فيديو السؤال: إيجاد معامل اختلاف المتغير العشوائي المتقطع الرياضيات

افترض أن ﺱ يشير إلى متغير عشوائي متقطع يأخذ القيم ١، ٤، ٦. إذا علمت أن ﺩ(ﺱ) = (ﺱ^٢ + ١١)‏/‏ﺃ، فأوجد معامل اختلاف ﺱ. قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين إذا لزم الأمر.

٠٧:٥٧

‏نسخة الفيديو النصية

افترض أن ﺱ يشير إلى متغير عشوائي متقطع يأخذ القيم واحد، وأربعة، وستة. إذا علمت أن ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع زائد ١١ على ﺃ، فأوجد معامل اختلاف ﺱ. قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين إذا لزم الأمر.

لدينا دالة التوزيع الاحتمالي لهذا المتغير العشوائي المتقطع وهي ﺩﺱ. لكنها الآن بدلالة قيمة مجهولة وهي ﺃ. قبل أن نتمكن من حساب معامل الاختلاف، علينا تحديد هذه القيمة. يمكننا فعل ذلك بتذكر أن مجموع جميع الاحتمالات في دالة التوزيع الاحتمالي لا بد أن يساوي واحدًا. لذا، إذا تمكنا من إيجاد تعبيرات كل من ﺩ لواحد، وﺩ لأربعة، وﺩ لستة - أي احتمالات كل قيمة في مدى هذا المتغير العشوائي المتقطع - يمكننا تكوين معادلة وحلها لإيجاد قيمة ﺃ.

‏ﺩ لواحد، أولًا، تساوي واحدًا تربيع زائد ١١ على ﺃ، وهو ما يساوي ١٢ على ﺃ. ‏ﺩ لأربعة تساوي أربعة تربيع زائد ١١ على ﺃ، وهو ما يساوي ٢٧ على ﺃ. وأخيرًا، ﺩ لستة تساوي ستة تربيع زائد ١١ على ﺃ، وهو ما يساوي ٤٧ على ﺃ. وكما قلنا من قبل، مجموع هذه القيم الثلاث يجب أن يساوي واحدًا. إذن، لدينا الآن المعادلة ١٢ على ﺃ زائد ٢٧ على ﺃ زائد ٤٧ على ﺃ يساوي واحدًا. وهذا يبسط إلى ٨٦ على ﺃ يساوي واحدًا. وبضرب كلا طرفي هذه المعادلة في ﺃ، نجد أن ﺃ يساوي ٨٦. إذن، حددنا قيمة هذا المجهول.

يمكننا بعد ذلك تحديد احتمال كل قيمة في مدى هذا المتغير العشوائي المتقطع بوضوح. وسنحتفظ بها كلها في صورة كسور مقامها المشترك هو ٨٦. مطلوب منا الآن إيجاد معامل الاختلاف لهذا المتغير العشوائي المتقطع ﺱ. هذا هو النسبة المئوية للانحراف المعياري من القيمة المتوقعة. إذا كان للمتغير العشوائي المتقطع ﺱ متوسط لا يساوي صفرًا هو توقع ﺱ والانحراف المعياري ‏𝜎‏ﺱ، فإن معامل الاختلاف له سيكون ‏𝜎‏ﺱ على توقع ﺱ مضروبًا في ١٠٠.

علينا إذن حساب كل من التوقع والانحراف المعياري لهذا المتغير العشوائي المتقطع. لدينا دالة التوزيع الاحتمالي له، لكن دعونا نكتب ذلك في جدول. في الصف العلوي، نكتب القيم في مدى هذا المتغير العشوائي المتقطع، وهي واحد وأربعة وستة. وبعد ذلك في الصف الثاني، نكتب احتمالاتها المناظرة لها، التي وجدنا أنها ١٢ على ٨٦، و٢٧ على ٨٦، و٤٧ على ٨٦.

بعد ذلك، نحسب القيمة المتوقعة أو القيمة المتوسطة لـ ﺱ. هذا يساوي مجموع كل قيمة من قيم ﺱ مضروبًا في احتمالها. ويمكننا إنشاء صف جديد في الجدول لحساب هذه القيم. لدينا واحد مضروبًا في ١٢ على ٨٦، ذلك يعطينا ١٢ على ٨٦، وأربعة مضروبًا في ٢٧ على ٨٦، وهو ما يساوي ١٠٨ على ٨٦، وأخيرًا ستة مضروبًا في ٤٧ على ٨٦، وهو ما يساوي ٢٨٢ على ٨٦. والقيمة المتوقعة لـ ﺱ هي مجموع هذه القيم الثلاث، وهي ٤٠٢ على ٨٦، أو بالصورة المبسطة ٢٠١ على ٤٣.

إذن، لدينا القيمة المتوقعة لـ ﺱ. وبعد ذلك علينا حساب الانحراف المعياري. لعلنا نتذكر أن الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي للتباين. وتباين ﺱ يساوي القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع ناقص مربع القيمة المتوقعة لـ ﺱ. علينا أن نوضح الفرق في الترميز هنا. في الحد الثاني، نأخذ القيمة المتوقعة لـ ﺱ، التي حسبناها للتو، ونقوم بتربيعها، في حين أننا في الحد الأول نقوم بتربيع قيم المتغير ﺱ أولًا ثم نحسب القيمة المتوقعة.

صيغة حساب القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع هي مجموع كل قيم ﺱ بعد تربيعها مضروبة في قيم ﺩﺱ. وتؤخذ قيم ﺩﺱ وقيم الاحتمالات مباشرة من التوزيع الاحتمالي لـ ﺱ. يمكننا إضافة صف آخر في الجدول لإيجاد قيم ﺱ تربيع. ومربعات القيم واحد، وأربعة، وستة هي واحد، و١٦، و٣٦. ثم نضيف صفًّا أخيرًا حيث نضرب قيم ﺱ تربيع في قيم ﺩﺱ، وهو ما يعطينا ١٢ على ٨٦، و٤٣٢ على ٨٦، و١٦٩٢ على ٨٦. إذن، القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع هي مجموع هذه القيم الثلاث، وتساوي ٢١٣٦ على ٨٦، أو بالصورة المبسطة ١٠٦٨ على ٤٣.

ونظرًا لأننا حسبنا كلًّا من القيمة المتوقعة لـ ﺱ والقيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع، أصبح بإمكاننا الآن حساب تباين ﺱ. وهو ما يساوي ١٠٦٨ على ٤٣ ناقص ٢٠١ على ٤٣ تربيع. سنستخدم الآلة الحاسبة لحساب قيمة ذلك، وهو ما يعطي ٢٫٩٨٧٠ وهكذا مع توالي الأرقام. الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي لهذه القيمة. إذن، بأخذ الجذر التربيعي للقيمة الدقيقة لهذا العدد العشري على الآلة الحاسبة، فإن الانحراف المعياري لـ ﺱ يساوي ١٫٧٢٨٢ وهكذا مع توالي الأرقام.

بذلك نكون قد أوجدنا كلًّا من القيمة المتوقعة والانحراف المعياري لـ ﺱ. إذن، كل ما علينا فعله هو التعويض بهاتين القيمتين في صيغة حساب معامل الاختلاف. مع الحفاظ على القيمة الدقيقة للانحراف المعياري لـ ﺱ التي ظهرت على شاشة الآلة الحاسبة، يمكننا قسمتها على القيمة المتوقعة ٢٠١ على ٤٣، ثم نضرب في ١٠٠. وبالطبع، القسمة على ٢٠١ على ٤٣ يكافئ الضرب في ٤٣ على ٢٠١.

بحساب قيمة ذلك باستخدام جميع القيم الدقيقة، نحصل على ٣٦٫٩٧٣٥ وهكذا مع توالي الأرقام. ينص السؤال على أنه يجب أن نقرب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين إذا لزم الأمر. بما أن الرقم الثالث بعد العلامة العشرية هو ثلاثة، فسنقرب لأسفل. معامل اختلاف ﺱ مقربًا منزلتين عشريتين هو ٣٦٫٩٧ بالمائة، مما يوضح لنا أن الانحراف المعياري لـ ﺱ يساوي تقريبًا ٣٧ بالمائة من القيمة المتوقعة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.