فيديو السؤال: إيجاد تكامل دالة تتضمن دوال لوغاريتمية باستخدام التكامل بالتعويض الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد التكامل غير المحدد لسالب أربعة على تسعة ﺱ مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لتسعة ﺱ أس سبعة بالنسبة إلى ﺱ باستخدام طريقة التعويض.

يبدو هذا التكامل معقدًا جدًّا. لدينا مقلوب دالة، ولدينا في المقام حاصل ضرب دالة جبرية ودالة لوغاريتم طبيعي مرفوعة للقوة سبعة. لكن لحسن الحظ، لدينا مفتاح للحل. نعلم أنه علينا الإجابة عن هذا السؤال باستخدام طريقة التعويض. في طريقة التعويض، نريد تغيير المتغير بحيث يصبح التكامل أسهل في الحل. ما نريد إيجاده عند استخدام طريقة التعويض هو أن تكون الدالة قبل التكامل على الصورة ﺭ شرطة ﺱ مضروبة في ﺩ لـ ﺭﺱ. وهي دالة لدالة مضروبة في مشتقة الدالة الأخرى أو على الأقل أحد مضاعفاتها.

لاحظنا الآن أن المشتقة بالنسبة إلى ﺱ للوغاريتم الطبيعي لتسعة ﺱ تساوي واحدًا على ﺱ. وإذا أعدنا كتابة التكامل على الصورة سالب أربعة أتساع في تكامل واحد على ﺱ مضروبًا في واحد على اللوغاريتم الطبيعي لتسعة ﺱ أس سبعة بالنسبة إلى ﺱ، فسنلاحظ أن لدينا بالفعل دالة اللوغاريتم الطبيعي لتسعة ﺱ مضروبًا في مشتقة اللوغاريتم الطبيعي لتسعة ﺱ. دعونا نر ما سيحدث إذا جعلنا هذا التعويض يدخل متغيرًا جديدًا وهو ﻉ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لتسعة ﺱ.

سبق أن قلنا إن المشتقة بالنسبة إلى ﺱ للوغاريتم الطبيعي لتسعة ﺱ تساوي واحدًا على ﺱ. إذن، لدينا دﻉ على دﺱ يساوي واحدًا على ﺱ. تذكر أن دﻉ على دﺱ ليس كسرًا. لكن من الممكن أن نقول إن دﻉ يساوي واحدًا على ﺱﺩﺱ. بالنظر إلى الصورة الثانية التي كتبنا بها التكامل، يمكننا التعويض عن واحد على ﺱﺩﺱ بـ دﻉ، ويمكننا التعويض عن اللوغاريتم الطبيعي لتسعة ﺱ بـ ﻉ. وهذا يعطينا سالب أربعة أتساع في تكامل واحد على ﻉ أس سبعة بالنسبة إلى ﻉ، وبذلك نكون قد غيرنا التكامل تمامًا من تكامل بدلالة ﺱ إلى تكامل بدلالة ﻉ.

وهو أيضًا تكامل يمكننا إجراءه دون صعوبة كبيرة. إذا تذكرنا أن واحدًا على ﻉ أس سبعة يمكن كتابته على الصورة ﻉ أس سالب سبعة وأجرينا تكاملًا لـ ﻉ مرفوعًا لقوة لا تساوي سالب واحد، فسوف نزيد الأس بمقدار واحد ثم نقسم على الأس الجديد. إذن، لدينا سالب أربعة أتساع مضروبًا في واحد على سالب ستة ﻉ أس سالب ستة. وعلينا أيضًا وضع ثابت التكامل ﺙ؛ لأن هذا تكامل غير محدد. يمكننا إجراء تبسيط ما على الإجابة بملاحظة أن السالب في البسط سيحذف مع السالب في المقام. والعدد أربعة في البسط يمكن قسمته على اثنين لنحصل على اثنين. ويمكن قسمة ستة في المقام على اثنين لنحصل على ثلاثة.

إذن، لدينا اثنان على ٢٧ﻉ أس ستة زائد ثابت التكامل ﺙ. لكننا لم ننته بعد. هذه الإجابة هي بدلالة ﻉ، وكان التكامل الأصلي بدلالة ﺱ. وبما أن هذا تكامل غير محدد، فعلينا أن نتأكد من عكس التعويض. إذن، علينا الاستعاضة عن ﻉ باستخدام تعريفه بدلالة ﺱ. ذلك يساوي اللوغاريتم الطبيعي لتسعة ﺱ. وبذلك نكون قد حصلنا على إجابة نهائية. باستخدام طريقة التعويض، وجدنا أن التكامل غير المحدد لسالب أربعة على تسعة ﺱ مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لتسعة ﺱ أس سبعة بالنسبة إلى ﺱ يساوي اثنين على ٢٧ مضروبًا في اللوغاريتم الطبيعي لتسعة ﺱ أس ستة زائد ثابت التكامل ﺙ.