فيديو: إثبات قاعدة القوى

يتناول الفيديو إثبات قاعدة القوى المستخدمة في تفاضل (اشتقاق) الدالة الأُسِّية، إذا كان الأُسُّ عددًا صحيحًا موجبًا، وإذا كانت الدالة تحتوي على جذر تربيعي.

٠٨:٥٥

‏نسخة الفيديو النصية

إثبات قاعدة القوى.

في البداية، القوى اللي موجودة عندي في العنوان هو مقصود بيها الأُس. يعني أنا لو عندي أي دالة أسية، ومحتاج إني أجيب تفاضل الدالة. أول حالة عندي لو أنا عندي دالة أسية، والأُس في الدالة هو عبارة عن عدد صحيح موجب. يبقى أنا عندي دالة تحتوي على أُس. والأُس هو عبارة عن عدد صحيح موجب.

على سبيل المثال لو أنا عندي الدالة د س؛ حيث س هو المتغيّر في الدالة. والدالة د س بتساوي س أُس أ؛ حيث أ هو عدد صحيح موجب. يبقى في الحالة دي تفاضل الدالة اللي بنرمز له بالرمز د شرطة س بيساوي أ س أُس أ ناقص واحد.

طيب لو عايزين نثبت الكلام ده. أول حاجة أقدر أجيب تفاضُل الدالة د شرطة س عن طريق إن د شرطة س بيساوي نهاية هـ تئول إلى صفر، للدالة د س زائد هـ، ناقص الدالة د س، الكل مقسوم على هـ؛ حيث هـ هو مقدار التغيُّر. يبقى الدالة د شرطة س بتساوي نهاية هـ تئول إلى صفر … للدالة د س زائد هـ، هي عبارة عن س زائد هـ الكل مرفوع للأُس أ. عوّضنا عن كل س في الدالة د س بِـ س زائد هـ، ناقص س أُس أ الكل مقسوم على هـ.

في الحالة دي أقدر أجيب مفكوك القوس س زائد هـ الكل أُس أ، باستخدام نظرية ذات الحدين. يعني هتساوي نهاية هـ تئول إلى صفر. س زائد هـ الكل أُس أ، أقدر أكتبها في صورة س أُس أ. زائد أ ق واحد لِـ س أُس أ ناقص واحد، مضروبة في هـ أُس واحد اللي هي هـ. زائد أ ق اتنين، مضروبة في س أُس أ ناقص اتنين، مضروبة في هـ مرفوعة للأُس اتنين. وهكذا لغاية آخر حدّ في المفكوك اللي هو هيساوي أ ق أ، مضروبة في س أُس … أ ناقص أ اللي هي س أُس صفر، مضروبة في هـ أُس أ. ناقص … الكل ناقص س أُس أ الكل مقسوم على هـ.

يبقى في الحالة دي س أُس أ هتروح مع سالب س أُس أ. ولو نلاحظ هنلاقي إن أنا عندي هـ موجودة في كل الحدود اللي موجودة في البسط وموجودة في المقام. فبالتالي أقدر أختصر هـ في البسط مع هـ في المقام. يبقى النهاية هتساوي نهاية هـ تئول إلى صفر. أ ق واحد مضروبة في س أُس أ. ناقص واحد زائد أ ق اتنين مضروبة في س أُس أ ناقص اتنين، مضروبة في هـ … عفوًا مش هـ أُس اتنين؛ لأن هـ أُس اتنين اختصرناها مع هـ، فيتبقى عندي هـ. زائد … وهكذا إلى … أ ق أُس أ هتنزل زيّ ما هي، مضروبة في س أُس صفر اللي هي بتساوي واحد، مضروبة في هـ أُس أ مقسومة على هـ، اللي هي هـ أُس أ ناقص واحد.

هنعوّض عن كل هـ في النهاية بصفر. فبالتالي هيتبقّى عندي حدّ واحد اللي هو عبارة عن أ ق واحد مضروبة في س أُس أ ناقص واحد. يبقى د شرطة س بتساوي أ ق واحد مضروبة في س أُس أ ناقص واحد. أ ق واحد أقدر أفكّها في الصورة اللي هي عبارة عن مضروب أ مقسوم على مضروب واحد، مضروبة في مضروب أ ناقص واحد. الكل مضروب في س أُس أ ناقص واحد.

في البداية مضروب واحد بيساوي واحد. فبالتالي هيتبقّى عندي مضروب أ على مضروب أ ناقص واحد، اللي هو بيساوي أ. فبالتالي أ هتكون مضروبة في س أُس أ ناقص واحد.

وبكده أثبتنا الصورة العامة للدالة د س في حالة إن الدالة د س بتساوي س أُس أ. يبقى تفاضل الدالة بيساوي أ س أُس أ ناقص واحد؛ حيث أ هو عدد صحيح موجب.

تاني حالة عندنا عايزين نثبتها، لو أنا عندي الدالة بتحتوي على جذر تربيعي. يعني على سبيل المثال لو أنا عندي الدالة د س بتساوي الجذر التربيعي لِـ س. عايزين نجيب تفاضل الدالة د س. أقدر أجيب تفاضل الدالة د س اللي هنرمز له بالرمز د شرطة س بتساوي نهاية هـ تئول إلى صفر، للدالة د س زائد هـ، ناقص الدالة د س الكل مقسوم على هـ.

في الحالة دي أقدر أقول إن د شرطة س بتساوي نهاية هـ تئول إلى صفر. هنعوّض عن كل س في الدالة د س بِـ س زائد هـ. يعني هتساوي الجذر التربيعي لِـ س زائد هـ ناقص الجذر التربيعي لِـ س الكل مقسوم على هـ. هضرب بسطًا ومقامًا في المرافق بتاع جذر س زائد هـ ناقص جذر س، اللي هو عبارة عن جذر س زائد هـ الكل زائد جذر س الكل مقسوم على جذر س زائد هـ زائد جذر س. يعني كأني ضربت في واحد. فبالتالي ما غيرتش قيمة المقدار اللي عندي. فبالتالي د شرطة س بتساوي نهاية هـ تئول إلى صفر لِـ س … عفوًا للجذر التربيعي لِـ س زائد هـ الكل تربيع، ناقص الجذر التربيعي لِـ س الكل تربيع، الكل مقسوم على هـ في الجذر التربيعي لِـ س زائد هـ زائد الجذر التربيعي لِـ س.

في الحالة دي أقدر أقول إن د شرطة س بتساوي نهاية هـ تئول إلى صفر. جذر س زائد هـ الكل تربيع … الجذر التربيعي هيروح مع الأُس اتنين، هيتبقّى عندي س زائد هـ. ناقص الجذر التربيعي لِـ س الكل تربيع اللي هي بِـ س. الكل مقسوم على هـ في جذر س زائد هـ زائد جذر س. موجب س هتروح مع سالب س في البسط. وَ هـ في البسط هتروح مع الـ هـ الموجودة في المقام. هيتبقّى عندي نهاية هـ تئول إلى صفر لجذر س زائد هـ زائد جذر س في المقام، وواحد في البسط.

هنعوّض عن كل هـ بصفر. يبقى هيتبقّى عندي واحد على جذر س زائد صفر. يعني واحد على جذر س زائد جذر س. يعني بتساوي واحد على اتنين جذر س. واحد على اتنين مضروبة في جذر س. جذر س في المقام أقدر أكتب جذر س في صورة س أُس واحد على اتنين، أو س أُس نص. يعني واحد على اتنين س أُس نص أقدر أخلي س أُس نص في البسط مع تغيير إشارة الأُس. يعني هتساوي واحد على اتنين مضروبة في س أُس سالب واحد على اتنين. وده نفسه بيثبت قاعدة القوة؛ لأن أنا عندي الدالة د س اللي هي بتساوي جذر س. أقدر أكتب جذر س اللي موجود في الدالة س في صورة الدالة الأسية س أُس نص. يعني د س بتساوي س أُس نص.

وباستخدام القاعدة العامة للدالة الأسية. لو أنا عايز أجيب لها تفاضل في الحالة دي أقدر أقول أو د شرطة س بتساوي الأُس اللي هو النص مضروب في س … عفوًا نُص اللي هو واحد على اتنين مضروب في س. وهنطرح مِ الأُس واحد يعني س أُس واحد على اتنين ناقص واحد. يبقى د شرطة س بيساوي نص س أُس سالب واحد على اتنين. وهو نفسه الناتج اللي وصلنا له لمّا استخدمنا إن د شرطة س بيساوي نهاية هـ تئول إلى صفر، لِـ د س زائد هـ ناقص د س الكل مقسوم على هـ.

في الحالة دي إحنا عرفنا إزَّاي نجيب تفاضل الدالة الأسية لو أنا عندي الأُس عدد صحيح موجب. وإزَّاي أقدر أجيب تفاضُل الدالة لو أنا عندي الدالة بتحتوي على جذر تربيعي.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.