فيديو الدرس: خواص العمليات على المتجهات الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم خواص الجمع والضرب على المتجهات.

١٤:٢٠

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم خواص الجمع والضرب على المتجهات. نبدأ بتذكر أن المتجه هو كمية لها معيار واتجاه. ويمكننا تمثيل متجه في فضاء مناسب بقطعة مستقيمة موجهة ذات طول محدد. في هذا الفيديو، سنتناول فقط المتجهات في بعدين.

في بعدين، يمكننا تمثيل معيار المتجه واتجاهه بدلالة التغير الأفقي والرأسي كما هو موضح. إذا كان المتجه ﻕ له مركبة أفقية ﺃ ومركبة رأسية ﺏ، فإنه يمكننا التفكير في ذلك باعتباره إزاحة بمقدار ﺃ من الوحدات أفقيًّا وإزاحة بمقدار ﺏ من الوحدات رأسيًّا. يمكننا استخدام هذه الفكرة لجمع متجهين معًا بالتفكير في مركباتهما.

بيانيًّا، مجموع المتجهين ﻉ وﻕ يمثل إزاحتهما الإجمالية. يمكننا إذن رسم نقطة نهاية المتجه الأول باعتبارها نقطة البداية للمتجه الثاني. حينئذ، يتضمن مجموع المتجهين نقطة البداية للمتجه الأول ونقطة النهاية للمتجه الثاني كما هو موضح. وبما أن المتجه ﻉ زائد ﻕ يمثل إزاحة المتجه ﻉ والمتجه ﻕ كليهما، فإن مركبته الأفقية تساوي مجموع المركبتين الأفقيتين للمتجه ﻉ والمتجه ﻕ، ومركبته الرأسية تساوي مجموع المركبتين الرأسيتين للمتجه ﻉ والمتجه ﻕ.

ويمكن كتابة ذلك بطريقة منهجية أكثر كما يلي. لأي متجهين في بعدين ﻉ بمركبتيه ﻉ واحد وﻉ اثنين وﻕ بمركبتيه ﻕ واحد وﻕ اثنين، فإن ﻉ زائد ﻕ يحتوي على المركبتين ﻉ واحد زائد ﻕ واحد وﻉ اثنين زائد ﻕ اثنين. بما أن مجموع أي متجهين في بعدين يساوي أيضًا متجهًا ثنائي الأبعاد، فإنه يمكننا القول إن عملية جمع متجهين في بعدين هي عملية مغلقة. يشار إلى هذا أحيانًا بخاصية الانغلاق لجمع المتجهات. مع أنه يمكن توسيع نطاق هذه الفكرة إلى أبعاد أكثر عددًا، لكننا في هذا الفيديو سنتناولها في بعدين فقط. يمكننا أيضًا تعريف ضرب المتجه في كمية قياسية باعتباره ضرب مركبتيه في كمية قياسية.

لأي متجه ﻉ له مركبتان ﻉ واحد وﻉ اثنين والكمية القياسية ﻙ، فإن ﻙ مضروبًا في المتجه ﻉ يتكون من المركبتين ﻙﻉ واحد وﻙﻉ اثنين. بيانيًّا، يمثل ضرب أي متجه في كمية قياسية ﻙ تمددًا للمتجه أو تكبيره بمعامل ﻙ. سنتناول الآن مثالًا على كيفية استخدام هذه التعريفات للإجابة عن سؤال يتضمن إحدى خواص جمع المتجهات.

أكمل ما يلي: المتجه واحد، تسعة زائد المتجه خمسة، اثنين يساوي المتجه خمسة، اثنين زائد (فراغ).

نبدأ هنا بتبسيط الطرف الأيمن من المعادلة. ونبدأ بتذكر أنه لإيجاد مجموع متجهين، نجمع مركباتهما المتناظرة. في هذا السؤال، لجمع المتجهين واحد، تسعة؛ وخمسة، اثنين، نجمع واحد وخمسة، ثم تسعة واثنين كلًّا على حدة. هذا يعني أن الطرف الأيمن من المعادلة يساوي المتجه ستة، ١١. إذا افترضنا أن المتجه الناقص في الطرف الأيسر يحتوي على المركبتين ﺱ وﺹ، فإنه يمكننا تبسيط الطرف الأيسر كما هو موضح. المتجه خمسة، اثنان زائد المتجه ﺱ، ﺹ يعطينا المتجه خمسة زائد ﺱ، اثنين زائد ﺹ.

يمكننا الآن مساواة طرفي المعادلة. ستة، ١١ يساوي خمسة زائد ﺱ، اثنين زائد ﺹ. لكي يكون المتجهان متساويين، نعلم أنه لابد أن تكون مركباتهما المتناظرة متساوية. هذا يعطينا معادلتين علينا حلهما: ستة يساوي خمسة زائد ﺱ، و١١ يساوي اثنين زائد ﺹ. بطرح خمسة من طرفي المعادلة الأولى، نجد أن ﺱ يساوي واحدًا. وبطرح اثنين من طرفي المعادلة الثانية، نجد أن ﺹ يساوي تسعة. إذن، المتجه الناقص يساوي واحدًا، تسعة. المتجه واحد، تسعة زائد المتجه خمسة، اثنين يساوي المتجه خمسة، اثنين زائد المتجه واحد، تسعة.

يوضح هذا السؤال خاصية الإبدال لجمع المتجهات، والآن سنلخصها.

لأي متجهين في بعدين ﻉ وﻕ، المتجه ﻉ زائد المتجه ﻕ يساوي المتجه ﻕ زائد المتجه ﻉ. موضح في الشكل التفسير البياني لهذه الخاصية. إذا كان المتجهان ﻉ وﻕ لا يساويان صفرًا، فإنه يمكننا رسم هذين المتجهين باعتبارهما أضلاعًا لمتوازي أضلاع. هذا يعني أن متجه قطر متوازي الأضلاع يمكن تمثيله باعتباره يساوي كلًّا من ﻉ زائد ﻕ وﻕ زائد ﻉ. ومن ثم، لا بد أن يكون هذان التعبيران متساويين. في الحالة التي يكون فيها أحد المتجهين هو المتجه الصفري، يقودنا هذا إلى خاصية المحايد الجمعي. وهي إحدى الخواص العديدة لجمع المتجهات وضربها في كمية قياسية في بعدين. وعلى الرغم من أننا لن نثبت هذه الخواص في هذا الفيديو، فإننا سنكتبها هنا.

لأي متجهات ﻉ، وﻕ، وﻭ، والكميتين القياسيتين ﻡ وﻥ، سنتناول ما يلي: أولًا، خمس خواص لجمع المتجهات. لقد رأينا بالفعل أن المتجه ﻉ زائد المتجه ﻕ يساوي المتجه ﻕ زائد المتجه ﻉ. هذه هي خاصية الإبدال. ثانيًا، لدينا المتجه ﻉ زائد المتجه ﻕ زائد المتجه ﻭ يساوي المتجه ﻉ زائد المتجه ﻕ زائد المتجه ﻭ. وهذا يعرف باسم خاصية الدمج، وتعني أنه عند جمع ثلاثة متجهات، فلا يهم أي متجهين نجمعهما أولًا. بعد ذلك، لدينا المتجه ﻉ زائد المتجه الصفري يساوي المتجه ﻉ. وهذا يعرف باسم خاصية المحايد الجمعي وتعني أننا إذا أضفنا المتجه الصفري إلى أي متجه، يظل المتجه كما هو.

بعد ذلك، لدينا خاصية المعكوس الجمعي، التي تنص على أن المتجه ﻉ زائد سالب المتجه ﻉ يساوي المتجه الصفري. فبإضافة أي متجه إلى معكوسه، نحصل دائمًا على المتجه الصفري. وأخيرًا، لدينا خاصية الحذف. وهي تنص على أنه إذا كان ﻉ زائد ﻕ يساوي ﻉ زائد ﻭ، فإن ﻕ يساوي ﻭ. هذه هي الخواص الخمس لجمع المتجهات.

علينا أيضًا تناول خمس خواص لضرب المتجهات في كمية قياسية. لدينا صورتان لخاصية التوزيع. ولدينا خاصية المحايد الضربي، وخاصية الدمج، ومرة أخرى خاصية الحذف. بضرب الكمية القياسية ﻥ في المتجه مجموع المتجهين ﻉ زائد ﻕ، نحصل على ﻥﻉ زائد ﻥﻕ. وبضرب مجموع كميتين قياسيتين ﻥ وﻡ في المتجه ﻉ، نحصل على ﻥﻉ زائد ﻡﻉ. بضرب أي متجه ﻉ في الكمية القياسية واحد، نحصل على المتجه ﻉ. وهذا يعرف باسم خاصية المحايد الضربي. تنص خاصية الدمج على أن ﻥﻡ مضروبًا في المتجه ﻉ يساوي ﻥ مضروبًا في ﻡﻉ. وأخيرًا، تنص خاصية الحذف على أنه إذا كان ﻥﻉ يساوي ﻥﻕ، فإن المتجه ﻉ لا بد أنه يساوي المتجه ﻕ.

كل هذه الخواص التي عددها ١٠ تنطبق على المتجهات في أبعاد عددها أكبر من اثنين، وكما ذكرنا سابقًا، يمكن إثباتها جبريًّا. في الجزء الباقي من هذا الفيديو، سنتناول أمثلة على كيفية استخدام هذه الخواص لإيجاد قيمة تعبيرات تتضمن متجهات.

إذا كان المتجه ﺃ يساوي واحدًا، خمسة، والمتجه ﺏ يساوي ستة، اثنين، فأوجد ﺃ زائد ﺏ زائد سالب ﺃ.

يمكننا الإجابة عن هذا السؤال مباشرة باستخدام خواص جمع المتجهات. أولًا، باستخدام خاصية الإبدال التي تنص على أن المتجه ﻉ زائد المتجه ﻕ يساوي المتجه ﻕ زائد المتجه ﻉ، يمكننا إعادة كتابة التعبير ﺃ زائد ﺏ زائد سالب ﺃ على صورة ﺃ زائد سالب ﺃ زائد ﺏ. بعد ذلك، سنستخدم خاصية المعكوس الجمعي، التي تنص على أن المتجه ﻉ زائد سالب المتجه ﻉ يساوي المتجه الصفري. بتطبيق هذا على التعبير الذي لدينا، المتجه ﺃ زائد سالب المتجه ﺃ يساوي المتجه الصفري. إذن، يتبقى لدينا المتجه الصفري زائد المتجه ﺏ.

وأخيرًا، سنستخدم خاصية المحايد الجمعي التي تنص على أن المتجه ﻉ زائد المتجه الصفري يساوي المتجه ﻉ. هذا يعني أنه في هذا السؤال، المتجه الصفري زائد المتجه ﺏ يساوي المتجه ﺏ. ونعرف من السؤال أن المتجه ﺏ يساوي ستة، اثنين. هذا يعني أن ﺃ زائد ﺏ زائد سالب ﺃ يساوي أيضًا ستة، اثنين. توجد طريقة ثانية، وهي التعامل مع مركبات المتجه ﺃ والمتجه ﺏ. علينا جمع المتجهات واحد، خمسة؛ وستة، اثنين، ثم جمع سالب المتجه واحد، خمسة. يمكننا توزيع السالب على المتجه بضرب كلتا مركبتيه في سالب واحد. ومن ثم، يصبح المتجه الثالث: سالب واحد، سالب خمسة.

يمكننا الآن جمع المتجهات الثلاثة بإيجاد مجموع مركباتها المتناظرة. نبدأ بجمع واحد، وستة، وسالب واحد. وهو ما يساوي ستة. بعد ذلك، نجمع مركبات ﺹ وهي خمسة، واثنين، وسالب خمسة؛ ما يعطينا اثنين. وهذا يؤكد الإجابة التي حصلنا عليها باستخدام خواص جمع المتجهات. المتجه ﺃ زائد المتجه ﺏ زائد سالب المتجه ﺃ يساوي ستة، اثنين.

سنتناول الآن مثالًا أخيرًا.

أكمل الآتي: اثنان مضروبًا في المتجه اثنين، خمسة زائد المتجه خمسة، واحد يساوي (فراغ) زائد المتجه ١٠، اثنين.

نبدأ حل هذا السؤال بتبسيط الطرف الأيمن من المعادلة. أولًا، نستفيد من حقيقة أن الضرب في كمية قياسية يتسم بخاصية التوزيع على عملية جمع المتجهات. هذا يعني أن الطرف الأيمن يصبح اثنين مضروبًا في المتجه اثنين، خمسة زائد اثنين مضروبًا في المتجه خمسة، واحد. يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة الضرب في كمية قياسية. اثنان مضروبًا في المتجه اثنين، خمسة يساوي المتجه اثنين مضروبًا في اثنين، اثنين مضروبًا في خمسة. وهذا يساوي أربعة، ١٠. وبالمثل، ضرب المتجه خمسة، واحد في الكمية القياسية اثنين، يعطينا المتجه ١٠، اثنين. يمكننا بعد ذلك مساواة هذا بالطرف الأيسر من المعادلة ونفترض أن مركبتي المتجه المجهول هما ﺱ وﺹ.

بعد ذلك، يمكننا استخدام خاصية الحذف لجمع المتجهات، التي تنص على أنه إذا كان المتجه ﻉ زائد المتجه ﻕ يساوي المتجه ﻉ زائد المتجه ﻭ، فإن المتجه ﻕ يساوي المتجه ﻭ. المتجه ١٠، اثنان يظهر في المجموع في كلا طرفي المعادلة. هذا يعني أن المتجهين الآخرين في كل طرف يجب أن يكونا متساويين أيضًا. المتجه أربعة، ١٠ يساوي المتجه ﺱ، ﺹ. إذن، يمكننا استنتاج أن المتجه الناقص هو أربعة، ١٠.

سننهي هذا الفيديو بتلخيص النقاط الأساسية. رأينا في هذا الفيديو أنه يمكننا استخدام خواص جمع المتجهات وضربها في كمية قياسية لتبسيط التعبيرات التي تشتمل على متجهات. فيما يلي الخواص الخمس لجمع المتجهات. وتعرف بأنها خاصية الإبدال، وخاصية الدمج، وخاصية المحايد الجمعي، وخاصية المعكوس الجمعي، وخاصية الحذف، على الترتيب. فيما يلي الخواص الخمس لضرب المتجهات في كمية قياسية. أول اثنين هنا هما مثالان على خاصية التوزيع. والخاصية الثالثة هي خاصية المحايد الضربي، تليها خاصية الدمج، ومرة أخرى خاصية الحذف.

يمكننا إثبات أن كل هذه الخواص تنطبق على مركبات المتجهات. ومع أننا تناولنا في هذا الفيديو خواص المتجهات في بعدين فقط، فإن كل هذه الخواص تنطبق على المتجهات في أبعاد أكثر عددًا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.