نسخة الفيديو النصية
ما الصيغة العامة للجذور السابعة للعدد واحد في الصورة القطبية؟
في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد الأعداد المركبة على الصورة القطبية 𝑧 يساوي 𝑟 cos 𝜃 زائد 𝑖 sin 𝜃 التي تحقق المعادلة 𝑧 أس سبعة يساوي واحدًا. قبل إجراء أي عمليات حسابية، علينا ملاحظة أن ثمة صيغة تكون فيها الجذور النونية للعدد واحد معرفة لأي قيمة لـ 𝑛. وعلى الرغم من أنه يمكن استخدام هذه الصيغة للإجابة عن السؤال مباشرة، لكننا سنتبع طريقة عامة أكثر للإجابة عن هذا السؤال، وذلك باستخدام نظرية ديموافر.
نعلم أن نظرية ديموافر للجذور تنص على أنه لأي عدد مركب معطى على الصورة القطبية، فإن الجذور النونية تساوي 𝑟 أس واحد على 𝑛 في cos 𝜃 زائد اثنين 𝜋𝑘 على 𝑛 زائد 𝑖 sin 𝜃 زائد اثنين 𝜋𝑘 على 𝑛. وذلك لجميع قيم 𝑘 التي تبدأ من صفر حتى 𝑛 ناقص واحد. بعبارة أخرى، تعطينا نظرية ديموافر صيغة صريحة لجذور العدد المركب المعطى على الصورة القطبية. وعند 𝑛 يساوي سبعة، توجد سبعة جذور.
وبما أننا نبحث عن أعداد مركبة تحقق المعادلة 𝑧 أس سبعة يساوي واحدًا، فيمكننا ملاحظة أن هذا يكافئ 𝑧 يساوي واحدًا أس سبع. إذن، إذا افترضنا أن واحدًا عددًا مركبًا، فيمكننا إيجاد جذره السابع باستخدام هذه النظرية. وهذا يعني أن علينا كتابة واحد على الصورة القطبية.
لفعل ذلك، سنحدد موقعه على مخطط أرجاند. الجزء الحقيقي من العدد واحد هو واحد، والجزء التخيلي منه هو صفر، وهو ما يعني أن موقعه على مخطط أرجاند تمثله النقطة واحد، صفر. مقياس العدد واحد، 𝑟، يعبر عن المسافة بين هذه النقطة ونقطة الأصل، ونلاحظ أنها يجب أن تساوي واحدًا. وفي الوقت نفسه، فالسعة 𝜃 هي قياس هذه الزاوية التي تصنعها القطعة المستقيمة التي تصل هذه النقطة بنقطة الأصل مع الاتجاه الموجب للمحور الحقيقي عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. ونلاحظ أن قياسها يساوي صفرًا. هذا يعني أنه يمكننا كتابة واحد على الصورة القطبية واحد في cos صفر زائد 𝑖 sin صفر.
نريد الآن تطبيق نظرية ديموافر لإيجاد الجذور السابعة للعدد واحد. نفعل ذلك بالتعويض عن 𝑟 بواحد، وعن 𝜃 بصفر، وعن 𝑛 بسبعة في الطرف الأيمن من المعادلة التي تحتها خط. إذا فعلنا ذلك، فسنحصل على واحد أس سبع في cos صفر زائد اثنين 𝜋𝑘 على سبعة زائد 𝑖 sin صفر زائد اثنين 𝜋𝑘 على سبعة. ويمكن تبسيط ذلك؛ حيث واحد أس سبع يساوي واحدًا والضرب في واحد لا يغير المقدار، بينما يحذف الصفران داخل الحدين cos وsin، فيتبقى لدينا اثنان 𝜋𝑘 على سبعة.
إذن، إجابتنا النهائية هي cos اثنين 𝜋𝑘 على سبعة زائد 𝑖 sin اثنين 𝜋𝑘 على سبعة، لقيم 𝑘 بين صفر وستة.
