فيديو السؤال: إيجاد الجذور الخماسية للعدد واحد الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد الجذور الخماسية للعدد واحد.

حسنًا، هذه الجذور هي القيم الخمس لـ ﻉ التي تحقق المعادلة ﻉ أس خمسة يساوي واحدًا. ويمكننا استخدام نظرية ديموافر لمساعدتنا في حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﻉ. تنص هذه النظرية على أنه لأي عدد مركب ﻉ، والذي يساوي ﻝ في جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃، فإن الجذر النوني لـ ﻉ يعطى من خلال ﻉ أس واحد على ﻥ يساوي ﻝ أس واحد على ﻥ في جتا 𝜃 زائد اثنين 𝜋ﻙ على ﻥ زائد ﺕ جا 𝜃 زائد اثنين 𝜋ﻙ على ﻥ لقيم ﻙ من صفر، واحد، اثنين، وهكذا تصاعديًّا حتى نصل إلى ﻥ ناقص واحد.

بالنظر إلى المعادلة مرة أخرى، نجد أن ﻉ أس خمسة يساوي واحدًا. ويمكننا كتابة واحد على الصورة القطبية، أي على الصورة واحد في جتا صفر، زائد ﺕ جا صفر. بعبارة أخرى، ﻝ يساوي واحدًا، و𝜃 يساوي صفرًا. وبما أن ﻝ يساوي واحدًا، فإن ﻝ أس واحد على ﻥ سيساوي واحدًا. وبما أن 𝜃 يساوي صفرًا، يمكننا القول إن ﻉ أس واحد على ﻥ يساوي جتا اثنين 𝜋ﻙ على ﻥ زائد ﺕ جا اثنين 𝜋ﻙ على ﻥ، حيث يأخذ ﻙ القيم الصحيحة من صفر إلى ﻥ ناقص واحد. ويمكننا كتابة ذلك على الصورة الأسية ﻫ أس اثنين 𝜋ﻙ على ﻥ ﺕ.

والآن، أصبح لدينا هذه الصيغة العامة لإيجاد الجذور النونية للعدد واحد. هيا نعد للبداية ونجب عن السؤال. لإيجاد الجذور الخماسية للعدد واحد، سنجعل ﻥ يساوي خمسة، وسيأخذ ﻙ القيم الصحيحة من صفر إلى خمسة ناقص واحد. وخمسة ناقص واحد يساوي أربعة. عند ﻙ يساوي صفرًا، فإن ﻉ أس واحد على خمسة يساوي جتا اثنين 𝜋 في صفر على خمسة زائد ﺕ جا اثنين 𝜋 في صفر على خمسة. حسنًا، اثنان 𝜋 في صفر يساوي صفرًا. وهذا يعطينا جتا صفر زائد ﺕ جا صفر، أو يعطينا ﻫ أس صفر ﺕ على الصورة الأسية، وهو ما يساوي بالطبع ﻫ أس صفر أو واحدًا. وعليه، فإن الجذر الأول يساوي واحدًا.

لإيجاد الجذر التالي، دعونا نعوض عن ﻙ بواحد. هذا يعطينا جتا اثنين 𝜋 في واحد على خمسة زائد ﺕ جا اثنين 𝜋 في واحد على خمسة. وبالطبع، اثنان 𝜋 في واحد على خمسة يساوي اثنين 𝜋 على خمسة. وعليه، عند كتابة التعبير على الصورة الأسية، نجد أن الجذر التالي هو ﻫ أس اثنين 𝜋 على خمسة ﺕ. نستكمل الحل على هذا النمط. عند ﻙ يساوي اثنين، نحصل على جتا اثنين 𝜋 في اثنين على خمسة زائد ﺕ جا اثنين 𝜋 في اثنين على خمسة، وهو ما يبسط إلى جتا أربعة 𝜋 على خمسة زائد ﺕ جا أربعة 𝜋 على خمسة، وعلى الصورة الأسية، هذا يساوي ﻫ أس أربعة 𝜋 على خمسة ﺕ. بعد ذلك، نعوض بـ ﻙ يساوي ثلاثة، ونجد أن الجذر التالي هو جتا ستة 𝜋 على خمسة زائد ﺕ جا ستة 𝜋 على خمسة.

ولكننا نحاول بوجه عام إعطاء الإجابات بحيث تكون السعة الأساسية هنا أكبر من سالب 𝜋 وأقل من أو تساوي موجب 𝜋. لذا، دعونا نوجد زاوية مكافئة تقع ضمن هذه الفترة. نظرًا للطبيعة الدورية لهذه الدالة، يمكننا ببساطة طرح اثنين 𝜋 لنعرف إذا ما كان ذلك يعطينا ناتجًا يقع ضمن الفترة الصحيحة. حسنًا، ستة 𝜋 على خمسة ناقص اثنين 𝜋 يساوي ستة 𝜋 على خمسة ناقص 𝜋١٠ على خمسة، وهو ما يساوي سالب أربعة 𝜋 على خمسة. وهذا الناتج يقع ضمن الفترة المطلوبة، لذا، يمكننا استخدام هذه القيمة بدلًا من القيمة السابقة. الصورة الأسية المكافئة هي ﻫ أس سالب أربعة 𝜋 على خمسة ﺕ.

والآن لإيجاد الجذر الأخير، يمكننا التعويض بـ ﻙ يساوي أربعة. وهذا يعطينا جتا ثمانية 𝜋 على خمسة زائد ﺕ جا ثمانية 𝜋 على خمسة. مرة أخرى، لدينا قيمة للسعة الأساسية وهي أكبر من 𝜋. وعليه، إذا طرحنا اثنين 𝜋، فإننا نحصل على سالب اثنين 𝜋 على خمسة. إذن، الجذر الأخير على الصورة الأسية هو ﻫ أس سالب اثنين 𝜋 على خمسة ﺕ. وعليه، تصبح الجذور الخماسية للعدد واحد هي واحدًا، وﻫ أس خمسين 𝜋ﺕ، وﻫ أس أربعة أخماس 𝜋ﺕ، وﻫ أس سالب أربعة أخماس 𝜋ﺕ، وﻫ أس سالب خمسين 𝜋ﺕ.