فيديو الدرس: إيجاد قيمة الدوال المثلثية باستخدام متطابقات الزاويتين المتتامتين الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتعلم كيف نستخدم المتطابقات المثلثية لزاويتين متتامتين، ومتطابقات الدوال الفردية والزوجية لإيجاد قيم الدوال المثلثية. للدوال المثلثية العديد من الخصائص والمتطابقات المختلفة التي تساعدنا في تبسيط المعادلات وحلها. في هذا الدرس، نريد مراجعة متطابقات الزاويتين المتتامتين ومتطابقات الدوال الفردية والزوجية، واستخدامها لحل بعض المسائل.

لنتناول أولًا متطابقات الزاويتين المتتامتين، التي تخبرنا بأن جا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي جتا 𝜃. جتا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي جا 𝜃. و ظا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي ظتا 𝜃. علينا أيضًا أن نتذكر أن استخدام الراديان هنا يستلزم أن نعوض عن ٩٠ درجة بالقيمة 𝜋 على اثنين.

يمكننا تمثيل متطابقات الزاويتين المتتامتين هذه بيانيًّا باستخدام دائرة الوحدة. إذا كانت لدينا زاوية 𝜃 في دائرة الوحدة، فسيمكننا أن نقول إنها تشكل مثلثًا قائم الزاوية، يبلغ طول وتره واحدًا وطولا ضلعيه ﺃ وﺏ. نعلم أن جا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر، وهو ما يساوي في هذه الحالة ﺃ على واحد. إذن، جا 𝜃 يساوي ﺃ. وجتا 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر، أي ﺏ على واحد، وهو ما يساوي ﺏ فقط. وظا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور، أي ﺃ على ﺏ. ونريد أن نوجد علاقة بين 𝜃 و ٩٠ ناقص 𝜃.

في دائرة الوحدة على شبكة الإحداثيات، يمكن كتابة المسافة بين هذه الزاوية والزاوية التي قياسها ٩٠ درجة في صورة ٩٠ ناقص 𝜃. وبذلك يمكننا أن ننشئ مثلثًا آخر قائم الزاوية في الربع الأول، والذي يساوي طول وتره واحدًا وطولا ضلعيه ﺃ وﺏ. بالنظر إلى المثلث الجديد باللون الأصفر، فإن جا ٩٠ ناقص 𝜃، أي طول الضلع المقابل على طول الوتر، يساوي في هذه الحالة ﺏ على واحد. إذن، جا ٩٠ ناقص 𝜃 يساوي ﺏ. و جتا ٩٠ ناقص 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر. وهو في هذه الحالة ﺃ. إذن، ظا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 سيساوي ﺏ على ﺃ، ومن ثم نكون قد أوضحنا هذه الأزواج من متطابقات الزوايا المتتامة. ‏جا 𝜃 و جتا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 كلاهما يساوي ﺃ هنا، الأمر الذي علينا أن نتوقعه طبقًا لمتطابقة الزاويتين المتتامتين.

أوضحنا أيضًا أن كلًّا من جتا 𝜃 و جا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي ﺏ. وهو ما يعني أن جا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي جتا 𝜃. أما زوج ظل الزاوية، أي متطابقة الزاويتين المتتامتين لظل الزاوية، فيختلف قليلًا عما سبق. لاحظ أن ظا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي ﺏ على ﺃ. ولكن ظا 𝜃 يساوي ﺃ على ﺏ. إذا أخذنا مقلوب ظا 𝜃، أي واحد على ظا 𝜃، فسيساوي ﺏ على ﺃ. ثم نلاحظ أن مقلوب ظا 𝜃 يساوي ظتا 𝜃 لأن ظتا 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور على طول الضلع المقابل، ما يدل على أن المتطابقة الثالثة للزاويتين المتتامتين، أي ظا ٩٠ ناقص 𝜃 تساوي ظتا 𝜃.

لنتناول الآن متطابقات الدوال المثلثية الفردية والزوجية. تكون متطابقات الدوال الفردية والزوجية كالآتي. ‏جا سالب 𝜃 يساوي سالب جا 𝜃، ما يجعل دالة الجيب دالة فردية. ‏جتا سالب 𝜃 يساوي جتا 𝜃، ما يجعل دالة جيب التمام دالة زوجية. وظا سالب 𝜃 يساوي سالب ظا 𝜃، ما يجعل دالة الظل دالة فردية. مرة أخرى يمكننا توضيح ذلك باستخدام دائرة الوحدة. بالنسبة إلى الزاوية 𝜃، في الربع الأول من دائرة الوحدة، يمكننا رسم مثلث قائم الزاوية طولا ضلعيه ﺃ وﺏ، وبهذا تنشأ زاوية قياسها سالب 𝜃. تذكر أن هذه الإشارة السالبة تخبرنا بأننا نتحرك في اتجاه دوران عقارب الساعة بدلًا من عكس اتجاه دوران عقارب الساعة، ما يجعل تلك الزاوية تقع في الربع الرابع. نلاحظ مرة أخرى أن هذه الزاوية يمكن أن تكون مثلثًا قائم الزاوية يبلغ طولا ضلعيه ﺃ وﺏ وطول وتره واحدًا.

للإيجاد قيمة جا سالب 𝜃، علينا تذكر إشارات النسب المثلثية في الأرباع الأربعة. في الربع الرابع، ستكون لقيمة دالة جيب تمام الزاوية فقط إشارة موجبة. وستكون إشارات قيم دوال الظل سالبة. وبما أن علاقة الجيب هي طول الضلع المقابل على طول الوتر، فستساوي سالب ﺏ في الربع الرابع. وعلاقة جيب التمام هي طول الضلع المجاور على طول الوتر، أي ﺃ على واحد. وفي الربع الرابع، تكون علاقة جيب تمام الزاوية قيمتها موجبة. وعليه، فإن جتا سالب 𝜃 يساوي موجب ﺃ. وبالمثل، سيساوي ظا سالب 𝜃 طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور، وسيكون في الربع الرابع سالبًا، ما يعطينا ظا سالب 𝜃 يساوي سالب ﺏ على ﺃ.

إذا أردنا أن نوجد جا 𝜃، في المخطط، فستقع في الربع الأول، وستساوي ﺏ على واحد. وجتا 𝜃 يساوي ﺃ على واحد، وظا 𝜃 يساوي ﺏ على ﺃ. لاحظ أن علاقتي جيب التمام هي جتا سالب 𝜃 يساوي ﺃ، وجتا موجب 𝜃 يساوي ﺃ. نعرف هاتين العلاقتين على أنهما الدالة الزوجية ومتطابقة الدالة الزوجية. لكن ماذا عن العلاقتين الأخريين، الدالتين الفرديتين؟ إذا ضربنا جا 𝜃 وﺏ في سالب واحد، فسيمكننا أن نقول إن سالب جا 𝜃 يساوي سالب ﺏ. وبالمثل، إذا ضربنا ظا في سالب واحد، فسنحصل على سالب ظا 𝜃. ثم سيكون علينا أن نضرب الطرف الآخر من المعادلة في سالب واحد، ما سيعطينا سالب ﺏ على ﺃ. ومن ثم، سيكون علينا أن نقول إن جا سالب 𝜃 يساوي سالب جا 𝜃، وظا سالب 𝜃 يساوي سالب ظا 𝜃.

لنتناول الآن مثالًا نحتاج فيه إلى استخدام هذه المتطابقات لمساعدتنا في حل معادلة مثلثية.

أوجد قيمة جتا ٩٠ درجة زائد 𝜃 إذا كان جا 𝜃 يساوي ثلاثة أخماس، حيث 𝜃 تقع بين صفر و ٩٠ درجة.

عرفنا من معطيات السؤال قيمة جيب الزاوية 𝜃، وعلينا إيجاد قيمة جتا ٩٠ درجة زائد 𝜃. يمكننا فعل ذلك باستخدام تمثيل بياني. ولكن، هناك طريقة مباشرة أكثر وهي إعادة كتابة هذا التعبير باستخدام متطابقات الزاويتين المتتامتين. في الواقع، يمكننا إعادة كتابة ذلك التعبير ببضع طرق مختلفة باستخدام متطابقات الزاويتين المتتامتين. سنتناول إحدى هذه الطرق. إذا أردنا استخدام متطابقة الزاويتين المتتامتين هذه مع جتا ٩٠ درجة زائد 𝜃، فيمكننا إعادة كتابة ذلك في صورة جتا ٩٠ درجة ناقص سالب 𝜃. وباستخدام متطابقة الزاويتين المتتامتين، يمكننا أن نقول إن جتا ٩٠ درجة ناقص سالب 𝜃 لا بد أن يساوي جا سالب 𝜃.

بالنظر إلى جا سالب 𝜃، نلاحظ أن دالة الجيب دالة فردية. وأن جا سالب 𝜃 يساوي سالب جا 𝜃. ونعرف ما هي قيمة جا 𝜃. ‏𝜃 جا في هذا السؤال يساوي ثلاثة أخماس، ما يعني أن جا سالب 𝜃 يساوي سالب ثلاثة أخماس. بدأنا بـ جتا ٩٠ درجة زائد 𝜃. وباستخدام متطابقات الزاويتين المتتامتين ومتطابقات الدوال الفردية، تمكنا من إيجاد أن قيمة ذلك تساوي سالب ثلاثة أخماس. قبل المتابعة، يمكننا إيضاح ذلك بيانيًّا. إذا رسمنا دائرة وحدة وبها زاوية قياسها 𝜃، فإننا نعلم أن 𝜃 يقع بين صفر و ٩٠ درجة. وإذا كان جا 𝜃 يساوي ثلاثة أخماس، فإن طول الضلع المقابل على طول الوتر لا بد أن يساوي ثلاثة أخماس.

نريد إيجاد قيمة جتا ٩٠ درجة زائد 𝜃. إذا أضفنا ٩٠ درجة إلى قياس هذه الزاوية، فسنحصل على نصف قطر يساوي واحدًا لأن هذه هي دائرة الوحدة. ولأننا أدرنا هذه الزاوية التي قياسها ٩٠ درجة في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة، ستكون المسافة من هذه النقطة إلى المحور ﺹ تساوي ثلاثة أخماس. وعندما نستخدم دائرة الوحدة، فإن جتا الزاوية سيساوي الإحداثي ﺱ، والذي سيكون سالب ثلاثة أخماس في هذه الحالة، ما يؤكد على أن جتا ٩٠ درجة زائد 𝜃 يساوي سالب ثلاثة أخماس.

في المثال التالي، ندمج العديد من الدوال المثلثية. سيزيد هذا الأمر من صعوبة طريقة التمثيل البياني كثيرًا، لذا سنحتاج إلى استخدام مزيج من متطابقات الزاويتين المتتامتين المختلفة للتبسيط.

أوجد قيمة جا ١٨٠ درجة ناقص ﺱ زائد ظا ٣٦٠ درجة ناقص ﺱ زائد سبعة في جا ٢٧٠ درجة ناقص ﺱ، إذا كان جا ﺱ يساوي ثلاثة أخماس، حيث ﺱ يقع بين صفر و ٩٠ درجة.

لدينا تعبير مكون من ثلاثة حدود نريد تبسيطه. ونعرف أن جا ﺱ يساوي ثلاثة أخماس. لتبسيط التعبير بأكمله، سنتناول كل حد من هذه الحدود تباعًا، بدءًا بـ جا ١٨٠ درجة ناقص ﺱ. تخبرنا إحدى متطابقات الزاويتين المتتامتين أن جا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي جتا 𝜃. لا يبدو حد الجيب بهذا الشكل تمامًا، لكن يمكننا إعادة كتابته ليصبح جا ٩٠ درجة زائد ٩٠ درجة ناقص ﺱ. نريد إيجاد شيء ما على الصورة ٩٠ درجة ناقص 𝜃. ويعني هذا أنه يمكننا إعادة ترتيب ذلك على صورة ٩٠ درجة ناقص ﺱ ناقص ٩٠ درجة، حيث 𝜃 يساوي ﺱ ناقص ٩٠ درجة. إذن جتا تساوي 𝜃، أي ﺱ ناقص ٩٠ درجة. يبدو هذا قريبًا جدًّا من جتا ٩٠ درجة ناقص 𝜃. لكن، لإعادة ترتيب هذا الجزء من الدالة، علينا أن نتذكر حقيقة أن دالة جيب التمام دالة زوجية.

نعلم أن جتا سالب 𝜃 يساوي جتا 𝜃. يعني هذا أن جتا ﺱ ناقص ٩٠ يساوي جتا سالب ﺱ ناقص ٩٠، وهو ما يساوي جتا ٩٠ درجة ناقص ﺱ. جتا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي جا 𝜃. وبذلك يمكننا القول إن جا ١٨٠ درجة ناقص ﺱ يساوي جا ﺱ. وهذا يبسط الحد الأول. بالنسبة إلى الحد الثاني، بدلًا من استخدام متطابقات الزاويتين المتتامتين، سنتذكر الخاصية الدورية لظل الزاوية، والتي تخبرنا بأن ظا 𝜃 زائد أو ناقص ١٨٠ درجة يساوي ظا 𝜃. علينا إعادة كتابة ذلك في صورة يمكننا استخدامها، لذا يمكننا أن نكتبه في صورة ظا ١٨٠ درجة زائد ١٨٠ درجة ناقص ﺱ. إذا افترضنا أن 𝜃 يساوي ١٨٠ درجة ناقص ﺱ، فإننا نجمع 𝜃 زائد ١٨٠ درجة داخل دالة الظل هذه، ما سيساوي ظا ١٨٠ درجة ناقص ﺱ.

علينا استخدام هذه الخاصية الدورية مرة أخرى، لذا سنفترض أن 𝜃 يساوي سالب ﺱ. نقول إن ظا ١٨٠ درجة ناقص ﺱ يساوي ظا سالب ﺱ زائد ١٨٠ درجة. وهذه الخاصية الدورية تتيح لنا تبسيط ذلك إلى ظا سالب ﺱ. ولأننا نعلم أن دالة الظل دالة فردية، فإن ظا سالب ﺱ سيساوي سالب ظا ﺱ. أصبح التعبير الآن جا ﺱ ناقص ظا ﺱ. علينا الآن تبسيط الحد الثالث. هذه المرة، سنستخدم إحدى الخصائص الدورية لدالة الجيب وهي أن جا 𝜃 زائد أو ناقص ٣٦٠ درجة يساوي جا 𝜃. إذا افترضنا أن 𝜃 يساوي ٢٧٠ ناقص ﺱ، فيمكننا طرح ٣٦٠ درجة من الزاوية داخل الدالة. ٢٧٠ ناقص ٣٦٠ يساوي سالب ٩٠. وبذلك تصبح الزاوية داخل دالة الجيب سالب ٩٠ درجة ناقص ﺱ. ولأن دالة الجيب دالة فردية، فإن سبعة في جا سالب ٩٠ درجة ناقص ﺱ يساوي سالب سبعة جا ٩٠ درجة زائد ﺱ.

لاستخدام متطابقة الزاويتين المتتامتين في هذه الخطوة، علينا إعادة كتابة هذه الزاوية لتصبح ٩٠ ناقص سالب ﺱ، ما يبسط إلى سالب سبعة جتا سالب ﺱ. وبما أن دالة جيب التمام دالة زوجية، فإن سالب سبعة في جتا سالب ﺱ سيساوي سالب سبعة في جتا ﺱ. إذن، أصبح التعبير الجديد جا ﺱ ناقص ظا ﺱ ناقص سبعة في جتا ﺱ. وبما أننا نعرف أن ﺱ زاوية حادة، فيمكننا إيجاد القيم الأخرى باستخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية. عندما نرسم مثلثًا قائم الزاوية يتضمن زاوية ﺱ، نعرف أن جيب هذه الزاوية يساوي ثلاثة أخماس. ذلك عبارة عن طول الضلع المقابل على طول الوتر. عند هذه النقطة، نعلم أن أطوال أضلاع هذا المثلث القائم الزاوية تساوي ثلاثة – أربعة – خمسة.

بالطبع يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد قياس الزاوية المجهولة. لكن بما أنها تقع ضمن نسبة علاقة جيب الزاوية التي تساوي ثلاثة إلى خمسة، فإننا نعلم أن طول الضلع الثالث يساوي أربعة. ‏جا ﺱ يساوي ثلاثة أخماس ناقص ظا ﺱ — الذي يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور، أي ثلاثة أرباع — ناقص سبعة في جيب التمام، ما يساوي أربعة على خمسة، أي طول الضلع المجاور على طول الوتر. وثلاثة أخماس ناقص ثلاثة أرباع ناقص سبعة في أربعة أخماس يساوي سالب ٢٣ على أربعة.

لنتناول مثالًا أخيرًا، حيث نستخدم متطابقات الزاويتين المتتامتين لمساعدتنا في إيجاد قيمة بعض العلاقات داخل مثلث ما.

‏ﺃﺏﺟ مثلث قائم الزاوية عند الزاوية ﺏ. أوجد ظتا 𝛼 إذا كان ظتا 𝜃 يساوي أربعة أثلاث.

لأننا نعلم أن ﺃﺏﺟ مثلث قائم الزاوية، يمكننا القول إن ﺃﺏﺩ مثلث قائم الزاوية أيضًا. ويعني هذا أنه يمكننا تحديد قياس الزاوية ﺃﺩﺏ على أنه ٩٠ درجة ناقص 𝜃. يعني هذا أيضًا أن 𝛼 زائد ٩٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي ١٨٠ درجة لأن ﺏﺟ يمثل خطًّا مستقيمًا. ثم إذا طرحنا ٩٠ درجة من كلا طرفي هذه المعادلة، فسنجد أن ٩٠ درجة تساوي 𝛼 ناقص 𝜃. وبإضافة 𝜃 إلى كلا الطرفين، نجد أن 𝛼 يساوي ٩٠ درجة زائد 𝜃، ما يعني أن ظتا 𝛼 يساوي ظتا ٩٠ درجة زائد 𝜃. والآن يبدو أننا نقترب من إيجاد الحل لأننا نعرف قيمة ظتا 𝜃. استنادًا إلى متطابقة الزاويتين المتتامتين، نعرف أن ظا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي ظتا 𝜃، لذا علينا إعادة ترتيب ظتا ٩٠ درجة زائد 𝜃.

يمكننا إعادة كتابة هذا التعبير ليصبح ظتا ٩٠ درجة ناقص سالب 𝜃. ومن ثم، نعيد كتابة ذلك بدلالة ظل الزاوية؛ لأن ظل تمام الزاوية هو مقلوب ظل الزاوية. يمكننا القول إن هذا يساوي واحدًا على ظا ٩٠ درجة ناقص سالب 𝜃، ويمكن تبسيط ظا ٩٠ درجة ناقص سالب 𝜃 ليصبح ظتا سالب 𝜃. لكن لدينا الآن واحد على ظتا سالب 𝜃، ما يساوي ظا سالب 𝜃. وبما أن ظا سالب 𝜃 يساوي سالب ظا 𝜃، وهي دالة فردية، فإن هذا يعني أن علينا أن نبسط ذلك إلى سالب ظا 𝜃.

بالرجوع إلى الشكل، إذا كان ظتا 𝜃 يساوي أربعة أثلاث، وﺃﺏ يساوي أربعة، وﺏﺩ يساوي ثلاثة، فإن ظا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور، ما يساوي ثلاثة أرباع. ثم نحتاج إلى سالب قيمة الظل، والتي ستكون سالب ثلاثة أرباع. لقد أثبتنا أن ظتا 𝛼 يساوي سالب ظا 𝜃، الذي يساوي سالب ثلاثة أرباع.

قبل أن ننهي الفيديو، لنراجع بعض النقاط الأساسية سريعًا. تساعد متطابقات الزاويتين المتتامتين ومتطابقات الدوال الفردية والزوجية في تبسيط التعبيرات المثلثية. يمكن دمج هذه المتطابقات مع متطابقات وخصائص مثلثية أخرى لتساعدنا في إيجاد قيم التعبيرات. إليك متطابقات الزاويتين المتتامتين الثلاث التي تناولناها ومتطابقات الدوال الفردية والزوجية التي استعرضناها.