نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سنتعلم كيفية التعبير عن مناطق في المستوى المركب في صورة متباينات وكيفية تفسير المتباينات كمناطق في المستوى المركب. من المرجح أنكم جميعًا قد تعاملتم كثيرًا مع المناطق في المستوى الديكارتي للأعداد الحقيقية باعتبارها متباينات. يهدف هذا الفيديو إلى توسيع نطاق هذه المفاهيم. سنبدأ بتناول المناطق المحددة بأنصاف خطوط مستقيمة، ودوائر، وخطوط عمودية منصفة، قبل تناول كيف تساعدنا رموز المجموعة على إيجاد المناطق المركبة.
تذكر أنه يوجد نوعان من المعادلات نستخدمهما لتحديد المحل الهندسي المعطى على شكل دائرة. معادلات القيمة المطلقة لـ 𝑧 ناقص 𝑧 واحد تساوي 𝑟، وتمثل دائرة نصف قطرها يساوي 𝑟 ويقع مركزها عند 𝑧 واحد. ومعادلات القيمة المطلقة لـ 𝑧 ناقص 𝑧 واحد تساوي 𝑘 في القيمة المطلقة لـ 𝑧 ناقص 𝑧 اثنين، وتمثل أيضًا دائرة عندما يكون 𝑘 أكبر من صفر ولا يساوي واحدًا. في هذه الحالات، سنحتاج إلى إيجاد نصف القطر والمركز في كل حالة.
وسنحتاج كذلك إلى معرفة أن المعادلات التي تكون بالصورة: القيمة المطلقة لـ 𝑧 ناقص 𝑧 واحد تساوي القيمة المطلقة لـ 𝑧 ناقص 𝑧 اثنين تمثل خطًّا عموديًّا منصفًا لقطعة مستقيمة يصل بين 𝑧 واحد و𝑧 اثنين، كما هو موضح في الشكل. وأخيرًا، يوصف نصف الخط المستقيم باستخدام السعة. معادلات سعة 𝑧 ناقص 𝑧 واحد تساوي 𝜃 تمثل نصف خط مستقيم يبدأ من النقطة 𝑧 واحد، لكن لا يتضمنها. نصف الخط المستقيم هذا يكون زاوية 𝜃 مع نصف الخط الأفقي الذي يمتد أيضًا من 𝑧 واحد في الاتجاه الموجب لـ 𝑥.
كما هو الحال بالنسبة للمناطق الموجودة في المستوى الديكارتي، سنحتاج أيضًا إلى الاستفادة من حقيقة أننا سنمثل المتباينة الصريحة، التي تحتوي على علامة أكبر من أو أصغر من، باستخدام خط متقطع في حين نمثل المتباينة الضعيفة، التي تحتوي على علامة أكبر من أو يساوي أو أقل من أو يساوي، بخط متصل. دعونا نبدأ بتناول مثال بسيط يستخدم بعض هذه التعريفات، وننظر في كيفية تحديد المناطق المطلوبة.
ارسم على مخطط أرجاند المنطقة التي تمثل بسعة 𝑧 زائد ثلاثة ناقص اثنين 𝑖 أكبر من أو تساوي سالب 𝜋 على اثنين وأقل من 𝜋 على أربعة.
لرسم هذه المنطقة، سنبدأ بإيجاد الحدود. ويمكن الحصول عليها من سعة 𝑧 زائد ثلاثة ناقص اثنين 𝑖 يساوي سالب 𝜋 على اثنين، وسعة 𝑧 زائد ثلاثة ناقص اثنين 𝑖 يساوي 𝜋 على أربعة. كل منهما يمثل نصف خط مستقيم. يمكننا إعادة كتابة 𝑧 زائد ثلاثة ناقص اثنين 𝑖 بأخذ سالب واحد عاملًا مشتركًا خارج الأقواس. عندئذ نحصل على 𝑧 ناقص سالب ثلاثة زائد اثنين 𝑖. النقطة التي تمثل هذا العدد المركب سيكون إحداثياها الديكارتيان هما: سالب ثلاثة، واثنان. وبالطبع نمثل هذه النقطة بدائرة مفرغة؛ لأننا نعلم أن المحل الهندسي لنقطة ما لا يتضمن في الحقيقة هذه النقطة.
الحد الأول سيكون الزاوية سالب 𝜋 على اثنين مع الاتجاه الموجب للمحور الأفقي، ويقاس عكس اتجاه عقارب الساعة. وهذا يماثل قياس الزاوية موجب 𝜋 على اثنين في اتجاه عقارب الساعة. هذه متباينة ضعيفة. لذا نرسم خطًّا متصلًا لهذه المتباينة كما هو موضح. نصف الخط المستقيم للحد الثاني سيكون الزاوية 𝜋 على أربعة راديان مع المحور الأفقي الموجب، ويقاس عكس اتجاه عقارب الساعة. هذه المرة، لدينا متباينة صريحة. لذا علينا رسم خط متقطع كما هو موضح.
الآن بعد أن حصلنا على حدي المنطقة، علينا تحديد الجانب الذي سنظلله من المنطقة. نحن نركز على جميع الأعداد المركبة حيث سعة 𝑧 زائد ثلاثة ناقص اثنين 𝑖 أكبر من أو تساوي سالب 𝜋 على اثنين وأقل من 𝜋 على أربعة. وسيكون ذلك هو المنطقة التي تقع بين نصفي الخطين المستقيمين هذين. إذن سنظلل هذه المنطقة. وبذلك نكون قد انتهينا. وظللنا المنطقة المطلوبة على مخطط أرجاند.
في المثال التالي، سنتناول منطقة دائرية.
يوضح الشكل منطقة في المستوى المركب. اكتب وصفًا جبريًّا للمنطقة المظللة.
يمكننا بوضوح ملاحظة أن هذه دائرة. لكن ثمة طريقتان لوصف المحل الهندسي الذي يكون دائرة. وهما: القيمة المطلقة لـ 𝑧 ناقص 𝑧 واحد يساوي 𝑟، والقيمة المطلقة لـ 𝑧 ناقص 𝑧 واحد يساوي 𝑘 في القيمة المطلقة لـ 𝑧 ناقص 𝑧 اثنين. في هذا المثال، يتضح أن استخدام الصورة الأولى أكثر منطقية. في الحقيقة، نحاول استخدام هذه الصورة عند وصف المناطق لأنه من الأبسط بكثير إيجاد المركز ونصف القطر ثم إيجاد نقطتين على الدائرة على مسافة ثابتة.
يمكننا ملاحظة أن مركز الدائرة ممثل بالعدد المركب أربعة زائد 𝑖. إذن الإحداثيان الديكارتيان لهذه النقطة هما: أربعة، وواحد. ويمكننا استخدام صيغة المسافة لحساب نصف القطر إما باستخدام النقطة: صفر، سبعة؛ أو النقطة: صفر، سالب خمسة كإحدى النقاط الأخرى. بدلًا من ذلك، يمكننا إيجاد القيمة المطلقة للفرق بين العدد المركب أربعة زائد 𝑖 وسبعة 𝑖، أو سالب خمسة 𝑖. دعونا نستخدم سبعة 𝑖.
سبعة 𝑖 ناقص أربعة زائد 𝑖 يساوي ستة 𝑖 ناقص أربعة، أو سالب أربعة زائد ستة 𝑖. إذن، نحتاج إلى إيجاد القيمة المطلقة لسالب أربعة زائد ستة 𝑖. لإيجاد القيمة المطلقة، نقوم بتربيع الجزأين الحقيقي والتخيلي، وإيجاد مجموعهما، ثم إيجاد الجذر التربيعي لهذا العدد. إذن، القيمة المطلقة لسالب أربعة تربيع زائد ستة تربيع يساوي اثنين جذر 13. وبذلك نكون قد عرفنا أنه يمكن وصف حد المنطقة، أي الدائرة، بمعادلة القيمة المطلقة لـ 𝑧 ناقص أربعة زائد 𝑖، لأن هذا يمثل المركز، تساوي اثنين جذر 13، لأن هذا هو نصف القطر. ويمكننا فك الأقواس وكتابة المعادلة كما هو موضح.
ولكن، علينا التفكير في المنطقة. تقع المنطقة خارج الدائرة. كل نقطة في المنطقة تبعد عن مركز الدائرة مسافة أكبر من طول نصف القطر. كما أنها ممثلة بخط متصل، وهذا يعني أنها تمثل متباينة ضعيفة. وبالتالي، يمكننا القول إن المنطقة ممثلة بالقيمة المطلقة لـ 𝑧 ناقص أربعة ناقص 𝑖 أكبر من أو يساوي اثنين جذر 13.
لقد تناولنا حتى الآن مناطق بسيطة محددة بأنصاف خطوط مستقيمة أو دوائر. لكن لتحديد المناطق المركبة، علينا استخدام رموز المجموعة. سنتذكر سريعًا الرموز التي تهمنا.
𝐴 اتحاد 𝐵 هي المجموعة التي تضم كل العناصر الموجودة في 𝐴 أو 𝐵 أو كليهما. 𝐴 تقاطع 𝐵 هي المجموعة التي تضم كل العناصر الموجودة في 𝐴 و𝐵 معًا. فهي تمثل التداخل بينهما. 𝐴 شرطة هي مكملة المجموعة 𝐴. وهي المجموعة التي تضم كل العناصر غير الموجودة في المجموعة 𝐴 كما هو موضح في شكل فن الثالث. سنرى الآن كيف يمكننا تحديد المناطق المركبة باستخدام هذه الرموز.
صف المنطقة المظللة في الشكل الآتي جبريًّا بالصورة 𝐴 تقاطع 𝐵 تقاطع 𝐶، حيث 𝐴 هي مجموعة الأعداد المركبة حيث الجزء التخيلي لـ 𝑧 أقل من 𝐴. و𝐵 هي مجموعة الأعداد المركبة حيث القيمة المطلقة لـ 𝑧 أقل من أو تساوي القيمة المطلقة لـ 𝑧 ناقص 𝑧 واحد. و𝐶 هي مجموعة الأعداد المركبة حيث القيمة المطلقة لـ 𝑧 أقل من أو تساوي القيمة المطلقة لـ 𝑧 ناقص 𝑧 اثنين. كما أن كلًّا من 𝑎، وهو عدد حقيقي، و𝑧 واحد و𝑧 اثنين، وهما عددان مركبان، ثوابت مطلوب إيجادها.
يمكننا ملاحظة أن المنطقة محاطة بثلاثة خطوط مستقيمة. لدينا خط أفقي واحد، وهو 𝐿 واحد، وخطان قطريان سميتهما 𝐿 اثنين و𝐿 ثلاثة. يمكننا ملاحظة أن الخط الأفقي يعبر عن معادلة الجزء التخيلي لـ 𝑧 يساوي اثنين. ما يعنينا الآن هو المنطقة التي تقع أسفل هذا الخط مباشرة. ويمكننا ملاحظة أنه ممثل بخط متقطع. إذن ستكون المتباينة صريحة. ومن ثم، يمكننا القول إن 𝐴 يساوي مجموعة الأعداد المركبة، حيث يكون الجزء التخيلي لهذا العدد المركب حتمًا أقل من اثنين.
دعونا الآن نفكر في الخط القطري الذي يمر بالنقطتين: ثلاثة، صفر؛ وصفر، سالب ثلاثة. تذكر أننا وصفنا الخطوط القطرية في المستوى المركب كخطوط عمودية منصفة لقطعة مستقيمة تصل نقطة بنقطة الأصل. ومن الممكن هنا أن نفعل ذلك بمجرد النظر. لاحظ أن الخط نفسه يمر برأسين من رءوس المربع عند ثلاثة، صفر؛ وصفر، سالب ثلاثة. هذا يعني أن الخط الذي سينصفه يمر حتمًا بالرأسين الآخرين عند صفر، صفر؛ وثلاثة، سالب ثلاثة.
إذن، الخط هو الخط العمودي المنصف للقطعة المستقيمة التي تصل النقطة ثلاثة، سالب ثلاثة بنقطة الأصل. ويمثل ذلك العدد المركب ثلاثة ناقص ثلاثة 𝑖. لذا يمكننا القول إن 𝐵 يساوي مجموعة الأعداد المركبة حيث القيمة المطلقة لهذا العدد المركب أقل من أو يساوي القيمة المطلقة لـ 𝑧 ناقص ثلاثة ناقص ثلاثة 𝑖.
الآن سنتناول الخط الثالث. ليس من السهل إيجاد الخط الذي ينصفه بمجرد النظر. لذا، لنبحث عن طريقة يمكن تعميمها. سنبدأ بإيجاد انحدار الخط المستقيم. والصيغة المستخدمة هنا هي التغير في 𝑦 مقسومًا على التغير في 𝑥، أو 𝑦 اثنان ناقص 𝑦 واحد على 𝑥 اثنين ناقص 𝑥 واحد. بالتالي، الانحدار يساوي سالب ثلاثة ناقص صفر على صفر ناقص سالب اثنين، وهو ما يساوي سالب ثلاثة على اثنين.
بما أن هذا الخط المستقيم يمر بالمحور التخيلي عند النقطة سالب ثلاثة، يمكننا القول إن معادلته هي 𝑦 يساوي سالب ثلاثة على اثنين 𝑥 ناقص ثلاثة. يمكننا أيضًا إيجاد انحدار الخط الذي ينصفه. بما أن الخط الذي ينصفه عمودي على هذا الخط، فإن انحداره يساوي ثلثين. كما أنه بالطبع يمر بنقطة الأصل. إذن، معادلته هي: 𝑦 يساوي ثلثين 𝑥.
بعد ذلك، سنوجد نقطة تقاطع هذين الخطين. سنفعل ذلك من خلال مساواة انحداري الخطين. نضيف سالب ثلاثة على اثنين 𝑥 لكلا الطرفين ثم نقسم الطرفين على ثلاثة. ونلاحظ أن قيمة 𝑥 للنقطة التي يتقاطع هذان الخطان عندها هي سالب 18 على 13. بالتعويض بهذه القيمة في أي من المعادلتين اللتين استخدمناهما منذ قليل، نحصل على قيمة 𝑦 التي تساوي سالب 12 على 13. وبهذا نكون قد عرفنا نقطة تقاطع هذين الخطين. الخط الموجود لدينا هو الخط العمودي المنصف للقطعة المستقيمة التي تصل عددًا مركبًا بنقطة الأصل. إذن، فإن هذا الإحداثي الذي أوجدناه سيكون حتمًا نصف قيمة العدد المركب الذي نحتاج إليه.
وبالتالي، يمكننا مضاعفة قيمتي 𝑥 و𝑦. يمكننا ملاحظة أنه يمكن الحصول على العدد المركب الذي نحتاج إليه، وهو 𝑧 اثنان في الجزء 𝐶، من خلال النقطة التي يكون إحداثياها الديكارتيان هما سالب 36 على 13، وسالب 24 على 13. وهذا يخبرنا بأن 𝐶 يساوي مجموعة الأعداد المركبة حيث القيمة المطلقة لـ 𝑧 أقل من أو تساوي القيمة المطلقة لـ 𝑧 ناقص سالب 36 على 13 ناقص 24 على 13𝑖. وبالطبع، أخبرنا السؤال بأن 𝑎، و𝑧 واحد، و𝑧 اثنين هي ثوابت مطلوب إيجاد قيمتها. إذن، نضيف أن 𝑎 يساوي اثنين. و𝑧 يساوي ثلاثة ناقص ثلاثة 𝑖. و𝑧 اثنان يساوي سالب 36 على 13 ناقص 24 على 13𝑖.
سنتناول الآن مثالًا آخر على تمثيل المناطق المركبة في المستوى المركب.
العدد المركب 𝑧 يحقق الشروط الآتية. القيمة المطلقة لـ 𝑧 أكبر من أو تساوي اثنين في القيمة المطلقة لـ 𝑧 زائد 12 ناقص تسعة 𝑖. القيمة المطلقة لـ 𝑧 ناقص اثنين 𝑖 أكبر من أو تساوي القيمة المطلقة لـ 𝑧 زائد ستة زائد أربعة 𝑖. والجزء التخيلي لـ 𝑧 أقل من 12. مثل المنطقة على مخطط أرجاند.
سنبدأ بالتفكير في أول منطقة. يمكننا إيجاد مركز الدائرة ونصف قطرها من خلال التعويض عن 𝑧 بالقيمة 𝑥 زائد 𝑦𝑖 في المعادلة. تذكر أن كل ما نفعله في هذه اللحظة هو إيجاد حد المنطقة. بعد ذلك، نقوم بتربيع طرفي هذه المعادلة. يمكننا في الحال وضع العدد أربعة ليحل محل اثنين تربيع.
لكن في باقي أجزاء المعادلة، سنحتاج إلى استخدام تعريف القيمة المطلقة. نحن نعرف أن القيمة المطلقة لـ 𝑥 زائد 𝑦𝑖 تساوي الجذر التربيعي لـ 𝑥 تربيع زائد 𝑦 تربيع. إذن، يصبح الطرف الأيسر في المعادلة 𝑥 تربيع زائد 𝑦 تربيع. بعد ذلك، نجمع الجزأين الحقيقي والتخيلي في الطرف الأيمن. ونحصل على أربعة في 𝑥 زائد 12 الكل تربيع زائد 𝑦 ناقص تسعة الكل تربيع. عند فك الأقواس والتبسيط في الطرف الأيمن، نحصل على أربعة 𝑥 تربيع زائد 96𝑥 زائد أربعة 𝑦 تربيع ناقص 72𝑦 زائد 900. نطرح 𝑥 تربيع و𝑦 تربيع من طرفي المعادلة. ثم نقسم الكل على ثلاثة.
نحن نريد إيجاد المعادلة الديكارتية لدائرة. لذا علينا إكمال المربع لـ 𝑥 و𝑦. لـ 𝑥، نحصل على 𝑥 زائد 16 الكل تربيع ناقص 256. لـ 𝑦، نحصل على 𝑦 ناقص 12 الكل تربيع ناقص 144. ونضيف العدد 300. سالب 256 ناقص 144 زائد 300 يساوي سالب 100. نضيف العدد 100 لكلا الطرفين. ونحصل على المعادلة الديكارتية للدائرة. يقع مركزها عند سالب 16، 12 ونصف قطرها يساوي 10 وحدات.
وبالتالي، فإن حد المنطقة الأولى هو هذه الدائرة كما هو موضح. لكن، كيف سنقرر ما إذا كنا سنظلل داخل الدائرة أم خارجها؟ حسنًا، دعونا نختر نقطة نعلم أنها تقع خارج الدائرة. فلنختر النقطة التي إحداثياها الديكارتيان: واحد، وصفر. هذا هو العدد المركب واحد. سنعوض به في المتباينة الأولى ونرى ما إذا كانت العبارة منطقية.
هذه العبارة هي: القيمة المطلقة لواحد أكبر من أو تساوي اثنين في القيمة المطلقة لواحد زائد 12 ناقص تسعة 𝑖. أو القيمة المطلقة لواحد أكبر من أو تساوي اثنين في القيمة المطلقة لـ 13 ناقص تسعة 𝑖. حسنًا، القيمة المطلقة لواحد تساوي واحدًا. والقيمة المطلقة لـ 13 ناقص تسعة 𝑖 تساوي الجذر التربيعي لـ 250. والواحد ليس أكبر من اثنين جذر 250. إذن، هذه العبارة خاطئة. هذا يوضح لنا أننا سنركز على الجزء الداخلي للدائرة. هذه هي المنطقة التي تحقق الشرط الأول. سنظلل المنطقة بالكامل عند تناول الحالتين الأخريين.
في الشرط الثاني، نحن نعلم أن المعادلة، القيمة المطلقة لـ 𝑧 ناقص اثنين 𝑖 تساوي القيمة المطلقة لـ 𝑧 زائد ستة زائد أربعة 𝑖، تمثل الخط العمودي المنصف للقطعة المستقيمة التي تصل النقطة التي تمثل اثنين 𝑖 وسالب ستة ناقص أربعة 𝑖. وهي القطعة المستقيمة بين صفر، اثنين؛ وسالب ستة، سالب أربعة. يمكننا إيجاد المعادلة الفعلية للخط العمودي المنصف لهذه القطعة المستقيمة من خلال إيجاد الانحدار ونقطة المنتصف للقطعة المستقيمة التي ينصفها. بدلًا من ذلك، يمكننا القيام بهذا بمجرد النظر في هذا المثال. فيمكننا ملاحظة أن الخط يمر خلال النقطة: صفر، سالب أربعة؛ والنقطة: سالب أربعة، صفر. كما أنه يمر بمركز الدائرة.
مرة أخرى، سنعوض عن 𝑧 بالواحد في المتباينة ونرى ما إذا كانت العبارة منطقية. القيمة المطلقة لواحد ناقص اثنين 𝑖 تساوي الجذر التربيعي لخمسة. والقيمة المطلقة لواحد زائد ستة زائد أربعة 𝑖 أو القيمة المطلقة لسبعة زائد أربعة 𝑖 تساوي الجذر التربيعي لـ 65. مرة أخرى، يمكننا ملاحظة أن الجذر التربيعي للخمسة ليس أكبر من أو يساوي الجذر التربيعي لـ 65. كما يمكننا ملاحظة أن ما يعنينا هو الجهة الأخرى من الخط. وبالطبع، لا تنس أننا نرسم خطًّا متصلًا لأن المتباينة ضعيفة.
دعونا نفكر في المنطقة الثالثة. ذكر السؤال أن الجزء التخيلي لـ 𝑧 يجب أن يكون أقل من 12. إذن، حد هذه المنطقة هو الخط الأفقي الذي يمر بالعدد 12 على المحور التخيلي. ونظرًا لأن هذه المتباينة صريحة، فإننا نرسم خطًّا متقطعًا. ونركز على المنطقة التي تقع أسفل الخط المتقطع. لتحقيق المناطق الثلاث الموجودة في السؤال، علينا إيجاد تقاطع هذه المناطق. إذن، نظلل التداخل بين المناطق الثلاث. وهو قطاع الدائرة الموضح. وبذلك نكون قد انتهينا. ومثلنا المنطقة على مخطط أرجاند.
في هذا الفيديو، تعلمنا كيفية استخدام فهمنا للمحال الهندسية في تمثيل المناطق على المستوى المركب. كما استخدمنا الخطوط المتقطعة لتمثيل النقاط الحدية غير المتضمنة، والخطوط المتصلة لتمثيل المناطق التي تتضمن نقاطها الحدية. ويمكننا استخدام العمليات على المجموعات مثل: الاتحاد، والتقاطع، ومكملات المجموعات لتحديد المناطق المركبة في المستوى المركب.
