فيديو الدرس: المسافة على المستوى الإحداثي: صيغة فيثاغورس

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتناول أحد التطبيقات الخاصة بنظرية فيثاغورس، وهو إيجاد المسافة بين نقطتين على شبكة إحداثيات. وسنتناول هذا الموضوع في فضاءات ذات بعدين وثلاثة أبعاد. هيا نبدأ بمثال في فضاء ذي بعدين. والمطلوب منا في هذا السؤال هنا هو إيجاد المسافة بين النقطتين اللتين إحداثياتهما سالب ثلاثة، واحد؛ واثنان، أربعة.

لذا لكي نبدأ في الإجابة عن هذا السؤال، من الأفضل أن نرسم مخططًا للشبكة الإحداثية كي نرى ما يحدث. كل ما نحتاج إليه هو أن نرسم مخططًا تقريبيًّا فقط. لسنا بحاجة إلى قياس ذلك المخطط بدقة. لسنا بحاجة إلى ورقة مربعات، بل مجرد مخطط تقريبي لشبكة إحداثية ثنائية الأبعاد محدد عليها موضع هاتين النقطتين. حسنًا، هذا هو مخطط تلك الشبكة الإحداثية، وبها الموضعان التقريبيان للنقطتين سالب ثلاثة، واحد؛ واثنان، أربعة. إذا كان علينا إيجاد المسافة بين هاتين النقطتين، فإننا نبحث عن المسافة المباشرة بينهما، إذا وصلنا بينهما بخط مستقيم. أي إننا نريد حساب هذه المسافة المباشرة بين هاتين النقطتين.

تتمحور نظرية فيثاغورس بالكامل حول المثلث القائم الزاوية. لذا علينا أن نرسم مثلثًا قائم الزاوية. وما يمكننا فعله هو رسم هذا المثلث الصغير القائم الزاوية هنا، إما أعلى هذا الخط وإما أسفله. وبذلك سيكون لدينا هذا المثلث القائم الزاوية الذي يمكننا استخدامه مع نظرية فيثاغورس. والآن نريد أن نحسب هذه المسافة هنا. لذا سنرمز إليها بالحرف ﻑ. وما يجب علينا التفكير فيه هو طولا هذين الضلعين الآخرين من المثلث. لذلك، هيا نلق نظرة على المسافة الأفقية أولًا. الشيء الوحيد الذي يتغير في هذه المسافة الأفقية هو قيمة الإحداثي ﺱ. وهي تتغير من سالب ثلاثة إلى اثنين. وهذا يعني أن هذه المسافة هنا؛ أي طول الجزء الأفقي من ذلك المثلث، يجب أن تساوي خمس وحدات. إذن يمكننا كتابة ذلك. والآن إذا نظرنا إلى الضلع الرأسي للمثلث، فسنلاحظ هنا أن الشيء الوحيد الذي يتغير هنا هو قيمة الإحداثي ﺹ. وهي تتغير من واحد، من هذه النقطة هنا إلى أربعة هنا، وهو ما يعني أن طول هذا الضلع في المثلث يساوي ثلاث وحدات. إذن صار لدينا الآن البنية الصحيحة لتطبيق نظرية فيثاغورس. نعرف طولي ضلعين في المثلث. ونريد الآن حساب طول الضلع الثالث، وهو الوتر في هذه الحالة.

وتذكيرًا بنظرية فيثاغورس، نقول إنها تنص على أن ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع يساوي ﺟ تربيع؛ حيث إن ﺃ وﺏ يمثلان طولي الضلعين الأقصرين في المثلث القائم الزاوية وﺟ يمثل طول الوتر. وعليه ستكون الخطوة الأولى هي كتابة ما تخبرنا به نظرية فيثاغورس، وتحديدًا لهذا المثلث هنا. وهكذا، إذا كتبنا ذلك، سيصبح لدينا ﻑ تربيع؛ أي طول الوتر تربيع، يساوي ثلاثة تربيع زائد خمسة تربيع. يمكننا بعد ذلك التعويض عن هذين الطولين بالقيمتين تسعة و ٢٥. بعد ذلك نجمعهما معًا لنحصل على ﻑ تربيع يساوي ٣٤. الخطوة التالية هي حساب الجذر التربيعي لكلا طرفي هذه المعادلة. وعليه سيكون لدينا ﻑ يساوي الجذر التربيعي لـ ٣٤. وإذا حسبنا ذلك باستخدام الآلة الحاسبة، فسنجد أن ﻑ يساوي ٥٫٨٣ لأقرب منزلتين عشريتين. وفيما يتعلق بالوحدات، لا نعرف إذا ما كانت وحدة المساحة في هذه الشبكة بالسنتيمتر المربع. لذا لا يمكننا الافتراض أن الوحدات هنا بالسنتيمتر. لذلك ستكون الوحدات وحدات عامة لقياس المسافة أو وحدات عامة لقياس الطول. وعليه سنقول إنه يساوي ٥٫٨٣ وحدات فقط. وكما قلنا، هذا الرقم مقرب لأقرب منزلتين عشريتين.

والآن هيا نر كيف يمكننا تعميم ذلك. إذن إذا أمكننا التوصل إلى صيغة عامة يمكننا استخدامها لقياس المسافة لحساب المسافة بين أي نقطتين. سنسميهما ﺱ واحدًا، ﺹ واحدًا؛ وﺱ اثنين، ﺹ اثنين لتمثلا نقطتين عامتين على شبكة إحداثية. سنبدأ، كما فعلنا من قبل، بمخطط تقريبي. لا نعرف أي شيء عن ﺱ واحد، ﺹ واحد؛ وﺱ اثنين، وﺹ اثنين. لكننا سنفترض ببساطة أنهما تشكلان معًا بشكل افتراضي خطًّا يبدو بهذا الشكل. إذن لدينا ﺱ واحد، ﺹ واحد هنا بالأسفل، وﺱ اثنان، ﺹ اثنان هنا. ونريد حساب المسافة بين هاتين النقطتين.

حسنًا، كما فعلنا من قبل، علينا رسم المثلث القائم الزاوية الصغير أسفل الخط. والآن، علينا حساب طولي ضلعي هذا المثلث. لذا، هيا نلق نظرة على الإحداثي ﺱ أولًا. سنجد الآن، أن قيمته تتغير من ﺱ واحد عند هذه النقطة هنا إلى ﺱ اثنين عند هذه النقطة هنا. هذا يعني أن طول هذا الخط سيكون هو الفرق بين قيمتي ﺱ هاتين. وعليه سيكون طوله مساويًا لـ ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد. والآن، إذا نظرنا إلى طول الخط الرأسي، فسيكون الأمر مشابهًا. في الخط الرأسي، قيمة الإحداثي ﺹ هي التي تتغير. وهي تتغير من ﺹ واحد عند هذه النقطة هنا إلى ﺹ اثنين عند هذه النقطة هنا. وعليه، سيكون طول هذا الخط الرأسي هو الفرق بين قيمتي ﺹ هاتين. أي سيساوي ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد. وهكذا حصلنا على صيغتين عامتين لطولي ضلعي هذا المثلث.

الآن يمكننا كتابة ما تنص عليه نظرية فيثاغورس بدلالة ﻑ وﺱ واحد، ﺱ اثنين؛ وﺹ واحد، ﺹ اثنين. إذن ما لدينا الآن هو ﻑ تربيع؛ أي طول الوتر تربيع، يساوي ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد تربيع؛ أي طول الضلع الأفقي تربيع، زائد ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد تربيع؛ أي طول الضلع الرأسي تربيع. الخطوة الأخيرة في استنتاج هذه الصيغة العامة هي أن نعرف قيمة ﻑ فقط، وليس ﻑ تربيع. لذا، علينا أن نحسب الجذر التربيعي لطرفي هذه المعادلة. وإذا فعلنا ذلك، فسنحصل على الصيغة العامة هذه هنا: ﻑ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد الكل تربيع زائد ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد الكل تربيع. وهذه صيغة عامة للمسافة، يمكن من خلالها حساب المسافة بين النقطتين ﺱ واحد، ﺹ واحد؛ وﺱ اثنين، ﺹ اثنين.

والآن، لا يهم في الواقع في سياق مثال ما أن نحدد أي نقطة هي التي نعتبرها ﺱ واحد، ﺹ واحد، وأي نقطة نعتبرها ﺱ اثنين، ﺹ اثنين. ذلك لأن ما سنفعله هو إيجاد الفرق بين قيمتي ﺱ والفرق بين قيمتي ﺹ وتربيعهما. إذا فعلنا ذلك من هذا الاتجاه، فسنحصل على سبيل المثال على فرق يساوي خمسة ثم سنقوم بتربيعه ليصير ٢٥. وإذا أوجدناه من الاتجاه الآخر، فسنحصل على الفرق سالب خمسة. لكن عند تربيعه، سنحصل مع ذلك على موجب ٢٥. لذلك يمكننا التفكير في هاتين النقطتين بأي ترتيب. هذه الصيغة العامة مفيدة؛ لأنها تعطينا صيغة تصلح للاستخدام دائمًا، ويمكننا التعويض فيها بأي أعداد. لكن، في المثال السابق، كل ما فعلناه هو أننا استخدمنا طريقة منطقية بحتة في حل السؤال. وأنا شخصيًّا أجد أنه من الأسهل أحيانًا اتباع طريقة منطقية بدلًا من استخدام صيغة المسافة هذه.

حسنًا، لنلق الآن نظرة على مثال في ثلاثة أبعاد. من الأرجح أنك قد رأيت سابقًا أنه من الممكن تعميم تطبيق نظرية فيثاغورس في ثلاثة أبعاد. وعند العمل في ثلاثة أبعاد، يصير لدينا الصيغة ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع زائد ﺟ تربيع يساوي ﻑ تربيع. هيا نلق نظرة على كيفية تطبيق ذلك في هذه الحالة. نريد إيجاد المسافة بين هاتين النقطتين. أي نريد معرفة قيمة ﻑ تربيع. والآن هيا نلق نظرة أولًا على الفرق بين قيمة إحداثيي ﺱ. تتغير قيمة إحداثيي ﺱ من اثنين إلى سالب واحد، وهو تغير بمقدار سالب ثلاثة. الآن، كما ذكرنا في المثال السابق، لا يهم أبدًا إذا ما قلنا إن التغير يساوي ثلاثة أو سالب ثلاثة. لأننا عند تربيعه، سنحصل على النتيجة نفسها. لذا سنفكر فيه باعتباره ثلاثة فقط. تتغير قيمة ﺹ من صفر إلى أربعة. وعليه يصبح لدينا موجب أربعة تربيع. ومن ثم تتغير قيمة ﻉ في هذه الحالة، في الشبكة الإحداثية الثلاثية الأبعاد، من خمسة إلى أربعة. إذن الفرق هو واحد. وهكذا يصبح لدينا واحد تربيع.

وهذا هو تطبيق نظرية فيثاغورس في ثلاثة أبعاد لهذا السؤال تحديدًا. الخطوة التالية هي حساب قيمة ثلاثة تربيع وأربعة تربيع وواحد تربيع. وإذا جمعناها معًا، فسيكون ﻑ تربيع مساويًا لـ ٢٦. علينا الآن معرفة الجذر التربيعي لكلا الطرفين. إذن ﻑ يساوي الجذر التربيعي لـ ٢٦. وإذا حسبنا ذلك باستخدام الآلة الحاسبة، فسنحصل على ﻑ يساوي ٥٫١٠ وحدات، سواء وحدة طول أو وحدة قياس مسافة. وقربت هذه القيمة لأقرب منزلتين عشريتين. حسنًا، للتذكير فقط بما فعلناه هنا، حسبنا الفرق بين قيمتي الإحداثي ﺱ، وهو ثلاثة، والفرق بين قيمتي الإحداثي ﺹ، وهو أربعة، والفرق بين قيمتي الإحداثي ﻉ وهو واحد. واستخدمنا بعد ذلك النسخة الثلاثية الأبعاد من نظرية فيثاغورس لحساب المسافة بين هاتين النقطتين في فضاء ثلاثي الأبعاد.

وأخيرًا، هيا نلق نظرة على تطبيق لهذا الدرس. حسنًا، لدينا سؤال يقول: رءوس المستطيل ﺃﺏﺟﺩ هي هذه النقاط الأربعة هنا. أوجد مساحة المستطيل.

إذن لإيجاد مساحة المستطيل، علينا معرفة طولي ضلعيه. لذا سنستخدم نظرية فيثاغورس مرتين لحساب طولين. الآن، كالمعتاد، هيا نبدأ برسم مخطط تقريبي لنتمكن من تصور ما يحدث هنا. حسنًا، لدينا هنا مخطط تقريبي للشبكة الإحداثية هذه؛ حيث حددت النقاط ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ في مواضعها التقريبية. ويمكنك ملاحظة أنه بربط كل منها بالأخرى كونا هذا المستطيل. لذا، لحساب مساحة هذا المستطيل علينا إيجاد طولي الضلعين ثم ضربهما معًا. إذن سنحسب الآن مساحة هذا المستطيل. سنحسب طول الضلع ﺃﺏ. وسنضربه في طول ﺏﺟ. لكن بالمثل، بإمكاننا أيضًا حساب ﺟﺩ مضروبًا في ﺃﺩ، أو أي توليفة ضلعين متجاورين نرغب في استخدامها.

إذن هيا نوجد طول ﺃﺏ أولًا. حسنًا، ما يهمنا هنا هما النقطتان ثلاثة، ثلاثة؛ واثنان، واحد حتى نتمكن من فعل ذلك. لذا هيا نحسب هذا الطول باستخدام نظرية فيثاغورس. حسنًا لدينا ﺃﺏ تربيع، وقيمتا الإحداثي ﺱ، والفرق بينهما هو الانتقال من اثنين إلى ثلاثة. هذا يعني أن الفرق هو واحد؛ أي واحد تربيع. والفرق بين قيمتي الإحداثي ﺹ سيساوي الانتقال من واحد إلى ثلاثة؛ أي اثنين، إذن يصبح لدينا اثنان تربيع. هكذا صار لدينا نص نظرية فيثاغورس لحساب طول ﺃﺏ. حسنًا، سننتقل إلى المرحلتين التاليتين، ونوجد قيمة واحد تربيع واثنين تربيع، ثم نجمعهما معًا. وبعد ذلك سنحتاج إلى حساب الجذر التربيعي لكلا الطرفين. وسنترك ﺃﺏ يساوي الجذر التربيعي لخمسة مكتوبة كما هي مؤقتًا. بهذا نكون قد أوجدنا قيمة أحد الطولين.

والآن علينا أن نفعل الشيء نفسه مع ﺏﺟ. أما في حالة ﺏﺟ تربيع، إذا نظرنا إلى قيمة الإحداثي ﺱ، فسنجدها تتغير من اثنين إلى سالب أربعة. إذا التغير يساوي سالب ستة. لكن تذكر، لا يهم إذا ما جعلناه موجبًا أو سالبًا. لذا سنكتبه ستة تربيع فقط. وإذا نظرنا إلى قيمة الإحداثي ﺹ، فسنجد أنها تتغير من واحد إلى أربعة. إذن الفرق هنا هو ثلاثة؛ ومن ثم يصبح لدينا ثلاثة تربيع. وها هو نص نظرية فيثاغورس لحساب طول ﺏﺟ. بعد ذلك سنحسب قيمتي كل من ستة تربيع وثلاثة تربيع. بعد ذلك نجمعهما معًا. وسنحصل على ﺏﺟ تربيع يساوي ٤٥. علينا بعد ذلك حساب الجذر التربيعي لكلا الطرفين. وهكذا سيكون ﺏﺟ مساويًا للجذر التربيعي لـ ٤٥. ويمكننا الآن تبسيط هذا الجذر الأصم. ذلك لأن ما علينا تذكره هو أن ٤٥ يساوي تسعة في خمسة. وبما أن العدد تسعة هو عدد مربع، يمكننا وضع الجذر التربيعي له في المقدمة. وهكذا سنبسطه باعتباره جذرًا أصم إلى ﺏﺟ يساوي ثلاثة جذر خمسة. إذن، حصلنا بهذا على طولي الضلعين: ﺃﺏ يساوي جذر خمسة، وﺏﺟ يساوي ثلاثة جذر خمسة.

وأخيرًا، علينا حساب المساحة؛ أي ضرب هذين الطولين معًا. إذن المساحة ستساوي جذر خمسة مضروبًا في ثلاثة جذر خمسة. حاصل ضرب جذر خمسة في جذر خمسة هو خمسة. إذن سأحصل على خمسة مضروبة في ثلاثة؛ أي ١٥. نتساءل الآن عن الوحدات المستخدمة هنا: حسنًا هذه مساحة. لذلك يجب أن تكون وحدات مربعة. لا نعلم إذا ما كانت الوحدات بالسنتيمتر المربع أو بالملليمتر المربع. لذلك سنقول إنها ١٥ وحدة مربعة فقط للمساحة.

حسنًا، في هذا السؤال، طبقنا نظرية فيثاغورس مرتين لإيجاد المسافة بين مجموعتين مختلفتين من النقاط، ثم دمجناهما معًا باستخدام ما نعرفه عن مساحات المستطيلات. هذا كان ملخصًا لكيفية استخدام نظرية فيثاغورس لحساب المسافة بين نقطتين. ورأينا كيف نفعل ذلك في فضاء ذي بعدين. وكذلك في فضاء ثلاثي الأبعاد، ونفذنا تطبيقًا لإيجاد مساحة مستطيل. رأينا أيضًا كيف نعمم لنستنتج صيغة المسافة هذه. وقد تجدها مفيدة لك إذا كنت تفضل التعويض في صيغة ما. أو قد تجد نفسك أكثر ميلًا لمجرد اتباع الأسلوب المنطقي بالنظر إلى الفرق بين قيمتي ﺱ وقيمتي ﺹ، وهكذا.