فيديو الدرس: حل المعادلات الأسية باستخدام اللوغاريتمات الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم اللوغاريتمات لحل المعادلات الأسية. سنبدأ بالتعرف على العلاقة بين الدوال الأسية والدوال اللوغاريتمية. وسنتذكر معًا قوانين اللوغاريتمات.

نعلم أن الدوال اللوغاريتمية هي معكوس الدوال الأسية. إذا كان ﺃ أس ﺱ يساوي ﺏ، فإن ﺱ يساوي لوغاريتم ﺏ للأساس ﺃ. سنستخدم هذه القاعدة لحل المعادلات بالصورة الأسية. على سبيل المثال، إذا كان اثنان أس ﺱ يساوي ١٦، فإن ﺱ يساوي لوغاريتم ١٦ للأساس اثنين. باستخدام الآلة الحاسبة العلمية، يعطينا ذلك أربعة. ونعلم أن هذا صحيح؛ لأن اثنين أس أربعة يساوي ١٦.

في هذا الفيديو، سيكون علينا عند حل المعادلات الأسية أخذ قوانين اللوغاريتمات في الاعتبار أيضًا. ينص القانون الأول على أن لوغاريتم ﺱ للأساس ﺃ زائد لوغاريتم ﺹ للأساس ﺃ يساوي لوغاريتم ﺱ مضروبًا في ﺹ للأساس ﺃ. وبالطريقة نفسها، لوغاريتم ﺱ للأساس ﺃ ناقص لوغاريتم ﺹ للأساس ﺃ يساوي لوغاريتم ﺱ مقسومًا على ﺹ للأساس ﺃ. وأخيرًا، لدينا لوغاريتم ﺱ أس ﻥ للأساس ﺃ يساوي ﻥ مضروبًا في لوغاريتم ﺱ للأساس ﺃ.

سنستخدم هذا القانون الثالث والعلاقة بين المعادلات الأسية والمعادلات اللوغاريتمية في معظم أسئلة هذا الفيديو. نلاحظ أنه في جميع قوانين اللوغاريتمات الثلاثة، يجب أن يكون الأساس متساويًا. نتذكر هنا أن لوغاريتم ﺱ للأساس ١٠ يكتب عادة في صورة لوغاريتم ﺱ. لذا من الشائع عند حساب اللوغاريتمات أن نحسبها للأساس ١٠. هذا يعني أننا لسنا بحاجة إلى كتابة الأساس في كل خطوة من العمليات الحسابية. سنتناول الآن بعض الأسئلة التي يطلب منا فيها حل معادلات أسية.

حل ثلاثة أس ﺱ يساوي ١١ لإيجاد ﺱ، مقربًا إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

هناك طريقتان لحل هذه المعادلة باستخدام اللوغاريتمات. أولًا، يمكننا استخدام حقيقة أنه إذا كان ﺃ أس ﺱ يساوي ﺏ، فإن ﺱ يساوي لوغاريتم ﺏ للأساس ﺃ. في هذا السؤال، الثابتان ﺃ وﺏ قيمتهما ثلاثة و١١، على الترتيب. هذا يعني أن ﺱ يساوي لوغاريتم ١١ للأساس ثلاثة. يمكننا كتابة الطرف الأيسر مباشرة على الآلة الحاسبة العلمية، ما يعطينا ٢٫١٨٢٦٥٨ وهكذا مع توالي الأرقام. وبما أنه مطلوب منا أن تكون الإجابة مقربة لأقرب ثلاث منازل عشرية، فالعدد المحدد للتقريب هو الستة. عندما يكون العدد المحدد خمسة أو أكثر، نقرب لأعلى. وعليه، فإن ﺱ يساوي ٢٫١٨٣. يمكننا التأكد من هذه الإجابة بالتعويض بالقيمة التي لدينا مرة أخرى في المعادلة الأصلية. ثلاثة أس ﺱ يساوي ١١.

توجد طريقة بديلة لحل هذا السؤال، وهي أخذ اللوغاريتم لكلا الطرفين أولًا. نتذكر أن اللوغاريتم المكتوب دون أساس هو لوغاريتم الأساس ١٠. وينص أحد قوانين اللوغاريتمات على أن لوغاريتم ﺱ أس ﻥ يساوي ﻥ مضروبًا في لوغاريتم ﺱ. وبما أن الأس في الطرف الأيمن من المعادلة هو ﺱ، يمكننا إعادة كتابة ذلك في صورة ﺱ مضروبًا في لوغاريتم ثلاثة. وهذا يساوي لوغاريتم ١١. يمكننا بعد ذلك قسمة طرفي المعادلة على لوغاريتم ثلاثة، لنحصل بذلك على ﺱ يساوي لوغاريتم ١١ مقسومًا على لوغاريتم ثلاثة. مرة أخرى، تكون الإجابة التي نحصل عليها مقربة إلى أقرب ثلاث منازل عشرية هي ٢٫١٨٣.

في السؤال التالي، سيكون الأس أكثر تعقيدًا.

أوجد، لأقرب جزء من مائة، قيمة ﺱ، إذا كان اثنان أس ﺱ زائد ثمانية يساوي تسعة.

في هذا السؤال، نريد حل معادلة أسية. سنفعل ذلك بالاستعانة بمعرفتنا باللوغاريتمات. هناك طريقتان شائعتان لفعل ذلك. إحدى هاتين الطريقتين هي أن نتذكر أنه إذا كان ﺃ أس ﺱ يساوي ﺏ، فإن ﺱ يساوي لوغاريتم ﺏ للأساس ﺃ. في هذا السؤال، الأس هو ﺱ زائد ثمانية، وقيمتا ﺃ وﺏ هما اثنان وتسعة، على الترتيب. إذن الأس ﺱ زائد ثمانية يساوي لوغاريتم تسعة للأساس اثنين. بكتابة الطرف الأيسر على الآلة الحاسبة، نحصل على ٣٫١٦٩٩٢٥ وهكذا مع توالي الأرقام. وبما أننا نريد إيجاد قيمة ﺱ، فعلينا طرح ثمانية من كلا طرفي هذه المعادلة. هذا يعطينا ﺱ يساوي سالب ٤٫٨٣٠٠٧٤ وهكذا مع توالي الأرقام. ونريد التقريب لأقرب جزء من مائة، الذي هو نفسه التقريب لأقرب منزلتين عشريتين. إذن ﺱ يساوي سالب ٤٫٨٣. يمكننا التأكد من هذه الإجابة بالتعويض بها مرة أخرى في المعادلة: اثنان أس ﺱ زائد ثمانية يساوي تسعة.

تتمثل طريقة بديلة للحل في أخذ اللوغاريتم لكلا طرفي المعادلة الأصلية. يمكننا بعد ذلك استخدام قانون اللوغاريتمات الذي ينص على أن لوغاريتم ﺱ أس ﻥ يساوي ﻥ مضروبًا في لوغاريتم ﺱ. وبذلك، يصبح الطرف الأيمن من المعادلة ﺱ زائد ثمانية مضروبًا في لوغاريتم اثنين. وهذا يساوي لوغاريتم تسعة. يمكننا بعد ذلك قسمة كلا طرفي المعادلة على لوغاريتم اثنين ليصبح ﺱ زائد ثمانية يساوي لوغاريتم تسعة مقسومًا على لوغاريتم اثنين. هذا الطرف الأيسر هو نفسه لوغاريتم تسعة للأساس اثنين. وإذا كتبناه على الآلة الحاسبة، فسنحصل مرة أخرى على ٣٫١٦٩٩٢٥ وهكذا مع توالي الأرقام. نطرح بعد ذلك ثمانية من كلا طرفي هذه المعادلة، ما يعطينا ﺱ يساوي سالب ٤٫٨٣.

كلتا الطريقتين مقبولة لحل أي معادلة أسية من هذا النوع.

سؤالنا التالي أكثر تعقيدًا؛ إذ سيكون لدينا أس في كلا طرفي المعادلة.

استخدم الآلة الحاسبة لإيجاد قيمة ﺱ، إذا كان ثلاثة أس سالب أربعة ﺱ ناقص ثلاثة يساوي ثمانية أس ﺱ زائد ٤٫٧. قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

لحل هذه المعادلة الأسية، سنبدأ بأخذ اللوغاريتم لكلا الطرفين. هذا يعطينا لوغاريتم ثلاثة أس سالب أربعة ﺱ ناقص ثلاثة يساوي لوغاريتم ثمانية أس ﺱ زائد ٤٫٧. نتذكر هنا أن أحد قوانين اللوغاريتمات ينص على أن لوغاريتم ﺱ أس ﻥ يساوي ﻥ مضروبًا في لوغاريتم ﺱ. وبإنزال الأسين في كلا طرفي المعادلة، يصبح لدينا سالب أربعة ﺱ ناقص ثلاثة مضروبًا في لوغاريتم ثلاثة يساوي ﺱ زائد ٤٫٧ مضروبًا في لوغاريتم ثمانية.

يمكننا بعد ذلك توزيع أو فك الأقواس في كلا الطرفين. وبهذا، يصبح الطرف الأيمن سالب أربعة ﺱ في لوغاريتم ثلاثة ناقص ثلاثة في لوغاريتم ثلاثة. ويصبح الطرف الأيسر ﺱ في لوغاريتم ثمانية زائد ٤٫٧ في لوغاريتم ثمانية. يحتوي حدان من الحدود الأربعة لدينا على ﺱ. لذا، نحتاج إلى كتابة هذين الحدين في طرف واحد من المعادلة. يمكننا إضافة أربعة ﺱ في لوغاريتم ثلاثة وطرح ٤٫٧ في لوغاريتم ثمانية من كلا طرفي المعادلة؛ وبهذا يكون لدينا سالب ثلاثة في لوغاريتم ثلاثة ناقص ٤٫٧ في لوغاريتم ثمانية يساوي ﺱ في لوغاريتم ثمانية زائد أربعة ﺱ في لوغاريتم ثلاثة.

خطوتنا التالية هي أن نأخذ العامل المشترك ﺱ من الطرف الأيسر، وبذلك يصبح هذا الطرف ﺱ مضروبًا في لوغاريتم ثمانية زائد أربعة في لوغاريتم ثلاثة. يمكننا الآن قسمة كلا طرفي المعادلة على لوغاريتم ثمانية زائد أربعة في لوغاريتم ثلاثة، ليكون ﺱ هو المتغير التابع. وبذلك، فإن ﺱ يساوي سالب ثلاثة في لوغاريتم ثلاثة ناقص ٤٫٧ في لوغاريتم ثمانية مقسومًا على لوغاريتم ثمانية زائد أربعة في لوغاريتم ثلاثة. وبتذكر أن اللوغاريتم بدون أساس هو لوغاريتم للأساس ١٠، يمكننا كتابة ذلك على الآلة الحاسبة لنجد أن ﺱ يساوي سالب ٢٫٠١٨٧٥٦ وهكذا مع توالي الأرقام. بتقريب ذلك لأقرب منزلتين عشريتين، نحصل على ﺱ يساوي سالب ٢٫٠٢. هذه هي قيمة ﺱ، إذا كان ثلاثة أس سالب أربعة ﺱ ناقص ثلاثة يساوي ثمانية أس ﺱ زائد ٤٫٧.

سنلقي نظرة الآن على نوعين مختلفين قليلًا من المعادلات الأسية.

حل اثنان في ثلاثة أس ﺱ يساوي خمسة في أربعة أس ﺱ لإيجاد قيمة ﺱ، مقربًا إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

هناك العديد من الطرق للبدء في حل هذا السؤال. إحدى هذه الطرق هي قسمة كلا الطرفين على خمسة مضروبًا في ثلاثة أس ﺱ. هذا يعني أنه في الطرف الأيمن، نحذف ثلاثة أس ﺱ من بسط الكسر ومقامه ويتبقى لدينا خمسان. وفي الطرف الأيسر، نحذف الخمسة من بسط الكسر ومقامه ويتبقى لدينا أربعة أس ﺱ مقسومًا على ثلاثة أس ﺱ. عندما يكون بسط الكسر ومقامه كلاهما مرفوعان لنفس القوة، يمكن إعادة كتابته كما هو موضح. ‏ﺃ أس ﺱ على ﺏ أس ﺱ يساوي ﺃ على ﺏ الكل أس ﺱ. هذا يعني أن خمسين يساوي أربعة أثلاث الكل أس ﺱ.

يمكننا حل هذه المعادلة بأخذ اللوغاريتم لكلا الطرفين. وبدلًا من ذلك، يمكننا استخدام حقيقة أنه إذا كان ﺃ أس ﺱ يساوي ﺏ، فإن ﺱ يساوي لوغاريتم ﺏ للأساس ﺃ. وقيمتا ﺃ وﺏ هنا، على الترتيب، هما أربعة أثلاث وخمسان. وعليه، فإن ﺱ يساوي لوغاريتم خمسين للأساس أربعة أثلاث. بكتابة ذلك على الآلة الحاسبة، نحصل على ﺱ يساوي سالب ٣٫١٨٥٠٨١ وهكذا مع توالي الأرقام. وبما أن المطلوب منا هو تقريب الإجابة لأقرب ثلاث منازل عشرية، فإن ﺱ يساوي سالب ٣٫١٨٥.

كما ذكرنا من قبل، كان بإمكاننا أخذ اللوغاريتم للطرفين عندما كانت لدينا المعادلة: خمسان يساوي أربعة أثلاث الكل أس ﺱ. وكان ذلك سيعطينا لوغاريتم خمسين يساوي لوغاريتم أربعة أثلاث الكل أس ﺱ. وينص أحد قوانين اللوغاريتمات على أن لوغاريتم ﺱ أس ﻥ يساوي ﻥ مضروبًا في لوغاريتم ﺱ. هذا يعني أنه يمكننا إعادة كتابة الطرف الأيسر بالصورة ﺱ مضروبًا في لوغاريتم أربعة أثلاث. وبقسمة كلا الطرفين على لوغاريتم أربعة أثلاث، نحصل على ﺱ يساوي لوغاريتم خمسين على لوغاريتم أربعة أثلاث. وبكتابة هذا على الآلة الحاسبة، نحصل أيضًا على الإجابة سالب ٣٫١٨٥. وهذا يؤكد أن هذه هي قيمة ﺱ التي تحل المعادلة: اثنان مضروبًا في ثلاثة أس ﺱ يساوي خمسة مضروبًا في أربعة أس ﺱ.

سنتناول الآن سؤالًا أخيرًا.

استخدم الآلة الحاسبة لإيجاد قيمة ﺱ، إذا كان اثنان أس ﺱ مضروبًا في سبعة يساوي ١٦ مضروبًا في سبعة أس ﺱ زائد تسعة. قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

سنبدأ حل هذا السؤال بأخذ اللوغاريتم لكلا طرفي المعادلة. هذا يعطينا لوغاريتم اثنين أس ﺱ مضروبًا في سبعة يساوي لوغاريتم ١٦ مضروبًا في سبعة أس ﺱ زائد تسعة. نتذكر هنا أن أحد قوانين اللوغاريتمات ينص على أن لوغاريتم ﺱ زائد لوغاريتم ﺹ يساوي لوغاريتم ﺱ مضروبًا في ﺹ. هذا يعني أنه يمكننا إعادة كتابة الطرف الأيمن في صورة لوغاريتم اثنين أس ﺱ زائد لوغاريتم سبعة. ويمكن إعادة كتابة الطرف الأيسر في صورة لوغاريتم ١٦ زائد لوغاريتم سبعة أس ﺱ زائد تسعة.

ينص قانون آخر من قوانين اللوغاريتمات على أن لوغاريتم ﺱ أس ﻥ يساوي ﻥ في لوغاريتم ﺱ. لذا، يمكننا إعادة كتابة الحد الأول في الطرف الأيسر على صورة ﺱ في لوغاريتم اثنين. وكذلك يمكننا إعادة كتابة الحد الأخير في الطرف الأيسر على صورة ﺱ زائد تسعة مضروبًا في لوغاريتم سبعة. يمكننا توزيع الأقواس هنا لنحصل على ﺱ في لوغاريتم سبعة زائد تسعة في لوغاريتم سبعة.

وبذلك أصبحت المعادلة ﺱ في لوغاريتم اثنين زائد لوغاريتم سبعة يساوي لوغاريتم ١٦ زائد ﺱ في لوغاريتم سبعة زائد تسعة في لوغاريتم سبعة. يحتوي حدان من هذه الحدود الخمسة على ﺱ، ومن ثم علينا وضعهما في الطرف نفسه من المعادلة. بطرح لوغاريتم سبعة وﺱ في لوغاريتم سبعة من طرفي المعادلة، نحصل على ﺱ في لوغاريتم اثنين ناقص ﺱ في لوغاريتم سبعة يساوي لوغاريتم ١٦ زائد تسعة في لوغاريتم سبعة ناقص لوغاريتم سبعة. ويمكن تبسيط الحدين الأخيرين في الطرف الأيسر. تسعة في لوغاريتم سبعة ناقص لوغاريتم سبعة يساوي ثمانية في لوغاريتم سبعة.

يمكننا بعد ذلك أخذ العامل المشترك ﺱ من الطرف الأيمن، وبهذا نحصل على ﺱ مضروبًا في لوغاريتم اثنين ناقص لوغاريتم سبعة. هذا يساوي لوغاريتم ١٦ زائد ثمانية في لوغاريتم سبعة. وأخيرًا، نقسم كلا الطرفين على لوغاريتم اثنين ناقص لوغاريتم سبعة. بكتابة هذا على الآلة الحاسبة، نحصل على ﺱ يساوي سالب ١٤٫٦٣٩٥ وهكذا مع توالي الأرقام. مطلوب منا تقريب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين. إذن، ﺱ يساوي سالب ١٤٫٦٤. هذه هي قيمة ﺱ، إذا كان اثنان أس ﺱ مضروبًا في سبعة يساوي ١٦ مضروبًا في سبعة أس ﺱ زائد تسعة.

سنلخص الآن النقاط الأساسية المستخلصة من هذا الفيديو. عرفنا في هذا الفيديو أن الدوال اللوغاريتمية هي معكوس الدوال الأسية. وهذا يعني أنه يمكننا حل أي معادلة أسية بأخذ اللوغاريتم لكلا الطرفين. لحل المعادلات الأسية البسيطة، يمكننا استخدام حقيقة أن ﺃ أس ﺱ يساوي ﺏ يعني أن ﺱ يساوي لوغاريتم ﺏ للأساس ﺃ. يمكننا أيضًا استخدام قوانين اللوغاريتمات الثلاثة، وهي: لوغاريتم ﺱ زائد لوغاريتم ﺹ يساوي لوغاريتم ﺱﺹ، ولوغاريتم ﺱ ناقص لوغاريتم ﺹ يساوي لوغاريتم ﺱ مقسومًا على ﺹ، ولوغاريتم ﺱ أس ﻥ يساوي ﻥ مضروبًا في لوغاريتم ﺱ.

نتذكر أيضًا أنه عند وجود لوغاريتم مكتوب دون أساس، فإن ذلك هو اللوغاريتم القياسي للأساس ١٠. باستخدام كل هذه المعلومات عن اللوغاريتمات، تمكنا من حل المعادلات الأسية، بما في ذلك المعادلات التي تكون فيها الأسس أعدادًا نسبية والتي تكون فيها الأسس ذوات حدين في متغير واحد.