدار واحد، والقسمة على القوة الجديدة. وبالتالي، تكون المشتقة العكسية لـ ﺱ أس نصف هي اثنان على ثلاثة في ﺱ أس ثلاثة على اثنين. ومرة أخرى، سننقل هذا العامل الثابت إلى خارج القوس لإجراء عملياتنا الحسابية على نحو أسهل. بعد ذلك، نعوض بحدي التكامل. في هذه المرحلة، قد يكون من الأفضل كتابة القوة ثلاثة على اثنين في صورة مكعب جذر تربيعي. وما يسهل الأمر أن تسعة وأربعة عددان مربعان. ويمكننا تبسيط ما في داخل القوس ليكون ثلاثة تكعيب ناقص اثنين تكعيب. يمكننا الآن المضي قدمًا بإجراء بضع خطوات تبسيط أخرى. وأخيرًا، نحصل على الإجابة سالب ٧٦ على ثلاثة. هذه هي الإجابة النهائية للسؤال.

لقد أوجدنا قيمة التكامل المحدد المعطى باستخدام الجزء الثاني من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل لمساعدتنا في ذلك. وفي أثناء الحل، حرصنا على التأكد من أن الدالة ﺩ متصلة على الفترة المغلقة بين حدي التكامل. ثمة نقطة أخيرة لم نتطرق إليها فيما سبق. وهي أنه يمكننا القول إن الجذر التربيعي لـ ﺱ لا يكون دالة متصلة عندما يكون ﺱ أقل من صفر، وذلك لأن الجذر التربيعي لـ ﺱ يكون في الواقع دالة غير معرفة على مجموعة الأعداد الحقيقية عندما يكون ﺱ أقل من صفر. وبالطبع، لا يمكن لأي دالة أن تكون متصلة عند نقاط لا تكون معرفة عندها.

لننتقل الآن إلى نقطة أخرى. ثمة شيء آخر جدير بالذكر هنا، وهو حالات الدوال المتعددة التعريف أو الحالات التي تتضمن القيمة المطلقة لدالة. والسبب الذي قد يجعلنا نفكر جيدًا بشأن هذه الدوال هو أنه يمكن اعتبار أن لها سلوكيات متباينة على مناطق مختلفة من مجالها.

لنر كيف يمكننا التعامل مع ذلك في المثال التالي.

أوجد قيمة التكامل المحدد بين سالب أربعة، وخمسة؛ للقيمة المطلقة لـ ﺱ ناقص اثنين بالنسبة إلى ﺱ.

في هذا السؤال، المطلوب منا هو إيجاد قيمة التكامل المحدد لدالة، ولنسمها ﺩ. هذه الدالة هي القيمة المطلقة أو المقياس لـ ﺱ ناقص اثنين. بالنسبة لأي عدد حقيقي، يمكننا التعبير عن دالة القيمة المطلقة في صورة دالة متعددة التعريف. ويمكننا فعل ذلك من خلال تذكر أنه إذا كان ﺱ ناقص اثنين يساوي عددًا سالبًا أو قيمة مطلقة، فسنضربه في سالب واحد لتحويله إلى عدد موجب. وبالتالي، عندما يكون ﺱ ناقص اثنين أكبر من أو يساوي صفرًا، تكون الدالة ﺱ ناقص اثنين. لكن عندما يكون ﺱ ناقص اثنين أقل من صفر، نضرب الدالة في سالب واحد. فتكون سالب ﺱ ناقص اثنين. وبالطبع، يكون من الأفضل غالبًا عزل ﺱ في أحد طرفي هاتين المتباينتين. نفعل ذلك من خلال إضافة اثنين إلى كلا الطرفين. وقد يكون أيضًا من الأفضل تبسيط ذلك ليصبح سالب ﺱ زائد اثنين.

حسنًا. الآن بعد أن أعدنا كتابة الدالة المتعددة التعريف، يمكننا التفكير بشأن كيف قد تبدو هذه الدالة بيانيًّا. يمكننا رؤية التمثيل البياني هنا. على الرغم من أن المقياس ليس دقيقًا، فإنه من المفترض أن يوضح لنا كل من التمثيل البياني وتعريف الدالة المتعددة التعريف الفرق في سلوك الدالة على كلا جانبي ﺱ يساوي اثنين. نلاحظ وجود زاوية حادة عند النقطة اثنين، صفر على التمثيل البياني. في الحقيقة، يمكننا القول إن هذه الدالة غير قابلة للاشتقاق عند ﺱ يساوي اثنين. لكنها متصلة عند ﺱ يساوي اثنين. وهذا مهم لأنه لإيجاد قيمة هذا التكامل المحدد، سنستخدم الجزء الثاني من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل. يسمح لنا ذلك بإيجاد قيمة التكامل المحدد باستخدام المشتقة العكسية، ﻕ، للدالة التي تمثل الدالة التي سيتم تكاملها، ﺩ. وشرط إجراء ذلك هو أن تكون الدالة ﺩ متصلة على الفترة المغلقة بين ﺃ وﺏ، وهما حدا التكامل. إذا كانت الدالة ﺩ متصلة عند ﺱ يساوي اثنين، يمكننا استنتاج أنها متصلة على مجموعة الأعداد الحقيقية بأكملها. وبذلك، يتحقق شرط الاتصال.

ننتقل بعد ذلك إلى إيجاد قيمة التكامل المحدد. لقد ذكرنا بالفعل أن الدالة تسلك سلوكًا مختلفًا في كل جانب من جانبي الخط ﺱ يساوي اثنين. الخطوة الأولى المفيدة لنا إذن هي تقسيم التكامل إلى جزأين. الجزء الأول يبدأ من الحد الأدنى، سالب أربعة إلى اثنين، والجزء الثاني يبدأ من اثنين إلى خمسة. بما أن الحد العلوي للتكامل الأول هو نفسه الحد السفلي للتكامل الثاني، فإن مجموع هذين التكاملين سيساوي التكامل الأصلي. والآن بعد أن قسمنا التكامل إلى جزأين، يمكننا التعويض في الدالتين الفرعيتين المختلفتين اللتين عرفناهما باستخدام تعريف الدالة المتعددة التعريف للقيمة المطلقة لـ ﺱ ناقص اثنين. يمكننا فهم ذلك بالنظر إلى هذه التكاملات على أنها المساحة أسفل هذين الخطين. من سالب أربعة إلى اثنين، يكون سلوك الدالة مثل سالب ﺱ زائد اثنين. ومن اثنين إلى خمسة، يكون سلوك الدالة مثل ﺱ ناقص اثنين. يمكننا تفسير مجموع هاتين المساحتين على أنه نفس مساحة التكامل الأصلي.

يمكننا الآن الانتقال إلى استخدام قاعدة القوى المعروفة للتكامل. نزيد قوة ﺱ لكل حد من الحدود، ونقسم على القوة الجديدة. لنرتب ما توصلنا إليه لإفساح مساحة للخطوات التالية. لقد عوضنا هنا بحدود التكاملين. وأضفنا لونًا محددًا لمساعدتنا على متابعة العملية الحسابية. سنحتاج إلى إجراء بضع خطوات للتبسيط. لنفسح بعض المساحة مرة أخرى. ونستكمل التبسيط. أخيرًا، نصل إلى النقطة التي نعبر فيها عن كل شيء بدلالة الأنصاف. فنصل إلى أن الناتج النهائي هو ٤٥ نصفًا، أو ٤٥ على اثنين. بهذه الخطوة نكون قد انتهينا من حل السؤال. وقد فعلنا ذلك من خلال التعبير أولًا عن القيمة المطلقة لـ ﺱ ناقص اثنين في صورة دالة متعددة التعريف. بعد ذلك، قسمنا التكامل الأصلي إلى جزأين، واستخدمنا الجزء الثاني من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل لمساعدتنا على إيجاد قيمة كل جزء على حدة.

حسنًا. لتلخيص ما سبق، دعونا نراجع بعض النقاط الأساسية. يتعلق الجزء الثاني من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل بالحالة التي تكون فيها ﺩ دالة متصلة على الفترة المغلقة بين ﺃ وﺏ، وتكون ﻕ أي مشتقة عكسية للدالة ﺩ، والتي يمكننا التعبير عنها في صورة: ﻕ شرطة لـ ﺱ تساوي ﺩ(ﺱ). في هذه الحالة، يكون التكامل بين ﺃ وﺏ للدالة ﺩ(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﻕ(ﺏ) ناقص ﻕ(ﺃ). وتذكر أنه يمكننا استخدام أي مشتقة عكسية للدالة ﺩ. هذا يعني أنه يمكننا اختيار الحالة التي نجعل فيها عملياتنا الحسابية أبسط ما يمكن. وهي عندما يساوي ﺙ، ثابت التكامل، صفرًا، وهو ما يسمح لنا بتجاهله بشكل أساسي.

وعادة عندما يكون لدينا تكامل محدد، تكون خطوتنا التالية هي كتابة المشتقة العكسية داخل أقواس مع وجود حدي التكامل على جانب القوس الأيسر. وهذه طريقة للتعبير عن المشتقة العكسية في صورة دالة قبل التعويض بحدي التكامل. لكنها عادة خطوة وسيطة في الوصول إلى ﻕ(ﺏ) ناقص ﻕ(ﺃ). ولاستخدام هذه النظرية، تذكر التأكد من أن الدالة ﺩ متصلة ومعرفة بالتأكيد على الفترة المغلقة بين ﺃ وﺏ. وإن لم تكن كذلك، فقد يفشل التكامل. وأخيرًا، الدوال المتعددة التعريف أو الدوال التي تتضمن قيمًا مطلقة قد تتطلب منا تقسيم التكامل إلى عدة أجزاء؛ حيث يسلك هذان النوعان من الدوال سلوكًا مختلفًا على المناطق المختلفة من مجالها.