نسخة الفيديو النصية
أوجد نقطة تقاطع المستويات سالب خمسة ﺱ ناقص اثنين ﺹ زائد ستة ﻉ ناقص واحد يساوي صفرًا، سالب سبعة ﺱ زائد ثمانية ﺹ زائد ﻉ ناقص ستة يساوي صفرًا، ﺱ ناقص ثلاثة ﺹ زائد ثلاثة ﻉ زائد ١١ يساوي صفرًا.
تصف المعادلات الثلاث ثلاثة مستويات في فضاء ثلاثي الأبعاد. في أغلب الأحيان، وليس دائمًا، ستتقاطع ثلاثة مستويات في الفضاء في نقطة واحدة. وفي هذه الحالة، تتقاطع المستويات الثلاثة بالفعل. ونقطة التقاطع لها الإحداثيات ﺱ، ﺹ، ﻉ. وهذه هي الإحداثيات التي علينا إيجادها.
إحداثيات نقطة تقاطع المستويات هي القيم ﺱ، ﺹ، ﻉ التي تحقق جميع معادلات المستويات الثلاثة آنيًّا. ومن ثم لإيجاد هذه الإحداثيات، علينا حل نظام المعادلات هذا. أولًا: نعيد ترتيب المعادلات بحيث تصبح الحدود الثابتة في الطرف الأيسر. وإحدى طرق حل نظام المعادلات هذا تتمثل في تحويله إلى معادلة مصفوفية واحدة وتطبيق قاعدة كرامر.
توضح قاعدة كرامر أن حل المعادلة المصفوفية هذه يمكن الحصول عليه من خلال إيجاد خارج قسمة محددات معينة. المحدد 𝛥 هو محدد مصفوفة المعاملات على اليمين. والمحدد 𝛥ﺱ هو محدد المصفوفة الناتج عن التعويض عن العمود الأول من مصفوفة المعاملات بمصفوفة الثوابت التي رتبتها ثلاثة في واحد الموجودة في الطرف الأيسر. والمحدد 𝛥ﺹ هو محدد المصفوفة الناتج عن التعويض عن العمود الثاني بالمصفوفة واحد، ستة، سالب ١١. وأخيرًا، نحسب 𝛥ﻉ باستبدال العمود الثالث.
دعونا نحسب هذه المحددات. أولًا: 𝛥 هو محدد مصفوفة المعاملات. وهذا يساوي سالب خمسة في ثمانية في ثلاثة ناقص واحد في سالب ثلاثة ناقص سالب اثنين في سالب سبعة في ثلاثة ناقص واحد في واحد زائد ستة في سالب سبعة في سالب ثلاثة ناقص ثمانية في واحد، وهو ما يساوي سالب خمسة في ٢٧ زائد اثنين في سالب ٢٢ زائد ستة في ١٣، وهو ما يساوي سالب ١٠١.
والآن، سنحسب المحدد 𝛥ﺱ. 𝛥ﺱ يساوي واحدًا في ثمانية في ثلاثة ناقص واحد في سالب ثلاثة ناقص سالب اثنين في ستة في ثلاثة ناقص واحد في سالب ١١ زائد ستة في ستة في سالب ثلاثة ناقص ثمانية في سالب ١١، وهو ما يساوي ٥٠٥. و𝛥ﺹ يساوي ٣٠٣. و𝛥ﻉ يساوي ٥٠٥.
يمكننا الآن التعويض بهذه القيم في قاعدة كرامر. لدينا ﺱ يساوي ٥٠٥ مقسومًا على سالب ١٠١، وهو ما يساوي سالب خمسة. ثم ﺹ يساوي ٣٠٣ مقسومًا على سالب ١٠١، وهو ما يساوي سالب ثلاثة. وأخيرًا، ﻉ يساوي ٥٠٥ مقسومًا على سالب ١٠١، وهو ما يساوي سالب خمسة. كما ذكرنا في البداية، هذه هي إحداثيات نقطة التقاطع. إذن، نقطة التقاطع هي سالب خمسة، سالب ثلاثة، سالب خمسة.
