نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نتعرف على القطع المستقيمة الموجهة ونكونها ونعبر عنها. سنبدأ بوصف متجه يصل بين نقطتين. دعونا نتناول السؤال التالي.
ما المعلومات التي تحتاج إليها لتعريف متجه تعريفًا تامًا؟ لنبدأ بالنظر إلى المستوى ﺱﺹ الثنائي الأبعاد كما هو موضح. يمثل السهم المرسوم متجهًا. ويمكننا تعريف هذا بطريقتين. بداية، أي متجه له مقدار واتجاه. طول القطعة المستقيمة المرسومة هو مقدار المتجه، في حين يشير السهم إلى الاتجاه. تعرف نقطة بداية المتجه أحيانًا بالذيل، وتعرف نقطة النهاية بالرأس. إذن، يكون اتجاه أي متجه من ذيله إلى رأسه. هذا يعني أن لدينا طريقة أخرى لتعريف المتجه إذا عرفنا نقطة بدايته أو ذيله ونقطة نهايته أو رأسه. ومن ثم، نستنتج أن ثمة معلومتين نحتاج إليهما لتعريف المتجه وهما: مقداره واتجاهه أو نقطة بدايته ونقطة نهايته.
سنتناول باختصار الترميز الذي نستخدمه عند التعامل مع المتجهات. إذا افترضنا أن المتجه المرسوم هو المتجه ﻡ، فسنكتبه بأن نرسم نصف سهم فوق الحرف. لكي ننتقل من ذيل المتجه إلى رأسه، نتحرك سبع وحدات في اتجاه المحور ﺱ وثلاث وحدات في اتجاه المحور ﺹ. يمكن كتابة هذا باستخدام قوسين دائريين كما هو موضح. أو، يمكننا كتابة المتجه بدلالة متجهي الوحدة ﺱ وﺹ، في هذه الحالة سيكون سبعة ﺱ زائد ثلاثة ﺹ. المركبة ﺱ تمثل التحرك في اتجاه المحور ﺱ، والمركبة ﺹ تمثل التحرك في اتجاه المحور ﺹ. يمكننا أيضًا كتابة ذلك على صورة متجه عمود: سبعة، ثلاثة كما هو موضح.
ونرمز إلى مقدار المتجه ﻡ باستخدام هذين الخطين المزدوجين الرأسيين، ويمكننا حسابه باستخدام نظرية فيثاغورس. في هذه الحالة، مقدار المتجه ﻡ يساوي الجذر التربيعي لسبعة تربيع زائد ثلاثة تربيع. نوجد مجموع مربعي المركبتين ﺱ وﺹ، ثم نحسب الجذر التربيعي للناتج. في هذا المثال، مقدار المتجه ﻡ يساوي الجذر التربيعي لـ ٥٨.
كما ذكرنا من قبل، يمكننا أيضًا تعريف المتجه باستخدام نقطة بدايته ونقطة نهايته. في هذا المثال، النقطة ﺃ إحداثياتها: سالب ثلاثة، واحد؛ والنقطة ﺏ إحداثياتها: أربعة، أربعة. يمكننا حساب متجه القطعة المستقيمة ﺃﺏ بطرح قيمتي الإحداثي ﺱ، ثم طرح قيمتي الإحداثي ﺹ. بطرح الإحداثي ﺱ للنقطة ﺃ من الإحداثي ﺱ للنقطة ﺏ، نحصل على أربعة ناقص سالب ثلاثة. وبطرح قيمتي الإحداثي ﺹ، نحصل على أربعة ناقص واحد. وهذا يثبت مرة أخرى أن المتجه في الشكل هو: سبعة، ثلاثة.
سنتناول الآن سؤالًا علينا فيه تحديد المتجهات التي لها الاتجاه نفسه.
ما المتجه الذي له نفس اتجاه المتجه ﺃ؟
إذا كان لمتجهين نفس الاتجاه على مستوى إحداثي، فلا بد أن يكون الخطان متوازيين. هذا يعني أنهما لا يتقاطعان أبدًا. إذن، يتضح تمامًا من الشكل أن المتجه الذي له نفس اتجاه المتجه ﺃ هو المتجه ﺩ. المتجهان ﺃ وﺏ لهما نقطة البداية نفسها. إذن، لا يمكن أن يكونا في نفس الاتجاه. وبالمثل، المتجهان ﺃ وﺟ لهما نقطة النهاية نفسها. هذا يعني أنه لا يمكن أن يكونا في نفس الاتجاه. إذا كانت لقطعتين مستقيمتين نقطة البداية نفسها أو نقطة النهاية نفسها، فلا يمكن أن تكونا متوازيتين. إذن، لا يمكن أن يكون المتجهان في نفس الاتجاه.
في الواقع، يمكننا أن نتعمق أكثر في هذا السؤال. نلاحظ من الشبكة أن المتجه ﺃ يساوي أربعة، اثنين. إذ نتحرك من نقطة البداية إلى نقطة النهاية أربع وحدات إلى اليمين، ووحدتين لأعلى. وهذا ينطبق أيضًا على المتجه ﺩ. يمكننا إذن استنتاج أن المتجهين ﺃ وﺩ لهما نفس المقدار وكذلك نفس الاتجاه. عندما يكون لمتجهين نفس مركبتي ﺱ وﺹ، يكون لهما نفس المقدار ونفس الاتجاه.
في السؤال التالي، علينا تحديد نقطة نهاية متجه.
ما نقطة نهاية المتجه ﺃﺏ؟
المتجه ﺃﺏ هو قطعة مستقيمة تبدأ من النقطة ﺃ وتنتهي عند النقطة ﺏ. تعرف النقطة ﺃ بنقطة البداية أو ذيل المتجه. تعرف النقطة ﺏ بنقطة النهاية للمتجه، ويشار إليها عادة بالرأس. كتابة ﺃﺏ مع رسم نصف سهم أعلاه هي الصورة الشائعة لكتابة المتجه الذي يبدأ من النقطة ﺃ وينتهي عند النقطة ﺏ. يمكننا إذن استنتاج أن النقطة ﺏ هي نقطة نهاية المتجه.
في السؤال التالي، سنحسب مقدار متجه.
أوجد مقدار المتجه ﻡ الممثل في شبكة الوحدات المربعة الموضحة.
يمكن كتابة أي متجه، في هذه الحالة المتجه ﻡ، بدلالة مركبتيه ﺱ وﺹ. أي متجه ستكون له نقطة بداية ونقطة نهاية. للانتقال من نقطة البداية إلى نقطة النهاية، نتحرك وحدة واحدة إلى اليمين ووحدتين لأعلى. هذا يعني أن المتجه ﻡ يساوي واحدًا، اثنين. يرمز إلى مقدار أي متجه بهذين الخطين المزدوجين الرأسيين. المقدار يساوي طول القطعة المستقيمة، ويمكن حسابه عن طريق إيجاد مجموع مربعي المركبتين ﺱ وﺹ، ثم حساب الجذر التربيعي للناتج. في هذا السؤال، مقدار المتجه ﻡ يساوي الجذر التربيعي لواحد تربيع زائد اثنين تربيع. واحد تربيع يساوي واحدًا، واثنان تربيع يساوي أربعة. هذا يعني أن مقدار المتجه ﻡ يساوي الجذر التربيعي لخمسة.
في السؤال الأخير، سنحدد الشكل المكون من أربعة متجهات.
ما الشكل المكون من تلك المتجهات؟
نلاحظ فورًا من الشكل أن لدينا متجهي ﻝ، وهما من النقطة ﺃ إلى النقطة ﺏ، ومن النقطة ﺟ إلى النقطة ﺩ. هذان المتجهان لهما نفس المقدار ونفس الاتجاه. هذا يعني أنهما متوازيان ومتساويان في الطول. وبالمثل، نلاحظ أن القطعتين المستقيمتين ﺃﺟ وﺏﺩ تساويان المتجه ﻉ. لذلك، يجب أن يكون هذان الضلعان متوازيين ومتساويين في الطول. نعلم أن أي شكل رباعي، أي مكون من أربعة أضلاع، وفيه كل ضلعين متقابلين متوازيان ومتساويان في الطول يسمى متوازي أضلاع. وهذا يعني أنه بناء على المعلومات المعطاة في الشكل، فإن هذا الشكل متوازي أضلاع. هناك أنواع خاصة من متوازي الأضلاع، مثل: المستطيل، والمربع، والمعين. ولكن ليست لدينا معلومات كافية في هذا السؤال لإثبات أن متوازي الأضلاع هنا هو مستطيل أو مربع أو معين.
سنلخص الآن النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. عرفنا في بداية هذا الفيديو أن المتجه يجب أن يكون له مقدار واتجاه. ويمكن تصوره على أنه قطعة مستقيمة موجهة، كما هو موضح. ويكون طول المستقيم هو مقدار المتجه، ويشير السهم إلى الاتجاه. المتجهات في بعدين تكون لها مركبة ﺱ ومركبة ﺹ. وبما أن هذا المتجه يتحرك إلى اليمين ولأسفل، ستكون له مركبة ﺱ موجبة ومركبة ﺹ سالبة. المتجه يتحرك خمس وحدات إلى اليمين، وأربع وحدات لأسفل. إذن، فإن مركبتيه هما: خمسة، سالب أربعة. نعلم أيضًا أن كل متجه له نقطة بداية ونقطة نهاية. تسمى نقطة البداية أحيانًا بذيل المتجه، ونقطة النهاية هي رأس المتجه.
ورأينا أيضًا أنه إذا كان المتجه ﺃ له المركبتان ﺱ واحد، ﺹ واحد؛ والمتجه ﺏ له المركبتان ﺱ اثنان، ﺹ اثنان؛ فإن المتجه ﺃﺏ يساوي المتجه ﺏ ناقص المتجه ﺃ. ولحساب المتجه ﺃﺏ، يمكننا طرح مركبات ﺱ وﺹ كل على حدة. وأخيرًا، عرفنا أن مقدار المتجه ﻡ الذي مركبتاه ﺱ، ﺹ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع. ويرمز إلى المقدار بهذين الخطين المزدوجين الرأسيين ، وهو يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعي المركبتين.
