فيديو: القيم العظمى والصغرى المطلقة على مجال الدالة

أحمد لطفي

يوضِّح الفيديو تعريف القيم العظمى المطلقة، وتعريف القيم الصغرى المطلقة، ويوضِّح أيضًا كيفية تحديد القيم العظمى والصغرى المطلقة على مجال الدالة.

٠٨:٠٦

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلّم عن القيم العظمى والصغرى المطلقة، على مجال الدالة. وهنعرف في الأول إيه هي القيمة العظمى المطلقة، وإيه هي القيمة الصغرى المطلقة. وإزاي هنقدر نحدّد القيم العظمى والصغرى المطلقة، على مجال الدالة. في البداية القيمة العظمى المطلقة هي … النقطة اللي بيكون عندها أكبر قيمة ممكنة للدالة. والقيمة الصغرى المطلقة هي … النقطة اللي بيكون عندها أصغر قيمة ممكنة للدالة. يبقى القيمة العظمى المطلقة، هي النقطة اللي عندها أكبر قيمة ممكنة للدالة. والنقطة الصغرى المطلقة، هي النقطة اللي عندها أصغر قيمة ممكنة للدالة.

لو عندنا دالة، زيّ د س بتساوي س. هنلاقي إن الدالة هتكون بالشكل ده. ولو عايزين نحدّد مجال الدالة، فالمجال هيكون في الفترة المفتوحة من سالب ما لا نهاية، إلى ما لا نهاية. هنلاحظ إن الدالة تزايدية على مجالها. يعني الدالة تزايدية في كل مجالها، في كل قيم س. وبالتالي مش هنقدر نحدّد قيم عظمى وصغرى مطلقة، على الدالة. عشان الدالة حالتها هتفضل ثابتة، اللي هي تزايدية. مش هتغيّر حالتها من تزايدية لتناقصية، أو العكس. يعني د س بتساوي س، هي من الدوال اللي مش هنقدر نحدّد من عليهم قيم عظمى وصغرى مطلقة.

فيه دوال أخرى، نقدر نحدّد عليهم قيم عظمى وصغرى مطلقة، على المجال بتاعهم. في صفحة جديدة هناخد مثال لدالة. مثلًا عندنا د س بتساوي س مضروبة في هـ أُس س. ولو عايزين نحدّد مجال الدالة، فالمجال هيكون الفترة المفتوحة من سالب ما لا نهاية، إلى ما لا نهاية. تاني خطوة عايزين نشوف حالة الدالة. هل هتفضل تزايدية على طول، ولّا تناقصية على طول، ولّا هتغيّر حالتها من تزايدية لتناقصية، أو العكس؟

يبقى عشان نقدر نشوف حالة الدالة، محتاجين نجيب المشتقّة الأولى للدالة. يعني محتاجين نجيب د شرطة س. ويبقى د شرطة س هتساوي هـ أُس اتنين س، زائد اتنين س في هـ أُس اتنين س. هناخد هـ أُس اتنين س عامل مشترك. يبقى د شرطة س هتساوي هـ أُس اتنين س مضروبة في واحد زائد اتنين س.

محتاجين نحدّد النقاط الحرجة، اللي بيكون عندها ميل المماس بيساوي صفر. عشان نقدر نحدّد النقاط الحرجة اللي بيكون عنده ميل المماس بيساوي صفر، هنساوي مشتقّة الدالة بصفر. يعني د شرطة س هتساوي صفر. وبالتالي هـ أُس اتنين س مضروبة في واحد زائد اتنين س، هتساوي صفر. هـ أُس اتنين س، لا يمكن تساوي صفر. وبالتالي الحالة الوحيدة، اللي ممكن المقدار ده يساوي صفر، إن واحد زائد اتنين س، هو اللي بيساوي صفر. يبقى واحد زائد اتنين س هيساوي صفر.

عايزين نِوجد قيمة س. هنطرح واحد من الطرفين. يعني اتنين س هيساوي سالب واحد. هنقسم الطرفين على اتنين. يعني س هتساوي سالب واحد على اتنين. وبالتالي النقطة الحرجة س بتساوي سالب واحد عَ الاتنين، هي النقطة عندها ميل المماس بيساوي صفر.

عشان نقدر نعرف حالة الدالة، ففي صفحة جديدة، هنرسم خط الأعداد بالشكل ده. وهنبدأ نحدّد عليه الفترات اللي هنشوف فيها حالة الدالة. أول فترة هي من سالب ما لا نهاية، إلى سالب واحد عَ الاتنين، لحدّ النقطة الحرجة. يعني الفترة هتكون بالشكل ده. يبقى أول فترة هي فترة مفتوحة من سالب ما لا نهاية، لسالب واحد عَ الاتنين.

هناخد أيّ نقطة في الفترة دي. مثلًا هناخد عند س بتساوي سالب واحد. هنعوّض عن س بسالب واحد في المشتقّة الأولى للدالة. يعني د شرطة سالب واحد. هتساوي سالب واحد على هـ أُس اتنين. سالب واحد على هـ أُس اتنين، قيمة أصغر من الصفر. وبالتالي في الفترة المفتوحة من سالب ما لا نهاية، لسالب واحد عَ الاتنين، الدالة هتكون تناقصية. يبقى إحنا عرفنا إن الدالة هتكون تناقصية في الفترة المفتوحة من سالب ما لا نهاية، لسالب واحد عَ الاتنين.

تاني فترة هي من عند النقطة الحرجة، لحدّ ما لا نهاية. يعني من الفترة المفتوحة سالب واحد عَ الاتنين، لحدّ ما لا نهاية. فهتكون بالشكل ده. يبقى عندنا الفترة مفتوحة من سالب واحد على اتنين، لحدّ ما لا نهاية. هناخد أيّ قيمة بداخل الفترة. مثلًا عند س بتساوي صفر. هنعوّض عن س بصفر، في المشتقّة الأولى للدالة. يعني د شرطة صفر، هتساوي واحد على هـ أُس صفر.

واحد على هـ أُس صفر، هتساوي واحد. وواحد هي قيمة أكبر من الصفر. وبالتالي في الفترة المفتوحة من سالب واحد عَ الاتنين، لحدّ ما لا نهاية، الدالة هتكون تزايدية. يبقى عرفنا إن الدالة هتكون تزايدية، في الفترة المفتوحة من سالب واحد عَ الاتنين، لحدّ ما لا نهاية.

يبقى إحنا عرفنا إن الدالة هتغير حالتها على مجالها، من تناقصية لتزايدية. وعايزين نشوف، هل التغير ده هتنشأ نتيجته قيمة صغرى مطلقة، ولّا هتنشأ نتيجته قيمة عظمى مطلقة. فيبقى هنشوف عند النقطة الحرجة. يعني عايزين نشوف عند س بتساوي سالب واحد على اتنين. عايزين نشوف قيمة الدالة هتساوي كام. يبقى د س هتساوي سالب واحد على اتنين هـ.

هنرسم جدول بالشكل ده، وهنكمّل. عايزين نشوف حالة الدالة قبل النقطة الحرجة. يعني على شمال النقطة الحرجة. على شمال النقطة الحرجة، الدالة كانت تناقصية. يبقى قبل النقطة الحرجة، الدالة كانت تناقصية. طيب وحالة الدالة بعد النقطة الحرجة؛ يعني على يمين النقطة الحرجة؟ حالة الدالة كانت تزايدية. يبقى هنكتب بعد، هتكون تزايدية. لمّا تكون حالة الدالة تناقصية، وبعدين بقت تزايدية، هتنشأ قيمة صغرى مطلقة.

يبقى إحنا كده عرفنا إن عند س بتساوي سالب واحد على اتنين، الدالة هيكون ليها قيمة صغرى مطلقة. اللي هي سالب واحد على اتنين هـ. لو عايزين نتخيل أكتر، فهنرسم الدالة. وهتكون بالشكل ده. هنلاحظ إن عند س بتساوي سالب واحد على اتنين، الدالة كان ليها أصغر قيمة على مجالها كله. اللي هي بتساوي سالب واحد على اتنين هـ. وبكده نكون قدرنا نحدّد القيمة الصغرى المطلقة، للدالة س في هـ أُس س.

يبقى إحنا عرفنا إيه هي القيمة العظمى المطلقة. وإيه هي القيمة الصغرى المطلقة. وعرفنا إزّاي نقدر نحدّد القيم العظمى والصغرى المطلقة، على مجال الدالة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.